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Annette EickerAPMG 1 1 1 19.01.2014 Annette Eicker 11.11.2011 Das Keplerproblem (Teil 2)

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1 Annette EickerAPMG 1 1 1 19.01.2014 Annette Eicker 11.11.2011 Das Keplerproblem (Teil 2)

2 Annette EickerAPMG 1 2 2 19.01.2014 Wiederholung: Keplerproblem Bewegungsgleichung Orts- und Geschwindigkeitsvektor stehen senkrecht auf C => Konstante Bahnebene Orts- und Geschwindigkeitsvektor stehen senkrecht auf C => Konstante Bahnebene Bahndrehimpuls ist konstant 2. Keplersches Gesetz: In gleichen Zeitintervallen werden gleiche Flächen überstrichen. 2. Keplersches Gesetz: In gleichen Zeitintervallen werden gleiche Flächen überstrichen.

3 Annette EickerAPMG 1 3 3 19.01.2014 Wiederholung: Keplerproblem Bewegungsgleichung Orts- und Geschwindigkeitsvektor stehen senkrecht auf C => Konstante Bahnebene Orts- und Geschwindigkeitsvektor stehen senkrecht auf C => Konstante Bahnebene Bahndrehimpuls ist konstant 2. Keplersches Gesetz: In gleichen Zeitintervallen werden gleiche Flächen überstrichen. 2. Keplersches Gesetz: In gleichen Zeitintervallen werden gleiche Flächen überstrichen. Zusammenhang zwischen Abstand und Winkelgeschwindigkeit

4 Annette EickerAPMG 1 4 4 19.01.2014 Wiederholung: Transformation in das Bahnsystem Position im Bahnsystem Position im Bahnsystem Wahre Anomalie

5 Annette EickerAPMG 1 5 5 19.01.2014 Geschwindigkeit Wiederholung: Bestimmung des Abstands Position gleichsetzen umstellen gleichsetzen umstellen Ellipsengleichung

6 Annette EickerAPMG 1 6 6 19.01.2014 Wiederholung: Ellipse agroße Halbachse bkleine Halbachse Eexzentrische Anomalie pHalbparameter

7 Annette EickerAPMG 1 7 7 19.01.2014 Was haben wir bis jetzt? Bahnform: Ellipse Große Halbachse:a Exzentrizität:e Bahnform: Ellipse Große Halbachse:a Exzentrizität:e Geschwindigkeit Position Ort des Sat. auf der Ellipse Wahre Anomalie: Ort des Sat. auf der Ellipse Wahre Anomalie: Abstand Lage der Ellipse im Raum: Inklination (Bahnneigung): Rektaszension des aufsteigenden Bahnknotens: Argument des Perigäums: Lage der Ellipse im Raum: Inklination (Bahnneigung): Rektaszension des aufsteigenden Bahnknotens: Argument des Perigäums: Transformation in das Inertialsystem

8 Annette EickerAPMG 1 8 8 19.01.2014 Keplerelemente Zeit: Form: Grosse Halbachse Exzentrizität Perigäumsdurchgangszeit Lage: Inklination Rektaszension des aufsteigenden Bahnknotens Argument des Perigäums Perigäum Knotenlinie

9 Annette EickerAPMG 1 9 9 19.01.2014 Was haben wir bis jetzt? Bahnform: Ellipse Große Halbachse:a Exzentrizität:e Bahnform: Ellipse Große Halbachse:a Exzentrizität:e Geschwindigkeit Position Ort des Sat. auf der Ellipse Wahre Anomalie: Ort des Sat. auf der Ellipse Wahre Anomalie: Abstand Lage der Ellipse im Raum: Inklination (Bahnneigung): Rektaszension des aufsteigenden Bahnknotens: Argument des Perigäums: Lage der Ellipse im Raum: Inklination (Bahnneigung): Rektaszension des aufsteigenden Bahnknotens: Argument des Perigäums: Transformation in das Inertialsystem

10 Annette EickerAPMG 1 10 19.01.2014 Was haben wir bis jetzt? Bahnform: Ellipse Große Halbachse:a Exzentrizität:e Bahnform: Ellipse Große Halbachse:a Exzentrizität:e Ort des Sat. auf der Ellipse Wahre Anomalie: Ort des Sat. auf der Ellipse Wahre Anomalie: Lage der Ellipse im Raum: Inklination (Bahnneigung): Rektaszension des aufsteigenden Bahnknotens: Argument des Perigäums: Lage der Ellipse im Raum: Inklination (Bahnneigung): Rektaszension des aufsteigenden Bahnknotens: Argument des Perigäums: Wir kennen den zeitlichen Verlauf der wahren Anomalie noch nicht!

11 Annette EickerAPMG 1 11 Zwischenfazit 19.01.2014 1. Keplersches Gesetz Satellitenbahnen sind Ellipsen mit der Erde im Brennpunkt 2. Keplersches Gesetz In gleichen Zeitintervallen werden gleiche Flächen überstrichen. 3. Keplersches Gesetz Die Quadrate der Umlaufs- zeiten der Satelliten sind proportional zur dritten Potenz der großen Halbachsen. Keplerelemente Die Position des Satelliten kann durch 6 Parameter dargestellt werden Zeit Form (d. Ellipse) Lage (d. Ellipse) Keplerelemente Position, Geschwindigkeit

12 Annette EickerAPMG 1 12 19.01.2014 Zeitlicher Verlauf des Satelliten in der Bahnkurve

13 Annette EickerAPMG 1 13 19.01.2014 Herleitung der Keplergleichung Abstand (Ellipsenglg.) Integration - Integration schwierig - Liefert nur die Umkehrung - Integration schwierig - Liefert nur die Umkehrung Variablensubstitution -> Exzentrische Anomalie E ( lineare Exzentrizität E) Variablensubstitution -> Exzentrische Anomalie E ( lineare Exzentrizität E)

14 Annette EickerAPMG 1 14 19.01.2014 Kreisbahn

15 Annette EickerAPMG 1 15 19.01.2014 Ellipse

16 Annette EickerAPMG 1 16 19.01.2014 Ellipse

17 Annette EickerAPMG 1 17 19.01.2014 Ellipse

18 Annette EickerAPMG 1 18 19.01.2014 Exzentrische Anomalie Ellipsengleichung Wahre Anomalie Exzentrische Anomalie

19 Annette EickerAPMG 1 19 19.01.2014 Herleitung der Keplergleichung Variablensubstitution Umstellen benötigt

20 Annette EickerAPMG 1 20 19.01.2014 Herleitung der Keplergleichung Variablensubstitution + nach kurzer Umformung folgt...

21 Annette EickerAPMG 1 21 19.01.2014 Herleitung der Keplergleichung Variablensubstitution Keplergleichung

22 Annette EickerAPMG 1 22 19.01.2014 Keplergleichung Umlaufzeit Ein Umlauf: Umlaufszeit

23 Annette EickerAPMG 1 23 19.01.2014 Keplergleichung Umlaufzeit Ein Umlauf: Umlaufszeit Die Umlaufszeit hängt nur von der großen Halbachse ab

24 Annette EickerAPMG 1 24 19.01.2014 Keplergleichung Umlaufzeit Ein Umlauf: Umlaufszeit Mittlere Anomalie Umrechnung Mittlere Bewegung (mittlere Winkelgeschwindigkeit) Umlaufszeiten zweier Planeten 3. Keplersches Gesetz: Die Quadrate der Umlaufszeiten der Planeten sind proportional zur dritten Potenz der großen Halbachsen. 3. Keplersches Gesetz: Die Quadrate der Umlaufszeiten der Planeten sind proportional zur dritten Potenz der großen Halbachsen.

25 Annette EickerAPMG 1 25 19.01.2014 Anomalien Mittlere Anomalie Exzentrische Anomalie Wahre Anomalie Die letzte der 6 gesuchten Integrationskonstanten: Entweder - mittlere Anomalie M zum Zeitpunkt t oder - Perigäumsdurchgangszeit: Die letzte der 6 gesuchten Integrationskonstanten: Entweder - mittlere Anomalie M zum Zeitpunkt t oder - Perigäumsdurchgangszeit:

26 Annette EickerAPMG 1 26 Zwischenfazit 19.01.2014 1. Keplersches Gesetz Satellitenbahnen sind Ellipsen mit der Erde im Brennpunkt 2. Keplersches Gesetz In gleichen Zeitintervallen werden gleiche Flächen überstrichen. 3. Keplersches Gesetz Die Quadrate der Umlaufs- zeiten der Satelliten sind proportional zur dritten Potenz der großen Halbachsen. Keplerelemente Die Position des Satelliten kann durch 6 Parameter dargestellt werden Zeit Form (d. Ellipse) Lage (d. Ellipse) Keplerelemente Position, Geschwindigkeit

27 Annette EickerAPMG 1 27 19.01.2014 Anwendung: Kommunikationssatellit Anwendung: Kommunikationssatellit

28 Annette EickerAPMG 1 28 19.01.2014 Fernsehsatellit ASTRASatEarth-1G-1H-2A-2C www.ses-astra.com

29 Annette EickerAPMG 1 29 19.01.2014 Geostationärer Satellit http://www2.jpl.nasa.gov/basics/bsf5-1.html

30 Annette EickerAPMG 1 30 19.01.2014 Keplerelemente Zeit: Form: Grosse Halbachse Exzentrizität Perigäumsdurchgangszeit Lage: Inklination Rektaszension des aufsteigenden Bahnknotens Argument des Perigäums Perigäum Knotenlinie

31 Annette EickerAPMG 1 31 19.01.2014 Geostationärer Satellit Umlaufszeit Konstante Erdrotation mit einem Sterntag: Erde heute Erde nach 23h 56min Sternenlicht aus dem Unendlichen

32 Annette EickerAPMG 1 32 19.01.2014 Konstante Erdrotation mit einem Sterntag: Geostationärer Satellit Umlaufszeit Exzentrizität Kein Wechsel auf die Nord- und Südhalbkugel Grosse Halbachse Inklination Rektaszension des aufsteigenden Bahnknotens nicht definiert Kreisbahn Kein Perigäum Kreisbahn Kein Perigäum Argument des Perigäums nicht definiert Perigäumsdurchgangszeit nicht definiert

33 Annette EickerAPMG 1 33 19.01.2014 http://science.nasa.gov/Realtime/jtrack/3d/JTrack3D.html Satellitenbahnen

34 Annette EickerAPMG 1 34 19.01.2014 Anwendung: Erderkundungssatellit Anwendung: Erderkundungssatellit

35 Annette EickerAPMG 1 35 19.01.2014 GRACE (Gravity Recovery and Climate Experiment ) JPL Anforderungen an die Bahn: Globale Überdeckung => Polbahn => i90° Gleichmäßige Überdeckung: => Verhältnis von Erddrehung und Umlaufzeit sollte nicht ganzzahlig sein => große Halbachse passend wählen Niedrige Flughöhe

36 Annette EickerAPMG 1 36 19.01.2014 Bodenspuren

37 Annette EickerAPMG 1 37 19.01.2014 Bodenspuren 30 Tage 15 Tage 1 Tag

38 Annette EickerAPMG 1 38 19.01.2014 GOCE - Orbit

39 Annette EickerAPMG 1 39 19.01.2014 Anwendung: Repeat Orbits Anwendung: Repeat Orbits

40 Annette EickerAPMG 1 40 19.01.2014 Prinzip Altimetrie W. Bosch

41 Annette EickerAPMG 1 41 19.01.2014 TOPEX/Poseidon Repeat Orbit nach 9,916 Tagen (127 Umläufe) Repeat Orbit nach 9,916 Tagen (127 Umläufe)

42 Annette EickerAPMG 1 42 19.01.2014 GRACE Juli 2003 Juli 2004

43 Annette EickerAPMG 1 43 Zwischenfazit 19.01.2014 1. Keplersches Gesetz Satellitenbahnen sind Ellipsen mit der Erde im Brennpunkt 2. Keplersches Gesetz In gleichen Zeitintervallen werden gleiche Flächen überstrichen. 3. Keplersches Gesetz Die Quadrate der Umlaufs- zeiten der Satelliten sind proportional zur dritten Potenz der großen Halbachsen. Keplerelemente Die Position des Satelliten kann durch 6 Parameter dargestellt werden Zeit Form (d. Ellipse) Lage (d. Ellipse) Keplerelemente Position, Geschwindigkeit


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