Dynamische Geometrie mit EUKLID DynaGeo 2000.

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1 Dynamische Geometrie mit EUKLID DynaGeo 2000

2 Dynamische Geometrie Inhalte Was ist Dynamische Geometrie?
Definition Dynamische Geometrie Inhalte Was ist Dynamische Geometrie? Einsatzmöglichkeiten im Unterricht Kurze Einführung in die dynamische Geometrie

3 Versuch einer Definition
Dynamische Geometrie Definition Dynamische Geometrie Versuch einer Definition Die Position, Größe (und Attribute wie Farbe, Strichart, ...) eines Zeichnungselements werden relativ zu einem anderen Element definiert. Wird das Ausgangselement verändert, so ändert sich auch das assoziierte - vom Ausgangselement abhängige - Zeichnungselement.

4 Dynamische Geometrie Beispiele für assoziierte Elemente
Definition Dynamische Geometrie Beispiele für assoziierte Elemente LAGEABHÄNGIGKEIT (INZIDENZEN) Verknüpfen von Endpunkten Punkte an Geraden fixieren GEOMETRISCHE VERKNÜPFUNGEN Parallele, Normale, ... Winkelsymmetrale, ... Tangente, ...

5 Dynamische Geometrie Programme CABRI GÉOMÈTRE THALES
Definition Dynamische Geometrie Programme CABRI GÉOMÈTRE THALES GEOMETERS SKETCHPAD EUKLID DynaGeo

6 Einsatzmöglichkeiten im Unterricht
Beispiele Einsatzmöglichkeiten im Unterricht Vorgefertigte Animationen dienen zur Visualisierung geometrischer Sachverhalte. FAHRRAD.GEO

7 Einsatzmöglichkeiten im Unterricht
Beispiele Einsatzmöglichkeiten im Unterricht Eigenständiges, koordinatenunabhängiges Zeichnen bekannter geometrischer Konstruktionen festigt die geometrischen Grundkenntnisse. DREIECK_FERTIG.GEO

8 Einsatzmöglichkeiten im Unterricht
Beispiele Einsatzmöglichkeiten im Unterricht Kinematische Vorgänge können visualisiert (und damit besser verstanden) werden. WOLLE.GEO

9 Einsatzmöglichkeiten im Unterricht
Beispiele Einsatzmöglichkeiten im Unterricht Forschendes Entdecken fördert die Kreativität und das mathematische Verständnis der Schüler. Wird der Punkt D auf dem Umkreis des Dreiecks ABC bewegt, so beschreibt der Höhenschnittpunkt H des Dreiecks ABD einen ????? Zu diesem Beispiel fehlt noch der Beweis! Zusatz: Zeige, dass der an einer beliebigen Dreieckseite gespiegelte Höhenschnittpunkt H auf dem Umkreis des Dreiecks liegt. Beweis: Datei BIERBEWEIS (fehlt noch - Prosamentier S.130 ff) Zusatz 2: Das Beispiel ist ein Sonderfall des Satzes von MIQUEL (S.80): Wählt man auf den Seiten eines beliebigen Dreiecks jeweils einen beliebigen Punkt, dann schneiden die drei Kreis durch je zwei Punkte und dem anliegenden Eckpunkt einander in einem Punkt. BIER.GEO

10 Einsatzmöglichkeiten im Unterricht
Beispiele Einsatzmöglichkeiten im Unterricht Forschendes Entdecken fördert die Kreativität und das mathematische Verständnis der Schüler Für welchen Punkt im Inneren eines gleichseitigen Dreiecks gilt: Die Summe der Abstände zu den Dreieckseiten ist minimal? Zusatzfrage: Wie groß ist diese Abstandssumme? AEQUIDISTANZ.GEO

11 Unser erstes Beispiel Anhand der Zeichnung DREIECK.GEO wollen wir
Einführung Unser erstes Beispiel Anhand der Zeichnung DREIECK.GEO wollen wir a) das Laden von Zeichnungen b) das Verändern, Beschriften und Verbergen von Objekten und c) das Aufzeichnen von Ortslinien kennen lernen. Verwende dazu die Seite 4 aus dem zum Kurs gehörigen Skriptum.

12 Einführung Der Billardtisch Beachte die genau Beschreibung im Skriptum Eine Billardkugel soll vom Punkt „Start“ über die Bande AB in den Punkt „Ziel“ gespielt werden. Konstruiere den Auftreffpunkt P und die Bahn der Kugel. Wir lernen dabei a) das Konstruieren von Punkten, Strecken, Kreisen, Normalen, ... b) das Abmessen von Winkeln und c) das Einfügen von Kommentartexten.

13 Aufgaben - Einführung Quadrat wird einem Dreieck eingeschrieben
Gleichseitiges Dreieck mit Eckpunkten auf vorgegebenen Geraden Ortslinien des Höhenschnittpunkts Mittelpunkte eines Vierecks Der Satz von MIQUEL

14 Einführung Aufgaben - Einführung Ein Quadrat ABCD soll einem Dreieck PQR so eingeschrieben werden, dass eine Seite (z.B. die Eckpunkte A, B) auf der Basis a und die beiden anderen Ecken des Quadrats auf den beiden Schenkeln b bzw. c des Dreiecks liegen. Beachte den Lösungsweg im Skriptum (DREIECK3.GEO)

15 Einführung Aufgaben - Einführung Beachte den Lösungsweg im Skriptum (DREIECK3.GEO) Konstruiere ein gleichseitiges Dreieck ABC, dessen Eckpunkte auf drei parallelen (kopunktalen, beliebigen) Geraden g, h und i liegen.

16 Einführung Aufgaben - Einführung Beachte den Lösungsweg im Skriptum (DREIECK5.GEO) und DREIECK6.GEO Weitere Möglichkeiten: Bahnen der übrigen merkwürdigen Punkte untersuchen, beliebige Kreise oder spezielle (Inkreis, Neunpunktekreis) verwenden Auf welcher Linie bewegt sich der Höhenschnittpunkt H eines Dreiecks ABC, wenn der Punkt C auf einer Parallelen g zur Seite AB verschoben wird? Was passiert, wenn sich C entlang des Umkreises bewegt?

17 Einführung Aufgaben - Einführung Beachte den Lösungsweg im Skriptum (DREIECK5.GEO) und DREIECK6.GEO Weitere Möglichkeiten: Bahnen der übrigen merkwürdigen Punkte untersuchen, beliebige Kreise oder spezielle (Inkreis, Neunpunktekreis) verwenden Verbinde die Mittelpunkte benachbarter Seiten eines allgemeinen Vierecks. Welches geometrische Objekt entsteht?

18 Einführung Aufgaben - Einführung Wähle auf den Seiten eines Dreiecks ABC jeweils einen Punkt und konstruiere jene Kreise, die durch je zwei Punkte auf den Dreiecksseiten und dem dazwischen liegenden Eckpunkt festgelegt sind. Was fällt dir auf? Beachte den Lösungsweg im Skriptum (DREIECK5.GEO) und DREIECK6.GEO Weitere Möglichkeiten: Bahnen der übrigen merkwürdigen Punkte untersuchen, beliebige Kreise oder spezielle (Inkreis, Neunpunktekreis) verwenden

19 Messen Messen und Rechnen

20 Makros Makros Wir starten mit den Angabeelementen: Punkt P, Kreismitte M und ein beliebiger Hilfspunkt H, der den Radius des Kreises festlegt. Nach der Konstruktion des Kreises k wird über der Strecke MP der Thaleskreis errichtet und mit dem Kreis k geschnitten. Die Schnittpunkte S1 und S2 sind die Berührpunkte der gesuchten Tangenten t1 und t2. Wir wählen den Menüpunkt “Makros - Neues Makro erstellen” und klicken der Reihe nach den Punkt P, die Mitte M und den Hilfspunkt H als Startobjekte an (Achtung auf die Reihenfolge!). Als Zielobjekte wählen wir die Tangenten t1 und t2 aus und bezeichnen das Makro sinnvoll (z.B.: Tangenten). Wurde unser Makro erfolgreich erstellt, so können wir es gleich austesten; dazu zeichnen wir drei beliebige Punkte 1, 2 und 3. Mit 2 als Mitte und 3 als Kreispunkt wird nun ein Kreis l konstruiert. Wählen wir nun aus dem Menü “Makros” das soeben erstellte Makro “Tangenten” aus und klicken der Reihe nach 1, 2 und 3 an, so werden die Tangenten von 1 aus an den Kreis l gelegt. Dieses Makro kann natürlich auch gespeichert werden, so dass es für künftige Arbeiten zur Verfügung steht. Erstelle ein Makro für die Aufgabe „Tangenten aus einem Punkt P an einen Kreis k“.

21 Makros Erstelle ein Makro für die Aufgabe „Kreisspiegelung”. Makros
Wir wenden uns nochmals der obigen Aufgabe zu und erweitern unsere Zeichnung durch die Strecke S1S2. Der Schnittpunkt P‘ der Strecke S1S2 mit der Durchmessergeraden PM wird der zu P inverse Punkt bezüglich k genannt. Als Startobjekte für das Makro “Inversion” wählen wir wie vorhin die Punkte P, M und H; als Zielobjekt tritt nur der Punkt P‘ auf. Nach dem Testen des Makros (vgl. vorige Aufgabe) wollen wir gemeinsam Eigenschaften der Inversion erarbeiten: a) Abbildung eines Kreises: B) Abbildung einer Geraden: Erstelle ein Makro für die Aufgabe „Kreisspiegelung”.

22 Aufgaben Aufgaben Das Turmbeispiel vom Lastentransport zur Gegenpunktskonstruktion einer Ellipse Hyperbel NEU vom Schwerpunkt eines Dreiecks zu einer neuen Hyperbelkonstruktion BÉZIER-Kurven von einer Parabelkonstruktion zum Algorithmus von DE CASTELJAU Geometrische Optik Kreis- und Parabolspiegel Der Satz von FORDER Verfolgungsprobleme Das Riesenrad in Wien Ein Koppelgetriebe Entstehung einer Sinuslinie Der Satz von PAPPOS-PASCAL

23 Aufgaben Das Turmproblem Zwischen zwei Türmen wird eine Last mit einem Seil konstanter Länge hin und her transportiert. Bestimme die tiefste Lage des Punktes P.

24 Das Turmproblem Konstruktionsbeschreibung (Versuch)
Aufgaben Das Turmproblem Konstruktionsbeschreibung (Versuch) Wir machen das Koordinatensystem sichtbar und wählen auf der x-Achse zwei Punkte P und Q. Auf den y-parallelen Geraden durch P und Q wählen wir die Punkte R und S, verstecken die Hilfsgeraden und zeichnen die Strecken PR und QS. Die Seillänge wird durch eine frei gewählte Strecke 12 realisiert. Auf dieser Strecke (Tipp: Punkte auf der y-Achse verwenden) wählen wir einen Zwischenpunkt H. Eine allgemeine Lage der Last L erhalten wir, indem wir Kreise mit den Radien 1H und 2H durch R bzw. S miteinander schneiden und den richtigen Schnittpunkt L auswählen. Durch Eintragen der Bahnkurve von L erhalten wir eine erste Vorstellung von der richtigen Lösung. Um welche Kurve handelt es sich? Wie konstruiert man die tiefste Lage exakt? Beispiel klassisch zeichnen (Arbeitsblatt) oder mittels EUKLID (TURM1) Hinweis: Konstruiert man den Abstand zur Basis, so kann man die gesuchte Lage des Punkts L relativ gut bestimmen.

25 Das Turmproblem Konstruktionsbeschreibung (Affinität)
Aufgaben Das Turmproblem Konstruktionsbeschreibung (Affinität) Wir haben festgestellt, dass die Bahnkurve Teil einer Ellipse mit den Brennpunkten R, S und der Hauptachsenlänge 2a = Seillänge ist. Unter Ausnutzung einer Perspektiven Affinität konstruieren wir den tiefsten Punkt der Ellipse als jenen Punkt, in dem die Ellipsentangente parallel zur Basis verläuft. Dazu benennen wir die Brennpunkte mit F1 bzw. F2 und konstruieren den Mittelpunkt M der Ellipse, den Hauptscheitelkreis k (Radius = halbe Seillänge) und die beiden Nebenscheitel C und D. Der Schnittpunkt C1 der Nebenaches mit k wird in der Perspektiven Affinität dem Punkt C zugeordnet. Verbinde nun den Schnittpunkt 3 der x-parallelen Geraden durch C mit C1 und zeichne aus dem Mittelpunkt M der Ellipse die Normale auf die Gerade 3, C1. Der Schnittpunkt L1 dieser Normalen mit dem Kreis k wird mit C1 verbunden; die Verbindungsgerade L1, C1 schneidet die Hauptachse der Ellipse im Punkt 4. Der gesuchte Punkt L ist nun der Schnittpunkt der Geraden C4 mit der zur Hauptachse normalen Geraden durch L1. Kontrolle: Die Bahnkurve sollte durch C und L verlaufen. Gibt es eine einfachere Konstruktion? Konstruktion der Tangente parallel zur x-Achse mittels Affinität klassisch zeichnen (Arbeitsblatt) oder mittels EUKLID (TURM2)

26 Das Turmproblem Konstruktionsbeschreibung (Fragen)
Aufgaben Das Turmproblem Konstruktionsbeschreibung (Fragen) Zeichne in der tiefsten Lage L eine horizontale Gerade (Tangente an die Bahnellipse) und beachte die Winkel zwischen den Seilstücken und der horizontalen Geraden. Was fällt Dir auf? Die beiden Winkel müssen in der gesuchten Lage kongruent sein. Die Gerade F1, L schneidet die Gerade Q, F2 im Punkt S2. Wie lang ist die Strecke F1, S2? EUKLID (TURM3) Die Strecke F1, S2 ist gleich lang wie das Seil. Analog erkennen wir: Die Gerade F2, L schneidet P, F1 im Punkt S1 und die Strecke S1, F2 ist gleich lang wie das Seil. Wie kann L ohne Konstruktion der Ellipse rasch konstruiert werden?

27 Das Turmproblem Konstruktionsbeschreibung (Spiegelung)
Aufgaben Das Turmproblem Konstruktionsbeschreibung (Spiegelung) Zeichne kongruente Kreise (Radius = Seillänge) durch die Brennpunkte F1 und F2 und schneide sie jeweils mit den gegenüberliegenden „Türmen“. Die Schnittpunkte S1 auf P, F1 und S2 auf R, F2 werden jeweils mit F2 bzw. F1 verbunden. Der Schnittpunkt dieser Verbindungsgeraden liefert den gesuchten Punkt. Wie lange muss das Seil gewählt werden, damit die Last den Boden (die Strecke PQ) berührt? EUKLID (TURM4) und TURM5 Die Lösung der Zusatzfrage kann zuerst wieder durch Trial and Error ermittelt werden (Seillänge solange ändern bis der Punkt L auf der Strecke PQ zu liegen kommt). In dieser Lage erkennt man leicht die richtige Lösung. Dazu muss der Punkt F1 (oder F2) an PQ gespiegelt werden. Die Strecke vom gespiegelten Punkt zum „anderen“ Brennpunkt F2 (bzw. F1) liefert die gesuchte Seillänge.

28 Das Turmproblem Gegenpunktskonstruktion einer Ellipse
Aufgaben Das Turmproblem Gegenpunktskonstruktion einer Ellipse Die „rasche“ Konstruktion des Punktes L hat einen Ellipsenpunkt geliefert, dessen Tangente normal zu den „Türmen“ verlief. Können wir mit der „raschen“ Konstruktion weitere Ellipsenpunkte erzeugen? Dazu zeichnen wir beliebige Punkte F1, F2 und P (ähnlich wie im Turmbeispiel) sowie eine Strecke 1,2 (= Hauptachsenlänge 2a). Durch F2 wird die Parallele zur Geraden F1,P konstruiert und die Punkte S1 und S2 werden darauf analog zum Turmbeispiel festgelegt (kongruente Kreise mit Mitten F1 bzw. F2 und Radius = 2a verwenden). Der Schnittpunkt L von S2, F1 und S1, F2 ist dann ein Ellipsenpunkt. Die Normale zu P,F1 ist die (horizontale, zu P,F1 normale) Tangente an die Ellipse. Da die Konstruktion unabhängig von der Lage des Punktes P ist, kann P bewegt werden, wobei L durch die Brennpunkte F1, F2 und die Hauptachsenlänge 2a = 1,2 festgelegt ist. TURM6

29 Halbierte Dreiecke und die Hyperbel
Aufgaben Halbierte Dreiecke und die Hyperbel Die flächenhalbierenden Geraden eines Dreiecks Wiederholung aus dem Mathematikunterricht: Unterstützt man ein Dreieck längs einer beliebigen Schwerlinie, so wird das Dreieck im Gleichgewicht gehalten. Wird der Flächeninhalt eines Dreiecks durch jede Schwerlinie halbiert? Konstruiere ein beliebiges Dreieck samt Schwerpunkt, zeichne eine beliebige Schwerlinie ein und vergleiche die beiden Flächeninhalte. HYBERBEL1 Wir erkennen, dass nur die Schwerlinien durch die Ecken den Flächeninhalt des Dreiecks halbieren. Wie kann man eine flächenhalbierende Gerade konstruieren?

30 BÉZIER-Kurven Die „Fadenkonstruktion“ der Parabel
Aufgaben BÉZIER-Kurven Die „Fadenkonstruktion“ der Parabel Zwei Linienelemente (Punkt und Tangente) P, p und Q, q einer Parabel sind gegeben. Wird der Schnittpunkt der beiden Tangenten mit T bezeichnet, so kann ein weiterer Punkt der Parabel auf folgende Art konstruiert werden: 1) Wähle einen beliebigen Teilungspunkt T1 auf der Strecke PT. 2) Übertrage das Teilverhältnis TV(P,T1;T) auf die Strecke TQ. 3) Beachte dabei: TV(P,T1;T) = TV(T,T2;Q) 4) Übertrage nun das Teilverhältnis TV(P,T1;T) auf die Strecke T1,T2. 5) Der Teilungspunkt S ist ein Parabelpunkt. Zusatzaufgabe: Erstelle ein Makro, welches ein bestimmtes Teilverhältnis überträgt. Datei CASTELJAU 2

31 BÉZIER-Kurven Der Algorithmus von DE CASTELJAU
Aufgaben BÉZIER-Kurven Der Algorithmus von DE CASTELJAU Wir verallgemeinern nun die gelernte Parabelkonstruktion auf drei (bzw. mehrere) Strecken. Wähle vier Punkte P_0, P_1, P_2 und P_3. Wähle weiters eine beliebige Strecke 01 mit Teilungspunkt T. Übertrage das Teilverhältnis TV(0T;1) auf die Strecken P_0, P_1 und P_1, P_2 sowie P_2, P_3. Es entstehen die Teilungspunkte P_01, P_12 und P_23. Übertrage nun das Teilverhältnis TV(0T;1) auf die Strecken P_01, P_12 und P_12, P_23. Es entstehen zwei weitere Teilungspunkte; auf der von diesen Punkten gebildeten Strecke ist nochmals das Teilverhältnis TV(0T;1) abzutragen. Der dabei entstehende Punkt S durchläuft bei Bewegung von T innerhalb von 01 eine BÉZIER-Kurve dritter Ordnung. Datei CASTELJAU 3 und CASTELJAU 4

32 Geometrische Optik Die Katakaustik
Aufgaben Geometrische Optik Die Katakaustik Lade die Datei SPIEGEL1.GEO und beobachte die Reflexion paralleler Lichtstrahlen an einem Hohlspiegel. Der Lichtstrahl l1 durch H1 wird an der Innenseite eines Kreises reflektiert; ein naheliegender Lichtstrahl l2 durch H2 - der Abstand kann durch den Schieberegler 12 verändert werden - schneidet l1 im Punkt S. Wird der Abstand der Lichtstrahlen sehr klein gewählt, dann erzeugt der Schnittpunkt S bei Bewegung von H1 die von den Lichtstrahlen eingehüllte Kurve - die Katakaustik. Untersuche, an welcher Stelle die Spitze der Katakaustik liegt.

33 Geometrische Optik Bildkonstruktion bei einem sphärischen Spiegel
Aufgaben Geometrische Optik Bildkonstruktion bei einem sphärischen Spiegel Wir konstruieren - wie im Physikunterricht gelernt - das Bild eines Punktes G‘ bei Reflexion an einem Hohlspiegel. Wir wählen die Punkte M (auf der x-Achse) und P (für den Kreisradius) beliebig und spiegeln P an der x-Achse. Durch den Spiegelpunkt Q von P und durch P legen wir einen Kreisbogen mit Mitte M. Weiters wählen wir einen beliebigen Punkt G‘, konstruieren den Fußpunkt G von G‘ auf der x-Achse, den Scheitel S als Schnittpunkt des Kreisbogens mit der x-Achse und ermitteln den Brennpunkt F als Halbierungspunkt der Strecke MS. a) Konstruiere den Parallelstrahl durch G‘, der durch F reflektiert wird. b) Konstruiere den Scheitelstrahl durch G‘, der an der x-Achse gespiegelt wird. c) Konstruiere den Brennstrahl durch G‘; er tritt parallel aus dem Spiegel. d) Konstruiere den Hauptstrahl durch M. Schneiden einander die vier reflektierten Strahlen in einem Punkt? SPIEGEL2

34 Geometrische Optik Bildkonstruktion bei einem Parabolspiegel
Aufgaben Geometrische Optik Bildkonstruktion bei einem Parabolspiegel Nun untersuchen wir das Bild eines Punktes G‘ bei Reflexion an einem Parabolspiegel. Wir laden die Datei SPIEGEL3.GEO und beschriften a) den Parallelstrahl durch G‘, der durch F reflektiert wird, b) den Scheitelstrahl durch G‘, der an der x-Achse gespiegelt wird, c) den Brennstrahl durch G‘; er tritt parallel aus dem Spiegel. Warum gibt es hier keinen Hauptstrahl? Schneiden einander die drei reflektierten Strahlen in einem Punkt? SPIEGEL3 : Nur für G‘ als Fernpunkt gilt die Annahme

35 Geometrische Optik Die Linsengleichung 1/b + 1/g = 1/f
Aufgaben Geometrische Optik Die Linsengleichung Wir wollen nun einen Zusammenhang zwischen der Dingweite (Abstand des Objekts vom Spiegel), Bildweite (Abstand des Bildes vom Spiegel) und der Brennweite (Radius des Scheitelkrümmungskreises) herleiten: Dazu laden wir wieder die Datei SPIEGEL3.GEO, löschen den Brennstrahl, zeichnen die Normale durch B‘ auf die x-Achse und bezeichnen den Schnittpunkt von Normalen und x-Achse mit B. Dann messen wir die Längen der Dingweite (g=GS), der Brennweite (b=SM) und der Bildweite (f=BS) ab. Zeige mit Hilfe des Taschenrechners, dass die Linsengleichung näherungsweise stimmt: 1/b + 1/g = 1/f SPIEGEL4 : Linsengleichung wird nur richtig für große Dingabstände bzw. kleine Dinghöhen.

36 Aufgaben Satz von FORDER Setze auf die Seiten eines allgemeinen Vierecks Quadrate (nach außen) auf und verbinde gegenüberliegende Mittelpunkte. Was fällt dir auf? Beachte den Lösungsweg im Skriptum (DREIECK3.GEO)

37 Aufgaben Verfolgungsprobleme (HUND1.GEO) Hinweis: Man kann die Bahn des Hasen auch als Kegelschnitt annehmen. Ein Hund verfolgt einen Hasen, wobei dieser geradlinig (auf einer Kreisbahn) flüchtet. Kann der Hund den Hasen einholen?

38 Aufgaben Das Wiener Riesenrad (WIEN1.GEO) Wichtig: Das Makro GONDELN muss vor dem Aufrufen der Datei geladen werden. Die Bahnkurven sind jzueinader kongruente Kreise (Schiebung!) Untersuche die Bahnkurve der Gondeln des Riesenrades.

39 Aufgaben Ein Koppelgetriebe (WIEN1.GEO) Wichtig: Das Makro GONDELN muss vor dem Aufrufen der Datei geladen werden. Die Bahnkurven sind jzueinader kongruente Kreise (Schiebung!) Die Endpunkte P und Q zweier Kurbeln werden mit einer Stange PQ verbunden. Untersuche die Bahnkurve eines auf PQ befindlichen Punktes.

40 Die Sinuslinie Illustriere die Entstehung einer Sinuslinie. Aufgaben
(WIEN1.GEO) Wichtig: Das Makro GONDELN muss vor dem Aufrufen der Datei geladen werden. Die Bahnkurven sind jzueinader kongruente Kreise (Schiebung!) Illustriere die Entstehung einer Sinuslinie.

41 Der Satz von PAPPOS-PASCAL
Aufgaben Der Satz von PAPPOS-PASCAL (WIEN1.GEO) Wichtig: Das Makro GONDELN muss vor dem Aufrufen der Datei geladen werden. Die Bahnkurven sind jzueinader kongruente Kreise (Schiebung!) Wählt man sechs Punkte 1, 2, 3, 4, 5, 6 auf einem Kegelschnitt, so liegen die Schnittpunkte der Geraden 12 mit 45, 23 mit 56 und 34 mit 61 auf einer Geraden. Dies kann zur Konstruktion eines Kegelschnitts aus fünf Punkten verwendet werden.