Kreiselgleichungen Annette Eicker 12. Januar 2012 27.03.2017.

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1 Kreiselgleichungen Annette Eicker 12. Januar 2012

2 Wiederholung: Transformation
1. Fall: Bewegung gradlinig-gleichförmig: Die Bewegungsgleichung (und alle anderen Newtonschen Axiome) ist invariant gegenüber der Galileo-Transformation: Transformation zwischen Systemen, die sich gradlinig gleichförmig bewegen und konstant gegeneinander verdreht sind (D = const). => Inertialsysteme.

3 Wiederholung: Rotierendes Koordinatensystem
x Ableitungsoperator r R Bewegung im Inertialsystem Rotation des Bezugssystems Bewegung im rotierenden System Rotationsvektor (enthält die Winkelgeschwindigkeiten) Bewegungsgleichung: 2x Anweden des Operators

4 Wiederholung: Rotierendes Koordinatensystem
Ableitungsoperator Beschleunigung im bewegten System Bewegungsgleichung: 2x Anweden des Operators

5 Bewegungsgleichung im bewegtem System
Inertialsystem Bewegtes System x Zentrifugalkraft Kreiselkraft Corioliskraft r R

6 Kreiselgleichungen

7 Impuls und Drehimpuls Bewegungsgleichung (Bahn)Drehimpuls:
(Linearer) Impuls Drehmoment: K Änderung des Impulses benötigt eine Kraft Änderung des Drehimpulses benötigt ein Drehmoment r

8 Drehimpulsbilanz Teilchensystem Gesamtdrehmoment: Gesamtdrehimpuls:
Änderung des Drehimpulses benötigt ein Drehmoment Teilchensystem Annahme: starres Teilchensystem: Abstände zwischen Teilchen bleiben gleich keine „inneren Drehmomente“: System versetzt sich nicht von alleine in Rotation => Teilchen realisieren (rotierendes) Bezugssystem B

9 Drehimpuls Gesamtdrehimpuls: Änderung der Ortsvektoren
der Teilchen im rotierenden Bezugssystem: (Ortsvektoren drehen sich mit)

10 Drehimpuls Graßman-Identität: Zerlegung der Vektoren bzgl.
Dreibein von B nach ganz viel Umsortieren… Trägheitstensor

11 Starres Teilchensystem
Drehimpulsbilanz Gesamtdrehimpuls: Gesamtdrehimpuls in Koordinaten: Starres Teilchensystem

12 Drehimpulsbilanz Starrer Körper Gesamtdrehimpuls:
Gesamtdrehimpuls in Koordinaten: Starrer Körper

13 Lineare Bewegung <-> Rotation
Impulsänderung benötigt Kraft: Drehimpulsänderung benötigt ein Drehmoment: Impuls: Drehimpuls: Drehvektor (Winkelgeschw.) Geschwindigkeit Träge Masse Trägheitstensor Trägheitstensor: definiert die Trägheit des Körpers gegenüber Drehungen ordnet jeder Drehachse den entsprechenden Drehimpuls zu

14 Trägheitstensor Drehimpuls Der Trägkeitstensor ist eine 3x3 Matrix
Beispiel: z y x

15 Trägheitstensor Drehimpuls Der Trägkeitstensor ist eine 3x3 Matrix
Beispiel: z Drehung um die z-Achse: Das Trägheitsmoment C ist groß y x

16 Trägheitstensor Drehimpuls Der Trägkeitstensor ist eine 3x3 Matrix
Beispiel: z Drehung um die y-Achse: Das Trägheitsmoment B klein y x

17 Einschub: Trägheitsmomente
Trägheitsmoment für jede beliebige Achse kann aus Trägheitstensor berechnet werden Trägheitsmoment: Gibt den Widerstand eines starren Körpers gegenüber einer Änderung seiner Rotationsbewegung an. (äquivalent zur Masse bei der translatorischen Bewegung) Ist Drehachse = Koordinatenachse, dann ist das Trägheitsmoment das zugehörige Diagonalelement des Tensors hängt ab von: Form des Körpers Massenverteilung des Körper Drehachse vollständigen Beschreibung des Trägheitsverhaltens eines starren Körpers reicht deshalb eine einzelne Zahl nicht aus Trägheitstensor (als Verallgemeinerung des Trägheitsmoments)

18 Drehung des Koordinatensystems
Gesamtdrehimpuls: Starrer Körper Drehmatrix Neues Koordinatensystem: mit den Transformationen Wahl des Koordinatensystem, so dass der Trägheitstensor Diagonalgestalt annimmt Hauptachsensystem Eigenwert Eigenvektor => Eigenwertzerlegung

19 Lineare Bewegung <-> Rotation
Impulsänderung benötigt Kraft: Drehimpulsänderung benötigt ein Drehmoment: Impuls: Drehimpuls: Drehvektor (Winkelgeschw.) Geschwindigkeit Träge Masse Trägheitstensor Dies führt auf die Bewegungsgleichung (DGL): Dies führt auf die Eulerschen Kreiselgleichungen (DGL): Dies wird auf den nächsten Folien gezeigt!

20 Kreiselgleichungen Bilanzgleichung Ableitungsoperator
Im rotierenden System Drehimpuls Drehimpuls im Hauptachsensystem Eulersche Kreiselgleichungen Beschreiben die Rotation eines starren Körpers im Hauptachsensystem

21 Trägheitsbewegung Eulersche Kreiselgleichungen Einfacher Fall:
- Drehmomentfrei (Trägheitsbewegung) - Rotationsellipsoid Kreiselgleichungen

22 Trägheitsbewegung Abgeplattete Erde k ist eine beliebige Konstante!
Kreiselgleichungen Abgeplattete Erde Diese Differenzialgleichungen sollen jetzt gelöst werden. Aus 3. Gleichung folgt Abkürzung Allgemeine Lösung k ist eine beliebige Konstante!

23 => Vektoren liegen in einer Ebene
Trägheitsbewegung Alles im körperfesten System B: Drehvektor Drehimpuls Skalarprodukte Betrag => Konstante Zwischenwinkel Spatprodukt => Vektoren liegen in einer Ebene

24 Trägheitsbewegung Bilanzgleichung Drehimpulsvektor ist raumfest
Figurenachse Drehimpulsachse Drehachse Drehimpulsvektor ist raumfest

25 Trägheitsbewegung Bilanzgleichung Drehimpulsvektor ist raumfest
Figurenachse Drehimpulsachse Drehachse

26 Trägheitsbewegung Bilanzgleichung Drehimpulsvektor ist raumfest
Figurenachse Drehimpulsachse Drehachse

27 Trägheitsbewegung Figurenachse Drehimpulsachse Drehachse körperfestes
Koordinatensystem B

28 Rotation der Erde Drehvektor Eigenschaften der Erde
Frequenz Eigenschaften der Erde Masse M 5,97371024 kg Äquatorradius a ,6 m Trägheitsmoment A 0,  Ma2 Trägheitsmoment B 0,  Ma2 Trägheitsmoment C 0,  Ma2 tägliche Drehung 7,29211510-5 rad/s ergibt die Eulerperiode von 305 Sterntagen

29 Bewegung der Drehachse im erdfesten System
Rotation der Erde ~305 Tage Bewegung der Drehachse im erdfesten System Figurenachse Drehimpulsachse Drehachse

30 Wie kommt dieser Unterschied zustande?
Rotation der Erde Drehvektor Eigenschaften der Erde Masse M 5,97371024 kg Äquatorradius a ,6 m Trägheitsmoment A 0,  Ma2 Trägheitsmoment B 0,  Ma2 Trägheitsmoment C 0,  Ma2 tägliche Drehung 7,29211510-5 rad/s ergibt die Eulerperiode von 305 Sterntagen Wie kommt dieser Unterschied zustande? Beobachtet ist die Chandlerperiode ~432 Sterntage