Das Keplerproblem (Teil 2)

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1 Das Keplerproblem (Teil 2)
Annette Eicker

2 Wiederholung: Keplerproblem
Bewegungsgleichung 2. Keplersches Gesetz: In gleichen Zeitintervallen werden gleiche Flächen überstrichen. Bahndrehimpuls ist konstant Orts- und Geschwindigkeitsvektor stehen senkrecht auf C => Konstante Bahnebene

3 Wiederholung: Keplerproblem
Bewegungsgleichung 2. Keplersches Gesetz: In gleichen Zeitintervallen werden gleiche Flächen überstrichen. Bahndrehimpuls ist konstant Orts- und Geschwindigkeitsvektor stehen senkrecht auf C => Konstante Bahnebene Zusammenhang zwischen Abstand und Winkelgeschwindigkeit

4 Wiederholung: Transformation in das Bahnsystem
Position im Bahnsystem Wahre Anomalie

5 Wiederholung: Bestimmung des Abstands
Position Geschwindigkeit gleichsetzen umstellen Ellipsengleichung

6 Wiederholung: Ellipse
a große Halbachse b kleine Halbachse E exzentrische Anomalie p Halbparameter

7 Was haben wir bis jetzt? Bahnform: Ellipse Große Halbachse: a
Exzentrizität: e Geschwindigkeit Position Abstand Ort des Sat. auf der Ellipse Wahre Anomalie: Lage der Ellipse im Raum: Inklination (Bahnneigung): Rektaszension des aufsteigenden Bahnknotens: Argument des Perigäums: Transformation in das Inertialsystem

8 Keplerelemente Zeit: Form: Lage: Perigäumsdurchgangszeit Perigäum
Grosse Halbachse Exzentrizität Lage: Inklination Rektaszension des aufsteigenden Bahnknotens Argument des Perigäums Knotenlinie

9 Was haben wir bis jetzt? Bahnform: Ellipse Große Halbachse: a
Exzentrizität: e Geschwindigkeit Position Abstand Ort des Sat. auf der Ellipse Wahre Anomalie: Lage der Ellipse im Raum: Inklination (Bahnneigung): Rektaszension des aufsteigenden Bahnknotens: Argument des Perigäums: Transformation in das Inertialsystem

10 Wir kennen den zeitlichen Verlauf der wahren Anomalie noch nicht!
Was haben wir bis jetzt? Bahnform: Ellipse Große Halbachse: a Exzentrizität: e Wir kennen den zeitlichen Verlauf der wahren Anomalie noch nicht! Ort des Sat. auf der Ellipse Wahre Anomalie: Lage der Ellipse im Raum: Inklination (Bahnneigung): Rektaszension des aufsteigenden Bahnknotens: Argument des Perigäums:

11 Position, Geschwindigkeit
Zwischenfazit Keplerelemente Die Position des Satelliten kann durch 6 Parameter dargestellt werden 1. Keplersches Gesetz Satellitenbahnen sind Ellipsen mit der Erde im Brennpunkt Zeit Form (d. Ellipse) Lage (d. Ellipse) 2. Keplersches Gesetz In gleichen Zeitintervallen werden gleiche Flächen überstrichen. 3. Keplersches Gesetz Die Quadrate der Umlaufs- zeiten der Satelliten sind proportional zur dritten Potenz der großen Halbachsen. Keplerelemente Position, Geschwindigkeit

12 Zeitlicher Verlauf des Satelliten in der Bahnkurve

13 Herleitung der Keplergleichung
Abstand (Ellipsenglg.) - Integration schwierig - Liefert nur die Umkehrung Integration Variablensubstitution -> Exzentrische Anomalie E (≠ lineare Exzentrizität E)

14 Kreisbahn

15 Ellipse

16 Ellipse

17 Ellipse

18 Exzentrische Anomalie
Ellipsengleichung Wahre Anomalie <=> Exzentrische Anomalie

19 Herleitung der Keplergleichung
Variablensubstitution benötigt Umstellen

20 Herleitung der Keplergleichung
Variablensubstitution + nach kurzer Umformung folgt...

21 Herleitung der Keplergleichung
Variablensubstitution Keplergleichung

22 Umlaufzeit Keplergleichung Ein Umlauf: Umlaufszeit

23 Die Umlaufszeit hängt nur von der großen Halbachse ab
Umlaufzeit Keplergleichung Die Umlaufszeit hängt nur von der großen Halbachse ab Ein Umlauf: Umlaufszeit

24 Umlaufzeit Keplergleichung Ein Umlauf: Umlaufszeiten zweier Planeten
3. Keplersches Gesetz: Die Quadrate der Umlaufszeiten der Planeten sind proportional zur dritten Potenz der großen Halbachsen. Umlaufszeit Mittlere Bewegung (mittlere Winkelgeschwindigkeit) Mittlere Anomalie Umrechnung

25 Anomalien Mittlere Anomalie Exzentrische Anomalie Wahre Anomalie
Die letzte der 6 gesuchten Integrationskonstanten: Entweder - mittlere Anomalie M zum Zeitpunkt t oder - Perigäumsdurchgangszeit:

26 Position, Geschwindigkeit
Zwischenfazit Keplerelemente Die Position des Satelliten kann durch 6 Parameter dargestellt werden 1. Keplersches Gesetz Satellitenbahnen sind Ellipsen mit der Erde im Brennpunkt Zeit Form (d. Ellipse) Lage (d. Ellipse) 2. Keplersches Gesetz In gleichen Zeitintervallen werden gleiche Flächen überstrichen. 3. Keplersches Gesetz Die Quadrate der Umlaufs- zeiten der Satelliten sind proportional zur dritten Potenz der großen Halbachsen. Keplerelemente Position, Geschwindigkeit

27 Kommunikationssatellit
Anwendung: Kommunikationssatellit

28 ASTRASatEarth-1G-1H-2A-2C
Fernsehsatellit ASTRASatEarth-1G-1H-2A-2C

29 Geostationärer Satellit

30 Keplerelemente Zeit: Form: Lage: Perigäumsdurchgangszeit Perigäum
Grosse Halbachse Exzentrizität Lage: Inklination Rektaszension des aufsteigenden Bahnknotens Argument des Perigäums Knotenlinie

31 Geostationärer Satellit
Umlaufszeit Erde heute Erde nach 23h 56min Sternenlicht aus dem Unendlichen Konstante Erdrotation mit einem Sterntag:

32 Geostationärer Satellit
Umlaufszeit Grosse Halbachse Konstante Erdrotation mit einem Sterntag: Exzentrizität Kreisbahn Kein Perigäum Argument des Perigäums nicht definiert Perigäumsdurchgangszeit nicht definiert Kein Wechsel auf die Nord- und Südhalbkugel Inklination Rektaszension des aufsteigenden Bahnknotens nicht definiert

33 Satellitenbahnen

34 Erderkundungssatellit
Anwendung: Erderkundungssatellit

35 GRACE (Gravity Recovery and Climate Experiment )
Anforderungen an die Bahn: Niedrige Flughöhe Globale Überdeckung => Polbahn => i≈90° Gleichmäßige Überdeckung: => Verhältnis von Erddrehung und Umlaufzeit sollte nicht ganzzahlig sein => große Halbachse passend wählen JPL

36 Bodenspuren

37 Bodenspuren 1 Tag 15 Tage 30 Tage

38 GOCE - Orbit

39 Anwendung: Repeat Orbits

40 Prinzip Altimetrie W. Bosch

41 Repeat Orbit nach 9,916 Tagen
TOPEX/Poseidon Repeat Orbit nach 9,916 Tagen (127 Umläufe)

42 GRACE Juli 2003 Juli 2004

43 Position, Geschwindigkeit
Zwischenfazit Keplerelemente Die Position des Satelliten kann durch 6 Parameter dargestellt werden 1. Keplersches Gesetz Satellitenbahnen sind Ellipsen mit der Erde im Brennpunkt Zeit Form (d. Ellipse) Lage (d. Ellipse) 2. Keplersches Gesetz In gleichen Zeitintervallen werden gleiche Flächen überstrichen. 3. Keplersches Gesetz Die Quadrate der Umlaufs- zeiten der Satelliten sind proportional zur dritten Potenz der großen Halbachsen. Keplerelemente Position, Geschwindigkeit