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WR + WS ZEIGEN. Mathematik - 8. Jahrgang: DREIECKSKONSTRUKTIONEN Vorher: Bei jeder Konstruktion, bei fast jeder Sachaufgabe müssen wir uns vor der Lösung.

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1 WR + WS ZEIGEN

2 Mathematik - 8. Jahrgang: DREIECKSKONSTRUKTIONEN Vorher: Bei jeder Konstruktion, bei fast jeder Sachaufgabe müssen wir uns vor der Lösung ein Bild von der Sache machen, damit wir sie verstehen können. Dazu zeichnet man eine PLANFIGUR. Die Planfigur hat keine genauen Maße. Sie stellt nur die Situation dar.

3 Mathematik - 8. Jahrgang: DREIECKSKONSTRUKTIONEN Wenn wir Dreiecke konstruieren wollen, dann ist diese Planfigur natürlich ein Dreieck. Es zeigt uns, wo in einem Dreieck –die Seiten –die Punkte –die Winkel sind.

4 Mathematik - 8. Jahrgang: DREIECKSKONSTRUKTIONEN Hier findest du die Planfigur. Sie gilt für alle Dreiecke:

5 Mathematik - 8. Jahrgang: DREIECKSKONSTRUKTIONEN ….. und sie zeigt dir immer sofort, wo in deinem Dreieck Strecke welche Strecke, Punkt welcher Punkt und Winkel welcher Winkel ist. nämlich: Seite und Punkt liegen sich gegenüber. Winkel und Punkt gehören zusammen. Uhrzeigersinn Alle Benennungen werden gegen den Uhrzeigersinn gemacht.

6 Mathematik - 8. Jahrgang: DREIECKSKONSTRUKTIONEN Diese Planfigur gehört bei jeder Aufgabe dazu! 1. Aufgabe: Planfigur: 2. Aufgabe: Planfigur: 3. Aufgabe: Planfigur:

7 Mathematik - 8. Jahrgang: DREIECKSKONSTRUKTIONEN Der Aufgabentyp SSS = Seite – Seite - Seite Konstruiere das Dreieck aus den Größen a = 12 cm, b = 8 cm und c = 7 cm. Ich zeichne die Planfigur: und die gegebenen Größen:

8 Mathematik - 8. Jahrgang: DREIECKSKONSTRUKTIONEN Lösungsgang: Markiere auf einer Geraden einen Punkt und trage von da aus mit dem Zirkel die längste der Seiten ab: Dies ist die Seite a. Die Planfigur zeigt dir, wie die Punkte auf der linken und auf der rechten Seite heißen, nämlich:

9 Mathematik - 8. Jahrgang: DREIECKSKONSTRUKTIONEN Lösungsgang: Markiere auf einer Geraden einen Punkt und trage von da aus mit dem Zirkel die längste der Seiten ab: Dies ist die Seite a. Die Planfigur zeigt dir, wie die Punkte auf der linken und auf der rechten Seite heißen, nämlich:

10 Mathematik - 8. Jahrgang: DREIECKSKONSTRUKTIONEN Und wieder hilft die Planfigur! Welche Seite beginnt bei B? Welche Seite beginnt bei C? Bei B beginnt Seite c! Bei C beginnt Seite b!

11 Mathematik - 8. Jahrgang: DREIECKSKONSTRUKTIONEN Längen werden grundsätzlich mit dem Zirkel übertragen. Also ein Kreis um B mit dem Radius 7 cm (=Seite c) und ein Kreis um C mit dem Radius 8 cm (=Seite b).

12 Mathematik - 8. Jahrgang: DREIECKSKONSTRUKTIONEN A Der Schnittpunkt liefert den fehlenden Punkt A.

13 Mathematik - 8. Jahrgang: DREIECKSKONSTRUKTIONEN Das Dreieck ist fertig. Die Hilfslinien werden vorsichtig und sauber wegradiert.

14 Mathematik - 8. Jahrgang: DREIECKSKONSTRUKTIONEN Die zweite Aufgabe: Gegeben sind zwei Seiten und der zwischen diesen Seiten befindliche Winkel (SWS). Dazu die Planfigur: Möglich wäre also: a - β - c

15 Mathematik - 8. Jahrgang: DREIECKSKONSTRUKTIONEN Konstruiere ein Dreieck aus den Größen a = 9,5 cm, β = 67° und c = 6,2 cm. Die Planfigur zeigt sofort: Du kannst mit der Seite a oder c anfangen. Beide Seiten haben den Punkt B, in dem dann der Winkel β gezeichnet werden muss. Wir fangen einfach mit a an! Also: Gerade – freier Punkt – Abstand 9,5 mit dem Zirkel auftragen!

16 Mathematik - 8. Jahrgang: DREIECKSKONSTRUKTIONEN Hier kommt Schritt für Schritt die Konstruktion: 1.Gerade mit frei gewähltem Punkt B.

17 Mathematik - 8. Jahrgang: DREIECKSKONSTRUKTIONEN Hier kommt Schritt für Schritt die Konstruktion: 1.Gerade mit frei gewähltem Punkt B. 2.Antragen der Länge von a = 9,5 cm mit dem Zirkel.

18 Mathematik - 8. Jahrgang: DREIECKSKONSTRUKTIONEN Hier kommt Schritt für Schritt die Konstruktion: 1.Gerade mit frei gewähltem Punkt B. 2.Antragen der Länge von a = 9,5 cm mit dem Zirkel. 3.Konstruktion von β = 67° im Punkt B (math. einfach: in B) mit dem Geo-Dreieck.

19 Mathematik - 8. Jahrgang: DREIECKSKONSTRUKTIONEN Hier kommt Schritt für Schritt die Konstruktion: 1.Gerade mit frei gewähltem Punkt B. 2.Antragen der Länge von a = 9,5 cm mit dem Zirkel. 3.Konstruktion von β = 67° im Punkt B (math. einfach: in B) mit dem Geo-Dreieck. 4.Auf dem freien Schenkel c = 6,2 cm abtragen (Zirkel). Punkt A.

20 Mathematik - 8. Jahrgang: DREIECKSKONSTRUKTIONEN Hier kommt Schritt für Schritt die Konstruktion: 1.Gerade mit frei gewähltem Punkt B. 2.Antragen der Länge von a = 9,5 cm mit dem Zirkel. 3.Konstruktion von β = 67° im Punkt B (math. einfach: in B) mit dem Geo-Dreieck. 4.Auf dem freien Schenkel c = 6,2 cm abtragen (Zirkel). Punkt A. 5.Kosmetik, Radieren, Farbe – FERTIG !

21 Mathematik - 8. Jahrgang: DREIECKSKONSTRUKTIONEN Es gibt noch eine dritte Variante. Dabei ist nur eine Seite und die beiden umgebenden Winkel gegeben. Unsere Planfigur zeigt, welche Möglichkeiten vorkommen können. 1.Seite a mit β und γ 2.Seite b mit α und γ 3.Seite c mit α und β Seite b mit α und γ Die Planfigur zeigt genau, an welche Seite einer Strecke welcher Winkel gehört. Wir zeichnen hier: Seite b mit α und γ Und nun: WINKEL – SEITE – WINKEL (WSW)

22 Mathematik - 8. Jahrgang: DREIECKSKONSTRUKTIONEN … und zwar soll gelten: b = 7,8 cm – α = 20° - γ = 71° PLANFIGUR HILFT ZUVERLÄSSIG! Wichtiger Hinweis: b muss nicht unbedingt schräg-rechts liegen – du darfst dein Dreieck drehen. Es ist nur entscheidend, welcher Punkt an welcher Seite der Strecke liegt. Dabei musst du genau aufpassen. PLANFIGUR HILFT ZUVERLÄSSIG!

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26 zwei Seiten ein Winkel Eine besonders schöne Konstruktion gibt es, wenn zwei Seiten und ein Winkel gegeben sind, wobei der Winkel nicht zwischen den beiden Seiten liegen soll. SSWWSS SSW oder WSS. Die Planfigur zeigt sofort, welche Größen in Frage kommen könnten: Möglich wäre: Winkel β mit c und b Winkel α mit b und a Winkel γ mit a und c Oder anders herum!

27 Mathematik - 8. Jahrgang: DREIECKSKONSTRUKTIONEN Winkel α mit b und a. Wir bearbeiten ein Beispiel, nämlich Winkel α mit b und a. Winkel α = 52° - b = 7,8 cm - a = 6,9 cm. Die Daten: Winkel α = 52° - b = 7,8 cm - a = 6,9 cm. Noch ein Blick auf die Planfigur: Der Winkel α wird von der Seite b gebildet; er hat mit a gar nichts zu tun. Also muss mit b begonnen werden.

28 Mathematik - 8. Jahrgang: DREIECKSKONSTRUKTIONEN Konstruktion wie immer: Gerade mit einem Punkt – abtragen der Länge b mit dem Zirkel.

29 Mathematik - 8. Jahrgang: DREIECKSKONSTRUKTIONEN Konstruktion wie immer: Gerade mit einem Punkt – abtragen der Länge b mit dem Zirkel. Die Planfigur zeigt. Wie die beiden Punkte heißen:

30 Mathematik - 8. Jahrgang: DREIECKSKONSTRUKTIONEN Winkel α gehört zu Punkt A – also: Auf dem freien Schenkel liegt die Seite c, von der wir nicht wissen, wie lang sie ist. Aber wir haben die Seite a.

31 Mathematik - 8. Jahrgang: DREIECKSKONSTRUKTIONEN ROTGRÜN Und jetzt passiert etwas sehr Interessantes: Der Kreis mit dem Radius a schneidet den freien Schenkel des Winkels an zwei Stellen. Also hat unsere Aufgabe zwei Lösungen. Eine in ROT und eine in GRÜN.

32 Mathematik - 8. Jahrgang: DREIECKSKONSTRUKTIONEN ROT

33 GRÜN

34 Beide Lösungen sind richtig! Achtung - Du kannst dir leicht zwei andere Situationen vorstellen: Seite a ist so klein, dass der Kreis mit dem Radius a den freien Schenkel überhaupt nicht schneidet. Dann gibt es natürlich auch keine Lösung. Oder: Seite a ist so groß, dass der untere Schnittpunkt den freien Schenkel erst unterhalb des Punktes A schneidet. Dann gibt es nur eine Lösung.

35 Mathematik - 8. Jahrgang: DREIECKSKONSTRUKTIONEN Alles klar? – Dann bitte fleißig arbeiten. Das Arbeitsblatt benennt die Daten. Und immer dran denken: OHNE PLANFIGUR GEHT HIER GAR NICHTS!


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