Kapitel 4: Symmetrieelemente ohne Translation

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1 Kapitel 4: Symmetrieelemente ohne Translation
4.1 Symmetrieeigenschaften 4.2 Drehachsen 4.3 Drehinversionsachsen

2 Symmetrieeigenschaften
Symmetrie bedeutet gesetzmäßige Wiederholung eines Motivs. (Alle Deckoperationen heißen Symmetrieoperationen.)  Sind ein Punkt, eine Gerade oder eine Ebene dadurch ausgezeichnet, daß sie nach Einwirkung einer Symmetrieoperation am Ort verbleiben, so nennt man sie das zugehörige Symmetrieelement. Die Kenntnis der Symmetrieelemente bringt erhebliche Vorteile.

3 Symmetrieeigenschaften
Allen Gittern gemeinsam ist die Translationssymmetrie. (Einwirkung von 3 nicht komplanaren Gitter-Translationen auf einen Punkt  Raumgitter)  Andere Symmetrieeigenschaften treten nicht notwendigerweise in jedem Gitter auf. Die Translationssymmetrie schränkt die Zahl denkbarer Symmetrieelemente drastisch ein.

4 Symmetrieoperationen
r´ = M r + t   Drehung Translation 2 Gruppen von Symmetrieoperationen: t = 0 Bestimmen die Kristallmorphologie. Sind makroskopisch erkennbar. Sind auf Objekte endlicher Ausdehnung streng anwendbar. t  0 Bechreiben die Kristallstruktur. Sind makroskopisch nicht erkennbar. Sind streng nur auf -ausgedehnte Objekte anwendbar.

5 Symmetrieoperationen
Gitterpunkt  transformierter Gitterpunkt Drehung r = x a + y b + z c r´ = x´ a + y´ b + z´ c r´ = M r x´ x y´ = M y z´ z

6 Identität Drehwinkel: 360° Symbol: 1 (nach Hermann-Mauguin)
graphisches Symbol: -

7 Identität Orientierungsmöglichkeiten: 1 0 0 M1 = 0 0 1

8 Zweizählige Drehachse
Drehwinkel: 180° Symbol: 2 graphisches Symbol: Almandin (Sammlung TU Clausthal-Z.) Afrikanisches Mosaik

9 Zweizählige Drehachsen
Orientierungsmöglichkeiten:

10 Dreizählige Drehachse
Drehwinkel: 120° Symbol: 3 graphisches Symbol: Molekül Almandin-Einkristall Gebrauchsgrafik

11 Dreizählige Drehachsen
Orientierungsmöglichkeiten: 0 -1 0 M(31c)= 0 0 1

12 Vierzählige Drehachse
Drehwinkel: 90° Symbol: 4 graphisches Symbol: Almandin-Granatoeder Edelsteinschliff

13 Vierzählige Drehachsen
Orientierungsmöglichkeiten: 0 -1 0 M(41c)= 0 0 1

14 Sechszählige Drehachse
Drehwinkel: 60° Symbol: 6 graphisches Symbol: Edelsteinschliff

15 Sechszählige Drehachsen
Orientierungsmöglichkeiten:

16 5-7-... 5-, 7- und höherzählige Drehachsen genügen
nicht der Translationssymmetrie. Deshalb sind sie in dreidimensional-periodischen Strukturen verboten. Parallele Gittergeraden müssen gleiche Translationsperiode haben.

17 Kontinuierliche Drehung
Drehwinkel: beliebig Symbol:  graphisches Symbol: - Kreisel Fujiyama

18 Kontinuierliche Drehung
Repräsentiert u.a. Feldsymmetrien. Matrix einer Drehung um c mit j cos j -sin j 0 M = sin j cos j 0 0 0 1

19 Grundwissen Drehachsen
Drehachsen können in folgenden Kristallsystemen auftreten: 1 in allen 2 monoklin, rhombisch, trigonal, hexagonal, tetragonal, kubisch 3 trigonal, hexagonal, kubisch 4 tetragonal, kubisch 6 hexagonal 5 nur in Quasikristallen  -

20 Symmetrieeigenschaften
Drehung und Translation sind eigentliche, kongruente Symmetrieoperationen I. Art. (Sie bringen Objekte mit sich selbst zur Deckung.)  Drehinversionen sind uneigentliche, enantiomorphe Symmetrieoperationen II. Art. (Sie überführen ein Objekt in sein Spiegelbild.) Man kann sie als Kopplung von Drehung und Inversion veranschaulichen.

21 Drehinversion Gitterpunkt  transformierter Drehung + Inversion Gitterpunkt r = x a + y b + z c r´ = x´ a + y´ b + z´ c r´ = M r Inversion

22 Inversionszentrum Drehwinkel: 360° Symbol: 1 (nach Hermann-Mauguin)
graphisches Symbol: o

23 Spiegelebene Drehwinkel: 180° Symbol: m = 2 graphisches Symbol:
Afrikanischer Geist Muschel Almandin (kubisch)

24 Dreizählige Drehinversionsachse
Drehwinkel: 120° Symbol: 3 graphisches Symbol: Blick: von vorn von hinten Almandin (Fe3Al2[SiO4]3

25 Vierzählige Drehinversionsachse
Drehwinkel: 90° Symbol: 4 graphisches Symbol: Almandin - {100}- und {110}Flächen

26 Sechszählige Drehinversionsachse
Drehwinkel: 60° Symbol: 6 graphisches Symbol: Stereogramm einer trigonalen Dipyramide

27 5-, 7- und höherzählige Drehinversionsachsen genügen nicht der Translationssymmetrie. Deshalb sind sie in dreidimensional-periodischen Strukturen verboten.

28 Kontinuierliche Drehung
Drehwinkel: beliebig Symbol:  graphisches Symbol: -

29 Grundwissen Drehinversionsachsen
Drehinversionsachsen können in folgenden Kristallsystemen auftreten: 1 in allen 2=m monoklin, rhombisch, trigonal, hexagonal, tetragonal, kubisch 3 trigonal, hexagonal, kubisch 4 tetragonal, kubisch 6 hexagonal 5 nur in Quasikristallen  -

30 Übung 4 Bestimmen Sie die Lage aller 13 einfachen Drehachsen eines Würfels ! Welchen Querschnitt hat ein Prisma, das eine 2-, 3-, 4- oder 6-zählige Drehachse zeigt ? Welche Drehinversionsachsen enthalten ein Inversionszentrum ? Formulieren Sie die Matrizen für die folgenden Symmetrieoperationen: 2b (2 0,y,0) 3c2 (3- 0,0,z) 4b1 (4+ 0,y,0) Geben Sie an, für welche Koordinatensysteme die Matrizen gültig sind ! Bestimmen Sie an ausgewählten Kristallmodellen (Holzklötzchen) die Symmetrieelemente ! Hinweis: M·( ) => neue Koordinaten x y z