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Annette EickerAPMG 1 1 1 19.01.2014 Annette Eicker 11.11.2011 Das Keplerproblem (Teil 2)

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1 Annette EickerAPMG Annette Eicker Das Keplerproblem (Teil 2)

2 Annette EickerAPMG Wiederholung: Keplerproblem Bewegungsgleichung Orts- und Geschwindigkeitsvektor stehen senkrecht auf C => Konstante Bahnebene Orts- und Geschwindigkeitsvektor stehen senkrecht auf C => Konstante Bahnebene Bahndrehimpuls ist konstant 2. Keplersches Gesetz: In gleichen Zeitintervallen werden gleiche Flächen überstrichen. 2. Keplersches Gesetz: In gleichen Zeitintervallen werden gleiche Flächen überstrichen.

3 Annette EickerAPMG Wiederholung: Keplerproblem Bewegungsgleichung Orts- und Geschwindigkeitsvektor stehen senkrecht auf C => Konstante Bahnebene Orts- und Geschwindigkeitsvektor stehen senkrecht auf C => Konstante Bahnebene Bahndrehimpuls ist konstant 2. Keplersches Gesetz: In gleichen Zeitintervallen werden gleiche Flächen überstrichen. 2. Keplersches Gesetz: In gleichen Zeitintervallen werden gleiche Flächen überstrichen. Zusammenhang zwischen Abstand und Winkelgeschwindigkeit

4 Annette EickerAPMG Wiederholung: Transformation in das Bahnsystem Position im Bahnsystem Position im Bahnsystem Wahre Anomalie

5 Annette EickerAPMG Geschwindigkeit Wiederholung: Bestimmung des Abstands Position gleichsetzen umstellen gleichsetzen umstellen Ellipsengleichung

6 Annette EickerAPMG Wiederholung: Ellipse agroße Halbachse bkleine Halbachse Eexzentrische Anomalie pHalbparameter

7 Annette EickerAPMG Was haben wir bis jetzt? Bahnform: Ellipse Große Halbachse:a Exzentrizität:e Bahnform: Ellipse Große Halbachse:a Exzentrizität:e Geschwindigkeit Position Ort des Sat. auf der Ellipse Wahre Anomalie: Ort des Sat. auf der Ellipse Wahre Anomalie: Abstand Lage der Ellipse im Raum: Inklination (Bahnneigung): Rektaszension des aufsteigenden Bahnknotens: Argument des Perigäums: Lage der Ellipse im Raum: Inklination (Bahnneigung): Rektaszension des aufsteigenden Bahnknotens: Argument des Perigäums: Transformation in das Inertialsystem

8 Annette EickerAPMG Keplerelemente Zeit: Form: Grosse Halbachse Exzentrizität Perigäumsdurchgangszeit Lage: Inklination Rektaszension des aufsteigenden Bahnknotens Argument des Perigäums Perigäum Knotenlinie

9 Annette EickerAPMG Was haben wir bis jetzt? Bahnform: Ellipse Große Halbachse:a Exzentrizität:e Bahnform: Ellipse Große Halbachse:a Exzentrizität:e Geschwindigkeit Position Ort des Sat. auf der Ellipse Wahre Anomalie: Ort des Sat. auf der Ellipse Wahre Anomalie: Abstand Lage der Ellipse im Raum: Inklination (Bahnneigung): Rektaszension des aufsteigenden Bahnknotens: Argument des Perigäums: Lage der Ellipse im Raum: Inklination (Bahnneigung): Rektaszension des aufsteigenden Bahnknotens: Argument des Perigäums: Transformation in das Inertialsystem

10 Annette EickerAPMG Was haben wir bis jetzt? Bahnform: Ellipse Große Halbachse:a Exzentrizität:e Bahnform: Ellipse Große Halbachse:a Exzentrizität:e Ort des Sat. auf der Ellipse Wahre Anomalie: Ort des Sat. auf der Ellipse Wahre Anomalie: Lage der Ellipse im Raum: Inklination (Bahnneigung): Rektaszension des aufsteigenden Bahnknotens: Argument des Perigäums: Lage der Ellipse im Raum: Inklination (Bahnneigung): Rektaszension des aufsteigenden Bahnknotens: Argument des Perigäums: Wir kennen den zeitlichen Verlauf der wahren Anomalie noch nicht!

11 Annette EickerAPMG 1 11 Zwischenfazit Keplersches Gesetz Satellitenbahnen sind Ellipsen mit der Erde im Brennpunkt 2. Keplersches Gesetz In gleichen Zeitintervallen werden gleiche Flächen überstrichen. 3. Keplersches Gesetz Die Quadrate der Umlaufs- zeiten der Satelliten sind proportional zur dritten Potenz der großen Halbachsen. Keplerelemente Die Position des Satelliten kann durch 6 Parameter dargestellt werden Zeit Form (d. Ellipse) Lage (d. Ellipse) Keplerelemente Position, Geschwindigkeit

12 Annette EickerAPMG Zeitlicher Verlauf des Satelliten in der Bahnkurve

13 Annette EickerAPMG Herleitung der Keplergleichung Abstand (Ellipsenglg.) Integration - Integration schwierig - Liefert nur die Umkehrung - Integration schwierig - Liefert nur die Umkehrung Variablensubstitution -> Exzentrische Anomalie E ( lineare Exzentrizität E) Variablensubstitution -> Exzentrische Anomalie E ( lineare Exzentrizität E)

14 Annette EickerAPMG Kreisbahn

15 Annette EickerAPMG Ellipse

16 Annette EickerAPMG Ellipse

17 Annette EickerAPMG Ellipse

18 Annette EickerAPMG Exzentrische Anomalie Ellipsengleichung Wahre Anomalie Exzentrische Anomalie

19 Annette EickerAPMG Herleitung der Keplergleichung Variablensubstitution Umstellen benötigt

20 Annette EickerAPMG Herleitung der Keplergleichung Variablensubstitution + nach kurzer Umformung folgt...

21 Annette EickerAPMG Herleitung der Keplergleichung Variablensubstitution Keplergleichung

22 Annette EickerAPMG Keplergleichung Umlaufzeit Ein Umlauf: Umlaufszeit

23 Annette EickerAPMG Keplergleichung Umlaufzeit Ein Umlauf: Umlaufszeit Die Umlaufszeit hängt nur von der großen Halbachse ab

24 Annette EickerAPMG Keplergleichung Umlaufzeit Ein Umlauf: Umlaufszeit Mittlere Anomalie Umrechnung Mittlere Bewegung (mittlere Winkelgeschwindigkeit) Umlaufszeiten zweier Planeten 3. Keplersches Gesetz: Die Quadrate der Umlaufszeiten der Planeten sind proportional zur dritten Potenz der großen Halbachsen. 3. Keplersches Gesetz: Die Quadrate der Umlaufszeiten der Planeten sind proportional zur dritten Potenz der großen Halbachsen.

25 Annette EickerAPMG Anomalien Mittlere Anomalie Exzentrische Anomalie Wahre Anomalie Die letzte der 6 gesuchten Integrationskonstanten: Entweder - mittlere Anomalie M zum Zeitpunkt t oder - Perigäumsdurchgangszeit: Die letzte der 6 gesuchten Integrationskonstanten: Entweder - mittlere Anomalie M zum Zeitpunkt t oder - Perigäumsdurchgangszeit:

26 Annette EickerAPMG 1 26 Zwischenfazit Keplersches Gesetz Satellitenbahnen sind Ellipsen mit der Erde im Brennpunkt 2. Keplersches Gesetz In gleichen Zeitintervallen werden gleiche Flächen überstrichen. 3. Keplersches Gesetz Die Quadrate der Umlaufs- zeiten der Satelliten sind proportional zur dritten Potenz der großen Halbachsen. Keplerelemente Die Position des Satelliten kann durch 6 Parameter dargestellt werden Zeit Form (d. Ellipse) Lage (d. Ellipse) Keplerelemente Position, Geschwindigkeit

27 Annette EickerAPMG Anwendung: Kommunikationssatellit Anwendung: Kommunikationssatellit

28 Annette EickerAPMG Fernsehsatellit ASTRASatEarth-1G-1H-2A-2C

29 Annette EickerAPMG Geostationärer Satellit

30 Annette EickerAPMG Keplerelemente Zeit: Form: Grosse Halbachse Exzentrizität Perigäumsdurchgangszeit Lage: Inklination Rektaszension des aufsteigenden Bahnknotens Argument des Perigäums Perigäum Knotenlinie

31 Annette EickerAPMG Geostationärer Satellit Umlaufszeit Konstante Erdrotation mit einem Sterntag: Erde heute Erde nach 23h 56min Sternenlicht aus dem Unendlichen

32 Annette EickerAPMG Konstante Erdrotation mit einem Sterntag: Geostationärer Satellit Umlaufszeit Exzentrizität Kein Wechsel auf die Nord- und Südhalbkugel Grosse Halbachse Inklination Rektaszension des aufsteigenden Bahnknotens nicht definiert Kreisbahn Kein Perigäum Kreisbahn Kein Perigäum Argument des Perigäums nicht definiert Perigäumsdurchgangszeit nicht definiert

33 Annette EickerAPMG Satellitenbahnen

34 Annette EickerAPMG Anwendung: Erderkundungssatellit Anwendung: Erderkundungssatellit

35 Annette EickerAPMG GRACE (Gravity Recovery and Climate Experiment ) JPL Anforderungen an die Bahn: Globale Überdeckung => Polbahn => i90° Gleichmäßige Überdeckung: => Verhältnis von Erddrehung und Umlaufzeit sollte nicht ganzzahlig sein => große Halbachse passend wählen Niedrige Flughöhe

36 Annette EickerAPMG Bodenspuren

37 Annette EickerAPMG Bodenspuren 30 Tage 15 Tage 1 Tag

38 Annette EickerAPMG GOCE - Orbit

39 Annette EickerAPMG Anwendung: Repeat Orbits Anwendung: Repeat Orbits

40 Annette EickerAPMG Prinzip Altimetrie W. Bosch

41 Annette EickerAPMG TOPEX/Poseidon Repeat Orbit nach 9,916 Tagen (127 Umläufe) Repeat Orbit nach 9,916 Tagen (127 Umläufe)

42 Annette EickerAPMG GRACE Juli 2003 Juli 2004

43 Annette EickerAPMG 1 43 Zwischenfazit Keplersches Gesetz Satellitenbahnen sind Ellipsen mit der Erde im Brennpunkt 2. Keplersches Gesetz In gleichen Zeitintervallen werden gleiche Flächen überstrichen. 3. Keplersches Gesetz Die Quadrate der Umlaufs- zeiten der Satelliten sind proportional zur dritten Potenz der großen Halbachsen. Keplerelemente Die Position des Satelliten kann durch 6 Parameter dargestellt werden Zeit Form (d. Ellipse) Lage (d. Ellipse) Keplerelemente Position, Geschwindigkeit


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