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1 Flächenanlegungen Einfache Flächenanlegung, gr. parabolé: eine gegebene Fläche F an eine gegebene Strecke a anlegen (d.h. ein Rechteck mit Seite a und.

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1 1 Flächenanlegungen Einfache Flächenanlegung, gr. parabolé: eine gegebene Fläche F an eine gegebene Strecke a anlegen (d.h. ein Rechteck mit Seite a und Fläche F bestimmen). Flächenanlegung mit Defekt, gr. elleipsis: an eine gegebene Strecke a eine gegebene Fläche F so anlegen, dass ein Quadrat fehlt. Flächenanlegung mit Überschuß, gr. hyperbolé: an eine gegebene Strecke a eine gegebene Fläche F so anlegen, dass ein Quadrat überschießt. Diese Aufgaben werden im Buch VI der Elemente behandelt.

2 2 Flächenanlegungen algebraisch Einfache Flächenanlegung: löse die Gleichung F = ax Flächenanlegung mit Defekt: löse die Gleichungen x + y = a, F = xy also letztlich die Gleichung x(a - x) = F. Flächenanlegung mit Überschuß: löse die Gleichungen x - y = a, F = xy also letztlich die Gleichung y(y + a) = F.

3 Kegelschnitte bei Apollonios und Archimedes Als Kegelschnitte bezeichnet man Kurven, die zu folgenden drei Familien von Kurven gehören: –Ellipsen (insbesondere Kreise) –Parabeln –Hyperbeln Der Name Kegelschnitt rührt daher, dass man die Kurven erhalten kann, wenn man eine Ebene in einem bestimmten Winkel mit einem Kegel schneidet. Dies war die übliche Zugangsweise in der Antike. Nachdem bereits Euklid ein Werk über Kegelschnitte verfaßt hat, sind die Hauptautoren Apollonios von Perge (262?- 190?) und Archimedes (287?-212). Die Namen Ellipse, Parabel und Hyperbel rühren daher, dass es einen Zusammenhang zu Flächenanlegungen gibt, der im Folgenden klar wird

4 4 Kreis und Ellipse Der Kreis als einfachste der geschlossenen Kurven war allen frühen Hochkulturen bekannt Modern ausgedrückt: die Menge aller Punkte, deren Abstand zum Mittelpunkt gleich einem vorgegebenen Wert (dem Radius) ist Die Ellipse ist eine Verallgemeinerung des Kreises: Gegeben sind zwei Punkte (die sogenannten Brennpunkte) A und B; für alle Punkte auf dem Ellipsenbogen ist die Summe der Abstände zu A und B konstant Den Kreis erhält man, wenn A und B zusammenfallen Keplers Gesetze der Planetenbewegung: die Planeten bewegen sich auf Ellipsenbahnen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht Auch eine Ellipse kann man mit einem Seil konstruieren (Abbildung aus E.W.v.Tschirnhaus, Medicina mentis, 1686/87)

5 5 Cartesische Gleichung der Ellipse Große Achse AB = 2a, kleine Achse CD = 2b. Koordinatenachsen = Achsen der Ellipse: x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1 Spezialfall Kreis: x 2 /r 2 + y 2 /r 2 = 1 bzw. x 2 + y 2 = r 2

6 6 Die Hyperbel Die Hyperbel ist die Menge aller Punkte, für die die Differenz der Abstände von zwei gegebenen (Brenn-) Punkten konstant ist Auch hier spricht man von Achsen a, b Cartesische Gleichung: x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1

7 7 Spezialfall: die gleichseitige Hyperbel Gilt a = b (gleichseitige Hyperbel), so stehen die Asymptoten senkrecht aufeinander Man kann also die Asymptoten statt der Achsen als Koordinatensystem wählen Man erhält dann die Gleichung xy = a 2 /2 Kommt in der Schulmathematik vor (antiproportionale Zuordnung) Die Fläche des Rechtecks aus x- und y- Koordinate der Punkte der Hyperbel ist konstant

8 8 Die Parabel Die Parabel ist die Menge aller Punkte, die von einem festen Punkt (Brennpunkt) und von einer festen Geraden (Leitlinie) gleich weit entfernt sind. Achsen: Tangente an Scheitelpunkt und Senkrechte durch Brennpunkt p: Entfernung Brennpunkt-Leitlinie Gleichung: y 2 = 2px

9 9 Einteilungen geometrischer Kurven Heute bezeichnet man Kegelschnitte auch als Kurven zweiten Grades, weil die zugehörigen algebraischen Gleichungen zweiten Grades sind (höchster Exponent 2) Diese Einteilung wurde erst mit der Einführung der Koordinaten möglich Griechen unterschieden ebene, körperliche und linienhafte Örter –Ebene Örter: Gerade und Kreis –Körperliche Örter: erfordern räumliche Konstruktionen (wie z.B. Kegelschnitte) –Linienhafte Örter erfordern spezielle Kurvenkonstruktionen, z.B. mechanische wie die Quadratrix Dies ist eine grobe Einteilung nach der Schwierigkeit der Konstruktion

10 10 Definitionen des Kegels Euklid: Ein Kegel ist der Körper, der umschlossen wird, wenn ein rechtwinkliges Dreieck, während eine der Katheten fest bleibt, durch Herumführen wieder in dieselbe Lage zurückgebracht wird, von der es ausging. Apollonios: Wenn ein Punkt mit einem Punkte der Peripherie eines Kreises […] geradlinig verbunden wird, die Verbindungslinie […] unter Beibehaltung jenes ursprünglichen Punktes längs der Kreisperipherie bewegt wird, bis sie in ihre ursprüngliche Lage zurückkehrt, so nenne ich die durch die Gerade beschriebene Fläche […] eine Kegelfläche. Euklid definiert einen Körper, während Apollonios eine (Mantel-)Fläche definiert. Apollonios' Definition läßt auch schiefe Kreiskegel zu.

11 11 Die Kegelschnitte als senkrechte Schnitte eines Kegels mit einer Ebene Ellipse: spitzwinkliger Kegel Parabel: rechtwinkliger Kegel Hyperbel: stumpfwinkliger Kegel

12 12 Kegelschnitte eines beliebigen Kegels unter verschiedenen Winkeln

13 13 Und die Flächenanlegung?

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17 17 Exkurs zu cartesischen Koordinaten Die heute in der Schulmathematik verwendeten rechtwinkligen Koordinatensysteme (Stichwort: x -Achse, y -Achse usw.) bezeichnet man als cartesisch Erfunden wurden diese Koordinaten von René Descartes ( , lat. Cartesius, daher der Name)


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