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Klicke Dich mit der linken Maustaste durch das Übungsprogramm! Die Oberflächenberechnung der quadratischen Pyramide Ein Übungsprogramm der IGS - Hamm/Sieg.

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Präsentation zum Thema: "Klicke Dich mit der linken Maustaste durch das Übungsprogramm! Die Oberflächenberechnung der quadratischen Pyramide Ein Übungsprogramm der IGS - Hamm/Sieg."—  Präsentation transkript:

1 Klicke Dich mit der linken Maustaste durch das Übungsprogramm! Die Oberflächenberechnung der quadratischen Pyramide Ein Übungsprogramm der IGS - Hamm/Sieg © IGS-Hamm/Sieg 2006 Dietmar Schumacher Dietmar Schumacher

2 Vorbemerkungen: Du bekommst in dieser Übung die wesentlichen Informationen zur Oberflächenberechnung bei quadratischen Pyramiden erklärt. Verfolge die Rechenbeispiele und rechne sie in Dein Heft. Fertige auch die Zeichnungen an!

3 S Eine Pyramide mit der Grundfläche eines Quadrates ist gegeben. Die Seite a der Grundfläche beträgt 4 cm. Die Höhe der Pyramide beträgt 4,5 cm. Du möchtest ihre Oberfläche berechnen. Die quadratische Pyramide Hier siehst Du das Schrägbild der Pyramide: Das sind die Teile der Pyramide: Grundfläche (Quadrat) Raumhöhe h Seitenhöhe h s Seitenkanten k Spitze S der Pyramide: Schnittpunkt von Pyramidenkanten, Seitenhöhen und Raumhöhe. Grundkanten a Abstand von der Spitze zur Grundkante Abstand von der Spitze zur Grundfläche

4 Die quadratische Pyramide - Oberfläche Das Netz der quadratischen Pyramide zeigt die Grundfläche der Pyramide und den Mantel. Grundfläche und Mantel zusammen bilden die Oberfläche der quadratischen Pyramide. Die Oberfläche der quadratischen Pyramide kann ich berechne. Grundfläche Mantel (4 Seitenflächen) OF P = A Q + 4 A D AQAQ ADAD ADAD ADAD ADAD A Q ist die Fläche des Quadrates A D ist die Fläche des Dreiecks

5 Die quadratische Pyramide - Oberfläche Die Oberfläche der quadratischen Pyramide besteht aus der quadratischen Grundfläche und den 4 kongruenten gleichschenkligen Dreiecksflächen als Seitenflächen der Pyramide. Seitenhöhe s h Kante a a a a Schrägbild Netz (verkleinert) Grundfläche Kanten

6 a a a a Die quadratische Pyramide - Oberfläche Wir schauen uns die Grundfläche der quadratischen Pyramide genauer an: Die im Schrägbild dargestellte Grundfläche in der Form eines Parallelogramms ist in Wirklichkeit ein Quadrat. Nur die waagerecht dargestellten Linien sind längentreu, das heißt, sie entsprechen den wirklichen Maßen. Alle anderen Linien sind verzerrt dargestellt und somit nicht längentreu. a a a a

7 Die quadratische Pyramide - Oberfläche a a a a Wir schauen uns die Mittelsenkrechten ms 1 und ms 2 der Grundfläche an. Sie stehen senkrecht aufeinander und schneiden sich im Punkt F. Der Punkt F halbiert die Mittelsenkrechten. In der quadratischen Pyramide sind die Mittelsenkrechten genauso lang wie die Kanten a. F ms 1 ms 2 Der Punkt F ist auch der Fußpunkt der Raumhöhe der Pyramide, die senkrecht auf der Grundfläche steht. F S

8 Die quadratische Pyramide - Oberfläche Bei der gegebenen Pyramide sind die Kanten a und die Raumhöhe bekannt. Zur Berechnung der Oberfläche kann ich zwar die Grundfläche A Q berechnen, aber nicht die Seitenflächen A D. Warum? Zur Berechnung der Dreiecksfläche A D benötige ich die Höhe des Dreiecks, also die Seitenhöhe h s. hshs H hshs H Da es sich bei diesem Dreieck um ein rechtwinkliges handelt, kann ich die Seitenhöhe hs berechnen.

9 H hshs Die quadratische Pyramide - Oberfläche Im rechtwinkligen Dreieck kann ich die fehlende Dreiecksseite berechnen, wenn mir mindestens 2 andere Seiten bekannt sind. Satz des Pythagoras! Bekannt sind: H und Ich berechne die Seitenhöhe h s : h s ² = H² + h s ² = 4,5² + h s ² = 4,5² + 2² h s ² = 20, h s ² = 24,25 h s = 4,92 Gesucht ist die Seitenhöhe h s Die Seitenhöhe h s ist 4,92 cm lang. Aufstellen der Formel Einsetzen der Zahlen Vereinfachen Ausrechnen

10 A B C D S Die quadratische Pyramide - Oberfläche Es sind die Dreiecke ABS; BCS; CDS und DAS. Da sie alle flächengleich sind, brauche ich nur eines zu berechnen, um dann anschließend die Gesamtfläche zu bestimmen. A D = g h 2 Bekannt sind die Kanten a = 4 cm und die Seitenhöhen s h = 4,92 cm Ich setze die Werte in die Formel der Dreiecksflächenberechnung ein. Allgemeine Formel - Dreiecksfläche A D = a s h 2 A D = 4 4,92 2 Spezielle Formel - Dreiecksfläche A D = 9,84 cm² A Mantel = 4 A D A Mantel = 4 9,84 A Mantel = 39,36 cm² Einsetzen Ausrechnen Ich berechne die Mantelfläche: Ich berechne jetzt die Mantelflächen der quadratischen Pyramide. Sie besteht, wie wir wissen, aus der Summe der Dreiecksflächen ( A Mantel = 4 A D).

11 Die quadratische Pyramide - Oberfläche Wie wir wissen, ist die Grundfläche der Pyramide ein Quadrat. Bekannt ist die Länge der Seite a. Ich berechne die Fläche des Quadrates mit folgender Formel: A Quadrat = 16 A Quadrat = 4 4 A Quadrat = a a a a A Quadrat = 16 cm² Die Grundfläche beträgt 16 cm² Allgemeine Formel Einsetzen Ausrechnen A Quadrat

12 Die quadratische Pyramide - Oberfläche Ich berechne jetzt die gesamte Oberfläche der quadratischen Pyramide. Oberfläche Pyramide = Grundfläche Quadrat + Mantelfläche Dreiecke Oberfläche Pyramide = A Q + A M Oberfläche Pyramide = ,36 Oberfläche Pyramide = 55,36 Die Oberfläche der Pyramide beträgt 55,36 cm². Allgemeine Formel Einsetzen Ausrechnen

13 Die quadratische Pyramide - Oberfläche Ich kann die Oberflächenberechnung einer quadratischen Pyramide auch in einem Schritt berechnen. Dazu stelle ich eine Formel auf. Oberfläche Pyramide = Grundfläche Quadrat + 4 Fläche des Manteldreiecks OF P = cm² Die Oberfläche der Pyramide beträgt 55,36 cm². Allgemeine Formel Einsetzen Ausrechnen


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