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1 Vorlesung vom 18. Januar 2007 Astronomisch, Physikalische und Mathematische Geodäsie II Torsten Mayer-Gürr Vorlesung vom 18. Januar 2007 Astronomisch,

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1 1 Vorlesung vom 18. Januar 2007 Astronomisch, Physikalische und Mathematische Geodäsie II Torsten Mayer-Gürr Vorlesung vom 18. Januar 2007 Astronomisch, Physikalische und Mathematische Geodäsie II Torsten Mayer-Gürr Transformationen

2 2 S G Global Geozentrisch S G Global Geozentrisch Koordinatensysteme und Transformationen S K Konventionell (global), Geodätisch S K Konventionell (global), Geodätisch S L Lokal ellipsoidisch S L Lokal ellipsoidisch S T Topozentrisch, lokal astronomisch S T Topozentrisch, lokal astronomisch T(L,B) (ellipsoidische Länge, Breite) T(λ,φ) (astronomische Länge, Breite) η, ξ, ψ (Lotabweichungen) ε x, ε y, ε z Bursa-Wolf, Molodensky-Badekas …

3 3 S G Global Geozentrisch S G Global Geozentrisch Koordinatensysteme und Transformationen S K Konventionell (global), Geodätisch S K Konventionell (global), Geodätisch S L Lokal ellipsoidisch S L Lokal ellipsoidisch S T Topozentrisch, lokal astronomisch S T Topozentrisch, lokal astronomisch T(L,B) (ellipsoidische Länge, Breite) T(λ,φ) (astronomische Länge, Breite) η, ξ, ψ (Lotabweichungen) ε x, ε y, ε z Bursa-Wolf, Molodensky-Badekas …

4 4 Konventionelles und lokales System Transformation von S K nach S L :

5 5 Konventionelles und lokales System

6 6

7 7

8 8

9 9 Transformation von S K nach S L : mit Transformation von S K nach S L : mit

10 10 Transformation von S G nach S T : mit Transformation von S G nach S T : mit Geozentrisches und topozentrisches System

11 11 Transformation von S G nach S T : mit Transformation von S G nach S T : mit Geozentrisches und topozentrisches System

12 12 Transformation von Basisvektoren und Koordinaten Bisher: Transformation der Basisvektoren Darstellung eines Vektors in Koordinaten Vektoren sind koordinatenunabhängig, dass heißt derselbe Vektor kann in unterschiedlichen Koordinaten ausgedrückt werden

13 13 Transformation der Koordinaten Transformation von Basisvektoren und Koordinaten Bisher: Transformation der Basisvektoren Vektoren und Koordinaten transformieren sich entsprechend

14 14 Beispiel: Zenitrichtung Transformation von Basisvektoren und Koordinaten

15 15 S G Global Geozentrisch S G Global Geozentrisch Koordinatensysteme und Transformationen S K Konventionell (global), Geodätisch S K Konventionell (global), Geodätisch S L Lokal ellipsoidisch S L Lokal ellipsoidisch S T Topozentrisch, lokal astronomisch S T Topozentrisch, lokal astronomisch T(L,B) (ellipsoidische Länge, Breite) T(λ,φ) (astronomische Länge, Breite) η, ξ, ψ (Lotabweichungen) ε x, ε y, ε z Bursa-Wolf, Molodensky-Badekas …

16 16 S G Global Geozentrisch S G Global Geozentrisch Koordinatensysteme und Transformationen S K Konventionell (global), Geodätisch S K Konventionell (global), Geodätisch S L Lokal ellipsoidisch S L Lokal ellipsoidisch S T Topozentrisch, lokal astronomisch S T Topozentrisch, lokal astronomisch T(L,B) (ellipsoidische Länge, Breite) T(λ,φ) (astronomische Länge, Breite) η, ξ, ψ (Lotabweichungen) ε x, ε y, ε z Bursa-Wolf, Molodensky-Badekas …

17 17 S G Global Geozentrisch S G Global Geozentrisch Koordinatensysteme und Transformationen S K Konventionell (global), Geodätisch S K Konventionell (global), Geodätisch S L Lokal ellipsoidisch S L Lokal ellipsoidisch S T Topozentrisch, lokal astronomisch S T Topozentrisch, lokal astronomisch T(L,B) (ellipsoidische Länge, Breite) T(λ,φ) (astronomische Länge, Breite) η, ξ, ψ (Lotabweichungen) ε x, ε y, ε z Bursa-Wolf, Molodensky-Badekas …

18 18 Mit der Drehmatrix: Globales geozentrisches und konventionelles System Transformation von S K nach S G : mit kleinen Klaffungswinkeln Transformation von S K nach S G : mit kleinen Klaffungswinkeln

19 19 Globales geozentrisches und konventionelles System

20 20 Globales geozentrisches und konventionelles System Koordinatenunabhängig: Transformation der Koordinaten

21 21 Transformation der Koordinaten Mit dem Maßstab M=1+m Transformation der Koordinaten Mit dem Maßstab M=1+m Globales geozentrisches und konventionelles System Koordinatenunabhängig: Ähnlichkeitstransformation (7 Parameter) - 3 Translationsparameter - 3 Rotationsparameter - 1 Maßstab Ähnlichkeitstransformation (7 Parameter) - 3 Translationsparameter - 3 Rotationsparameter - 1 Maßstab

22 22 Globales geozentrisches und konventionelles System Bisher: Drehung um den Ursprung von S K Neu: Drehung um beliebigen Punkt x 0 Bisher: Drehung um den Ursprung von S K Neu: Drehung um beliebigen Punkt x 0 Koordinatenunabhängig: Transformation der Koordinaten

23 23

24 24

25 25

26 26 Spezielle Transformationen Modell von Bursa-Wolf - Drehpunkt ist der Ursprung des Systems S K - Drehachsen sind Achsen des Systems S K Modell von Bursa-Wolf - Drehpunkt ist der Ursprung des Systems S K - Drehachsen sind Achsen des Systems S K Modell von Molodensky-Badekas - Drehpunkt ist der Fundamentalpunkt der Landesvermessung - Drehachsen sind Achsen des Systems S K Modell von Molodensky-Badekas - Drehpunkt ist der Fundamentalpunkt der Landesvermessung - Drehachsen sind Achsen des Systems S K Modell von Veis - Drehpunkt ist der Fundamentalpunkt der Landesvermessung - Drehachsen sind Achsen des lokalen ellipsoidischen Systems S L Modell von Veis - Drehpunkt ist der Fundamentalpunkt der Landesvermessung - Drehachsen sind Achsen des lokalen ellipsoidischen Systems S L

27 27 Spezielle Transformationen Modell von Veis - Drehpunkt ist der Fundamentalpunkt der Landesvermessung - Drehachsen sind Achsen des lokalen ellipsoidischen Systems S L Modell von Veis - Drehpunkt ist der Fundamentalpunkt der Landesvermessung - Drehachsen sind Achsen des lokalen ellipsoidischen Systems S L Drehmatrix

28 28 S G Global Geozentrisch S G Global Geozentrisch Koordinatensysteme und Transformationen S K Konventionell (global), Geodätisch S K Konventionell (global), Geodätisch S L Lokal ellipsoidisch S L Lokal ellipsoidisch S T Topozentrisch, lokal astronomisch S T Topozentrisch, lokal astronomisch T(L,B) (ellipsoidische Länge, Breite) T(λ,φ) (astronomische Länge, Breite) η, ξ, ψ (Lotabweichungen) ε x, ε y, ε z Bursa-Wolf, Molodensky-Badekas …

29 29 S G Global Geozentrisch S G Global Geozentrisch Koordinatensysteme und Transformationen S K Konventionell (global), Geodätisch S K Konventionell (global), Geodätisch S L Lokal ellipsoidisch S L Lokal ellipsoidisch S T Topozentrisch, lokal astronomisch S T Topozentrisch, lokal astronomisch T(L,B) (ellipsoidische Länge, Breite) T(λ,φ) (astronomische Länge, Breite) η, ξ, ψ (Lotabweichungen) ε x, ε y, ε z Bursa-Wolf, Molodensky-Badekas …

30 30 Lotabweichungen

31 31 Lotabweichungen Transformation S L nach S T (vorher Überführung in ein Rechtssystem durch Spiegelung der y-Achse) Transformation S L nach S T (vorher Überführung in ein Rechtssystem durch Spiegelung der y-Achse)

32 32 S G Global Geozentrisch S G Global Geozentrisch Koordinatensysteme und Transformationen S K Konventionell (global), Geodätisch S K Konventionell (global), Geodätisch S L Lokal ellipsoidisch S L Lokal ellipsoidisch S T Topozentrisch, lokal astronomisch S T Topozentrisch, lokal astronomisch T(L,B) (ellipsoidische Länge, Breite) T(λ,φ) (astronomische Länge, Breite) η, ξ, ψ (Lotabweichungen) ε x, ε y, ε z Bursa-Wolf, Molodensky-Badekas …

33 33 S G Global Geozentrisch S G Global Geozentrisch Koordinatensysteme und Transformationen S K Konventionell (global), Geodätisch S K Konventionell (global), Geodätisch S L Lokal ellipsoidisch S L Lokal ellipsoidisch S T Topozentrisch, lokal astronomisch S T Topozentrisch, lokal astronomisch T(L,B) (ellipsoidische Länge, Breite) T(λ,φ) (astronomische Länge, Breite) η, ξ, ψ (Lotabweichungen) ε x, ε y, ε z Bursa-Wolf, Molodensky-Badekas …

34 34 Transformation S L nach S T über S K und S G Lotabweichungen Transformation S L nach S T (vorher Überführung in ein Rechtssystem durch Spiegelung der y-Achse) Transformation S L nach S T (vorher Überführung in ein Rechtssystem durch Spiegelung der y-Achse)

35 35 Lotabweichungen Gleichsetzen:

36 36 Linearisierung bei kleinen Winkeln Linearisierung Taylorentwicklung:

37 37 Lotabweichungen Gleichsetzen:

38 38 Lotabweichungen Lotabweichungskomponenten - Ostkomponente - Nordkomponente - Azimutkomponente Lotabweichungskomponenten - Ostkomponente - Nordkomponente - Azimutkomponente Orientierung des Referenzellipsoids

39 39 Lotabweichungen Lotabweichungskomponenten - Ostkomponente - Nordkomponente - Azimutkomponente Lotabweichungskomponenten - Ostkomponente - Nordkomponente - Azimutkomponente Bei Parallelität der globalen Systeme: - Ostkomponente - Nordkomponente - Azimutkomponente Bei Parallelität der globalen Systeme: - Ostkomponente - Nordkomponente - Azimutkomponente

40 40 S G Global Geozentrisch S G Global Geozentrisch Koordinatensysteme und Transformationen S K Konventionell (global), Geodätisch S K Konventionell (global), Geodätisch S L Lokal ellipsoidisch S L Lokal ellipsoidisch S T Topozentrisch, lokal astronomisch S T Topozentrisch, lokal astronomisch T(L,B) (ellipsoidische Länge, Breite) T(λ,φ) (astronomische Länge, Breite) η, ξ, ψ (Lotabweichungen) ε x, ε y, ε z Bursa-Wolf, Molodensky-Badekas …

41 41 S G Global Geozentrisch S G Global Geozentrisch Koordinatensysteme und Transformationen S K Konventionell (global), Geodätisch S K Konventionell (global), Geodätisch S L Lokal ellipsoidisch S L Lokal ellipsoidisch S T Topozentrisch, lokal astronomisch S T Topozentrisch, lokal astronomisch T(L,B) (ellipsoidische Länge, Breite) T(λ,φ) (astronomische Länge, Breite) η, ξ, ψ (Lotabweichungen) ε x, ε y, ε z Bursa-Wolf, Molodensky-Badekas …

42 42 Lokales ellipsoidisches System

43 43 Lokales ellipsoidisches System

44 44 Lokales ellipsoidisches System

45 45 Lokales ellipsoidisches System

46 46 Lokales und Topzentrisches System

47 47 Lokales und Topzentrisches System

48 48 Lokales und Topzentrisches System

49 49 Lokales und Topzentrisches System

50 50 Gemessen: Azimut a, Zenitdistanz z, Strecke d Gesucht: Größen im konventionellen / lokal ellipsoidischen System Gemessen: Azimut a, Zenitdistanz z, Strecke d Gesucht: Größen im konventionellen / lokal ellipsoidischen System Lokales und Topzentrisches System Erste Möglichkeit: 1. Umrechnung polar kartesisch 2. Transformation in lokal ellipsoidisch Erste Möglichkeit: 1. Umrechnung polar kartesisch 2. Transformation in lokal ellipsoidisch mit

51 51 Gemessen: Azimut a, Zenitdistanz z, Strecke d Gesucht: Größen im konventionellen / lokal ellipsoidischen System Gemessen: Azimut a, Zenitdistanz z, Strecke d Gesucht: Größen im konventionellen / lokal ellipsoidischen System Lokales und Topzentrisches System Zweite Möglichkeit: Anbringen von Korrektionen direkt an die gemessenen Größen Zweite Möglichkeit: Anbringen von Korrektionen direkt an die gemessenen Größen Größen im lokal astronomischen System (gemessen) Größen im lokal ellipsoidischen System Azimutdifferenz: Zenitdistanzdifferenz:

52 52 Einsetzen der Polarkoordinaten liefert: Lokales und Topzentrisches System mit

53 53 Lokales und Topzentrisches System Nach Taylorentwicklung und Abbruch nach dem linearen Term:

54 54 Gemessen: Azimut a, Zenitdistanz z, Strecke d Gesucht: Größen im konventionellen / lokal ellipsoidischen System Gemessen: Azimut a, Zenitdistanz z, Strecke d Gesucht: Größen im konventionellen / lokal ellipsoidischen System Lokales und Topzentrisches System Zweite Möglichkeit: Anbringen von Korrektionen direkt an die gemessenen Größen Zweite Möglichkeit: Anbringen von Korrektionen direkt an die gemessenen Größen Größen im lokal astronomischen System (gemessen) Größen im lokal ellipsoidischen System Azimutdifferenz: Zenitdistanzdifferenz:


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