Kapitel 3: Erhaltungssätze

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1 Kapitel 3: Erhaltungssätze
3.6 Drehimpulserhaltung

2 Berechnung von Trägheitsmomenten
Definition des Trägheitsmoments I: immer bzgl. einer Drehachse z.B.: 2 1 ri=a/2, I=4m(a/2)2=ma2 a a 3 4 m=m1=m2=m3=m4

3 Berechnung von Trägheitsmomenten
Bei kontinuierlicher Massenverteilung Was bedeutet so was ? Wie beschreibe ich ein Massenelement, und wieso ist das nicht sowieso mr2 ??? Wie zerlegt man diesen homogenen Würfel in „Massenelemente“ ? „zersägen !!!“ Wie groß ist die Masse des blauen Würfels ?=> Wie oft passt der blaue Würfel in den roten Würfel ? mblau=(mrot/Vrot) Vblau=rV => dm=rdV Mit Hilfe der Dichte r verknüpft man die Masse mit Raumpunkten Konzept ausbauen ! Von homogener Massenverteilung zu beliebiger Massenverteilung durch r(x,y,z).

4 Berechnung des Trägheitsmoments eines massiven Zylinders
(Höhe h, Radius R) um seine Körperachse; Wie stelle ich dm in Abhängigkeit von der Zylindergeometrie dar ? (Wie zersäge ich den Zylinder geschickt ?) Würfel ? Bitte nicht !!! Zylinder = Stapel von Scheiben ! Scheibe = ineinandergesetze Ringe Wie groß ist die Masse eines homogenen Rings ? Proportional zu Höhe, Dicke, Umfang. mRing=2prrdrdz

5 So etwas kann mühsam sein. Schlüssel zur einfachen Lösung:
Geeignet zerlegen bzw. geeignet nähern ! Die vorangehende Rechnung in xyz-Koordinaten ist VIEL komplizierter ! Berechnen Sie das Trägheitsmoment der Schachfigur „Bauer“ um ihre Symmetrieachse ! Welche Näherung liefert das höhere Trägheitsmoment wenn die Volumina gleich sind ? Bauer, 1. Näherung Bauer, 2. Näherung

6 Wenn ein starrer Körper um eine feste Achse rotiert, hat er
kinetische Energie inne (wegen der Bahngeschwindigkeit der konstituierenden Massenelemente). Rollt z.B. ein Zylinder eine reibungsfreie schiefe Ebene hinunter, kommt er später an als ein Quader, weil potentielle Energie in die Rotation und in die Translation des Schwer- punktes gesteckt wird.

7 Eine Arbeitssparmaßnahme: Der Steiner‘sche Satz
Wenn ein Körper der Masse m das Trägheitsmoment Is bezüglich einer Achse durch seinen Massenmittelpunkt hat, ist das Trägheitsmoment I bezüglich einer im Abstand h dazu parallel verlaufenden Achse gegeben durch: I=Is+mh2

8 Freie Achsen Jeder Körper besitzt drei Achsen, auf die bei Drehung weder Kräfte noch Drehmomente wirken. Um diese Achsen herum kann auch ohne Lager eine Drehung durchgeführt werden. Diese Achsen sind die Hauptträgheitsachsen des Körpers (mathematisch gesprochen die Hauptachsen des Tensor- ellipsoids des Trägheitstensors). Man kann diese bestimmen, indem man das Trägheitsmoment I für jede Achse um den Schwerpunkt bestimmt und in Richtung dieser Achse die Länge l-1/2 aufträgt. Das entstehende Ellipsoid hat drei Hauptachsen, deren kürzeste dem größten Trägheitsmoment entspricht. Nur die Drehung um freie Achsen mit extremalem Trägheits- moment ist stabil.

9 Präzession und andere „Wunder“
Versucht man, die Orientierung eines Drehimpulses durch Anwendung einer Kraft zu ändern, weicht der Drehimpuls senkrecht zu L und F aus (was es so schwer macht, den Koffer um die Ecke zu tragen !). Hier sehen Sie, daß die Beschreibung des Drehmoments über ein Kreuzprodukt wirklich physikalisch (=sinnvoll) ist und nicht nur ein wildes mathematisches Konstrukt !!!