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Bit Commitment mit quadratischen Resten Vortrag von Josef Pozny 8.7.2008.

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Präsentation zum Thema: "Bit Commitment mit quadratischen Resten Vortrag von Josef Pozny 8.7.2008."—  Präsentation transkript:

1 Bit Commitment mit quadratischen Resten Vortrag von Josef Pozny

2 Ausblick Quadratische Reste modulo einer Primzahl p Quadratische Reste modulo N Bit Commitment mit quadratischen Resten

3 Quadratische Reste modulo einer Primzahl p Definition:

4 Quadratische Reste modulo einer Primzahl p Proposition:

5 Quadratische Reste modulo einer Primzahl p Proposition: Folgerung:

6 Quadratische Reste modulo einer Primzahl p Definition:

7 Quadratische Reste modulo einer Primzahl p ist eine zyklische Gruppe der Ordnung.

8 Quadratische Reste modulo einer Primzahl p ist eine zyklische Gruppe der Ordnung.

9 Quadratische Reste modulo einer Primzahl p ist eine zyklische Gruppe der Ordnung. Quadrieren liefert:

10 Quadratische Reste modulo einer Primzahl p Kleiner Satz von Fermat:

11 Quadratische Reste modulo einer Primzahl p Kleiner Satz von Fermat: Anwenden dieses Satzes führt auf: D.h. die quadratischen Reste lassen sich darstellen als, wobei gerade ist.

12 Quadratische Reste modulo einer Primzahl p Proposition:

13 Quadratische Reste modulo einer Primzahl p Proposition: Algorithmus 1: 1. Setze. 2. Falls, dann gebe aus Sonst gebe aus -1.

14 Quadratische Reste modulo N Sei, wobei zwei Primzahlen größer als 2 sind. Betrachte nun den Raum.

15 Quadratische Reste modulo N Sei, wobei zwei Primzahlen größer als 2 sind. Betrachte nun den Raum. Der Chinesische Restsatz liefert einen Isomorphismus

16 Quadratische Reste modulo N Proposition:

17 Quadratische Reste modulo N

18 Quadratische Reste modulo N bedeutet nicht dass y ein quadratischer Rest ist. Denn es kann gelten.

19 Quadratische Reste modulo N bedeutet nicht dass y ein quadratischer Rest ist. Denn es kann gelten. Faktorisierung bekannt, dann prüfe mit Algorithmus 1, ob und gilt.

20 Quadratische Reste modulo N bedeutet nicht dass y ein quadratischer Rest ist. Denn es kann gelten. Faktorisierung bekannt, dann prüfe mit Algorithmus 1, ob und gilt. Zerlegung unbekannt, dann ist es praktisch unmöglich quadratischen Rest von Nichtrest zu unterscheiden.

21 Quadratische Reste modulo N Quadratische-Reste-Annahme: Dann ist es für jemanden, der die Zerlegung nicht kennt, praktisch unmöglich zu entscheiden, ob ein quadratischer Rest modulo ist, oder nicht.

22 Bit Commitment mit quadratischen Resten

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24 Festlegung: 1. Alice wählt ein Bit. 2. Sie wählt zufällig ein. 3. Sie verschlüsselt das Bit durch, und gibt an Bob.

25 Bit Commitment mit quadratischen Resten Offenlegung: 1. Alice sendet b und r an Bob. 2. Bob rechnet nach, ob stimmt.

26 Bit Commitment mit quadratischen Resten Aufgrund der Quadratische-Reste-Annahme, kann Bob nicht entscheiden, ob c ein quadratischer Rest ist, oder nicht. Durch die Kenntnis von c, erhält Bob also keine Information über b.

27 Bit Commitment mit quadratischen Resten Sobald c übergeben wurde, lässt sich das Commitment nicht mehr ändern. Denn andernfalls müsste es und geben, so dass gilt.

28 Bit Commitment mit quadratischen Resten Sobald c übergeben wurde, lässt sich das Commitment nicht mehr ändern. Denn andernfalls müsste es und geben, so dass gilt. Daraus folgt aber was der Wahl von als quadratischer Nichtrest widerspricht.

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