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Kapitel 4: Symmetrieelemente ohne Translation 4.1Symmetrieeigenschaften 4.2Drehachsen 4.3Drehinversionsachsen.

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2 Kapitel 4: Symmetrieelemente ohne Translation 4.1Symmetrieeigenschaften 4.2Drehachsen 4.3Drehinversionsachsen

3 Symmetrieeigenschaften Symmetrie bedeutet gesetzmäßige Wiederholung eines Motivs. (Alle Deckoperationen heißen Symmetrieoperationen.)  Sind ein Punkt, eine Gerade oder eine Ebene dadurch ausgezeichnet, daß sie nach Einwirkung einer Symmetrieoperation am Ort verbleiben, so nennt man sie das zugehörige Symmetrieelement.  Die Kenntnis der Symmetrieelemente bringt erhebliche Vorteile.

4 Symmetrieeigenschaften Allen Gittern gemeinsam ist die Translationssymmetrie. (Einwirkung von 3 nicht komplanaren Gitter-Translationen auf einen Punkt  Raumgitter)  Andere Symmetrieeigenschaften treten nicht notwendigerweise in jedem Gitter auf.  Die Translationssymmetrie schränkt die Zahl denkbarer Symmetrieelemente drastisch ein.

5 Symmetrieoperationen r´ = M r + t  Drehung Translation 2 Gruppen von Symmetrieoperationen: t = 0 Bestimmen die Kristallmorphologie. Sind makroskopisch erkennbar. Sind auf Objekte endlicher Ausdehnung streng anwendbar. t  0 Bechreiben die Kristallstruktur. Sind makroskopisch nicht erkennbar. Sind streng nur auf  -ausgedehnte Objekte anwendbar.

6 Symmetrieoperationen Gitterpunkt  transformierter Gitterpunkt Drehung r = x a + y b + z cr´ = x´ a + y´ b + z´ c r´ = M r x´x y´= My z´z

7 Drehwinkel:360° Symbol:1 (nach Hermann-Mauguin) graphisches Symbol:- Identität

8 Orientierungsmöglichkeiten: 100 M 1 =

9 Zweizählige Drehachse Drehwinkel:180° Symbol:2 graphisches Symbol: Afrikanisches Mosaik Almandin (Sammlung TU Clausthal-Z.)

10 Zweizählige Drehachsen Orientierungsmöglichkeiten:

11 Dreizählige Drehachse Drehwinkel:120° Symbol:3 graphisches Symbol: Gebrauchsgrafik Molekül Almandin-Einkristall

12 Dreizählige Drehachsen Orientierungsmöglichkeiten: 0-10 M (3 1 c ) =

13 Vierzählige Drehachse Drehwinkel:90° Symbol:4 graphisches Symbol: Edelsteinschliff Almandin-Granatoeder

14 Vierzählige Drehachsen Orientierungsmöglichkeiten: 0-10 M (4 1 c ) =

15 Sechszählige Drehachse Drehwinkel:60° Symbol:6 graphisches Symbol: Edelsteinschliff

16 Sechszählige Drehachsen Orientierungsmöglichkeiten:

17 , 7- und höherzählige Drehachsen genügen nicht der Translationssymmetrie. Deshalb sind sie in dreidimensional- periodischen Strukturen verboten. Parallele Gittergeraden müssen gleiche Translationsperiode haben.

18 Kontinuierliche Drehung Drehwinkel:beliebig Symbol:  graphisches Symbol:- Fujiyama Kreisel

19 Kontinuierliche Drehung Repräsentiert u.a. Feldsymmetrien. Matrix einer Drehung um c mit  cos  -sin  0 M = sin  cos 

20 Grundwissen Drehachsen 1in allen 2monoklin, rhombisch, trigonal, hexagonal, tetragonal, kubisch 3trigonal, hexagonal, kubisch 4tetragonal, kubisch 6hexagonal 5nur in Quasikristallen  - Drehachsen können in folgenden Kristallsystemen auftreten:

21 Symmetrieeigenschaften Drehung und Translation sind eigentliche, kongruente Symmetrieoperationen I. Art. (Sie bringen Objekte mit sich selbst zur Deckung.)  Drehinversionen sind uneigentliche, enantiomorphe Symmetrieoperationen II. Art. (Sie überführen ein Objekt in sein Spiegelbild.)  Man kann sie als Kopplung von Drehung und Inversion veranschaulichen.

22 Drehinversion Gitterpunkt  transformierter Drehung + InversionGitterpunkt r = x a + y b + z cr´ = x´ a + y´ b + z´ c r´ = M r Inversion

23 Drehwinkel:360° Symbol:1 (nach Hermann-Mauguin) graphisches Symbol:o Inversionszentrum ¯

24 Spiegelebene Drehwinkel:180° Symbol:m = 2 graphisches Symbol: ¯ Afrikanischer Geist Muschel Almandin (kubisch)

25 Dreizählige Drehinversionsachse Drehwinkel:120° Symbol:3 graphisches Symbol: ¯ Blick: von vorn von hinten Almandin (Fe 3 Al 2 [SiO 4 ] 3

26 Vierzählige Drehinversionsachse Drehwinkel:90° Symbol:4 graphisches Symbol: ¯ Almandin - {100}- und {110}Flächen

27 Sechszählige Drehinversionsachse Drehwinkel:60° Symbol:6 graphisches Symbol: ¯ Stereogramm einer trigonalen Dipyramide

28 , 7- und höherzählige Drehinversionsachsen genügen nicht der Translationssymmetrie. Deshalb sind sie in dreidimensional- periodischen Strukturen verboten.

29 Kontinuierliche Drehung Drehwinkel:beliebig Symbol:  graphisches Symbol:- ¯

30 Grundwissen Drehinversionsachsen 1in allen 2=mmonoklin, rhombisch, trigonal, hexagonal, tetragonal, kubisch 3trigonal, hexagonal, kubisch 4tetragonal, kubisch 6hexagonal 5nur in Quasikristallen  - Drehinversionsachsen können in folgenden Kristallsystemen auftreten: ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

31 Bestimmen Sie die Lage aller 13 einfachen Drehachsen eines Würfels ! Welchen Querschnitt hat ein Prisma, das eine 2-, 3-, 4- oder 6-zählige Drehachse zeigt ? Welche Drehinversionsachsen enthalten ein Inversionszentrum ? Formulieren Sie die Matrizen für die folgenden Symmetrieoperationen: 2 b (2 0,y,0) 3 c 2 (3 - 0,0,z) 4 b 1 (4 + 0,y,0) Geben Sie an, für welche Koordinatensysteme die Matrizen gültig sind ! Bestimmen Sie an ausgewählten Kristallmodellen (Holzklötzchen) die Symmetrieelemente ! Hinweis: M · ( ) => neue Koordinaten xyzxyz Übung 4


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