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1 STATISIK LV Nr.: 1375 SS 2005 17. März 2005. 2 Statistische Tests Einführung: Testen von Hypothesen (Annahmen, Behauptungen) Statistischer Test: Verfahren,

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1 1 STATISIK LV Nr.: 1375 SS März 2005

2 2 Statistische Tests Einführung: Testen von Hypothesen (Annahmen, Behauptungen) Statistischer Test: Verfahren, mit dessen Hilfe sich bestimmte Hypothesen auf ihre Richtigkeit hin überprüfen lassen. Statistische Testverfahren basieren auf Stichprobentheorie

3 3 Statistische Tests Einführung: Ziel: Richtigkeit von Aussagen über die Verteilung einer Zufallsvariablen überprüfen. Entscheidungsgrundlage: Ergebnis eines zufälligen Vorgangs. Daher: Entscheidungen nicht immer richtig Aber: Beim Vorliegen einiger der möglichen Verteilungen ist die Wahrscheinlichkeit falsch zu entscheiden beschränkt.

4 4 Statistische Tests: Hypothesen Hypothesen: Annahmen, Behauptungen, Aussagen über unbekannte Grundgesamtheit 2 Arten von Hypothesen: –Parameterhypothesen, Überprüfung durch Parametertests –Verteilungshypothesen, Überprüfung durch Verteilungstests

5 5 Statistische Tests: Hypothesen Formulierung von Hypothesen: Nullhypothese H 0 (Ausgangshypothese) Alternativhypothese H 1 (Gegenhypothese)

6 6 Statistische Tests: Hypothesen Bsp. Anteile: –H 0 : Ausschussanteil = 10% –H 1 : Ausschussanteil > 10% Mittelwerte: –H 0 : Mittlere Länge eines Werkstücks = 5cm –H 1 : Mittlere Länge eines Werkstücks  5cm Gruppenvergleich: –H 0 : Gruppe 1 und Gruppe 2 sind gleich –H 1 : Gruppe 1 und Gruppe 2 sind ungleich

7 7 Statistische Tests Entscheidung für H 0 oder H 1 basiert auf einer Stichprobe x 1,…,x n Wahrscheinlichkeitsaussage ob H 0 zutrifft oder nicht. Frage: H 0 ablehnen (verwerfen) oder H 0 nicht ablehnen?

8 8 Statistische Tests Mögliche Fehlentscheidungen: Fehler 1. Art (α-Fehler): obwohl H 0 korrekt ist wird H 0 abgelehnt Fehler 2. Art (β-Fehler): obwohl H 0 falsch ist wird H 0 nicht abgelehnt.

9 9 Statistische Tests Fehlentscheidungen Trifft zu Entscheidung H0H0 H1H1 H0H0 Richtige Entscheidung Fehler 2. Art (β -Fehler) H1H1 Fehler 1. Art (α-Fehler) Richtige Entscheidung

10 10 Statistische Tests Problem bei Fehlentscheidungen: Falsche Entscheidung Man weiß nicht, ob man in einer konkreten Situation einen Fehler macht, sondern nur welcher Art dieser ist.

11 11 Statistische Tests Signifikanzniveau eines Tests α: –Die Wahrscheinlichkeit eine Fehler 1. Art zu machen ist höchstens α, daher „Test zum Niveau α“ - egal mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Fehler 2. Art begangen wird.

12 12 Statistische Tests Trifft H 0 zu und entscheidet man sich für H 1, dann ist die Wahrscheinlichkeit dabei einen Fehler zu machen ≤ α (α bekannt, wird festgelegt). Trifft H 1 zu und entscheidet man sich für H 0, dann ist die Wahrscheinlichkeit dabei eine Fehler zu machen = β (β unbekannt).

13 13 Statistische Tests

14 14 Statistische Tests D.h. durch Festlegen des α-Niveaus ist nur die Entscheidung für H 1 abgesichert. Bei Entscheidung für H 1 : –H 1 ist richtig, –H 1 ist falsch, ich mache einen Fehler mit Wahrscheinlichkeit ≤ α. Daher: Formuliere H 0 so, dass sie abgelehnt werden soll. bzw. in H 0 soll diejenige Annahme festgelegt werden, der die größere Bedeutung zukommt.

15 15 Statistische Tests Bsp. Medikamententest H 0 : Medikament ist nicht wirksam gegen H 1 : Medikament wirkt. –Fehler 1. Art: das Medikament wirkt nicht, man glaubt aber dass es wirkt –Fehler 2. Art: das Medikament wirkt, man glaubt aber dass es unwirksam ist. Wähle α=0,01 (sehr klein), da Risiko ein nichtwirksames Medikament als wirksam einzustufen sehr groß ist.

16 16 Statistische Tests Arten von Hypothesen: Einseitige Hypothesen –H 0 : θ ≤ θ 0 gegen H 1 : θ > θ 0 –H 0 : θ ≥ θ 0 gegen H 1 : θ < θ 0 Zweiseitige Hypothesen –H 0 : θ = θ 0 gegen H 1 : θ ≠ θ 0 Verteilungshypothesen: –H 0 : bestimmten Vt. gegen H 1 : nicht diese Vt.

17 17 Statistische Tests Arten von Testproblemen: –Einseitige Testprobleme Tests für einseitige Hypothesen –Zweiseitige Testprobleme Tests für zweiseitige Hypothesen –Anpassungstests Test für Verteilungshypothesen

18 18 Statistische Tests Gütefunktion oder Macht g(θ): Wahrscheinlichkeit sich für H 1 zu entscheiden, falls θ der wahre Parameter ist. Test zum Niveau α: –g(θ) ≤ α für alle θ  H 0 –g(θ) ≥ α für alle θ  H 1 –Ist θ  H 1, ist 1-g(θ) Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art. –Funktion 1-g(θ) heißt Operationscharakteristik (OC)

19 19 Statistische Tests

20 20 Statistische Tests

21 21 Statistische Tests Trennschärfe eines Tests: –Steilheit der OC Kurve 1-g(θ) –Es gilt: Je größer die Stichprobe umso besser die Trennschärfe.

22 22 Statistische Tests

23 23 Statistische Tests Vorgehensweise bei statistischen Tests (I): –Formulierung von H 0 und H 1 und Festlegen des Signifikanzniveaus –Festlegung einer geeigneten Prüfgröße und Bestimmung der Testverteilung unter H 0. –Bestimmung des kritischen Bereichs –Berechnung der Prüfgröße (=Teststatistik) –Entscheidung und Interpretation

24 24 Statistische Tests Vorgehensweise bei statistischen Tests (II): –Formulierung von H 0 und H 1 und Festlegen des Signifikanzniveaus –Festlegung einer geeigneten Prüfgröße und Bestimmung der Testverteilung unter H 0. –Berechnung der Prüfgröße (=Teststatistik) –Bestimmung des p-Wertes der Teststatistik –Entscheidung und Interpretation

25 25 Statistische Tests p-Wert –Anstatt den kritischen Bereich bzw. die kritischen Werte zu bestimmen, Berechnung des „p-Wertes“. –p-Wert (p-value): Niveau, bei dem der Test gerade noch abgelehnt hätte. –Vergleich des p-Wertes mit dem vorher festgesetzten Niveau α. –Entscheidung: Lehne H 0 ab, wenn p-Wert < α

26 26 Statistische Tests Einseitige Tests (I) –H 0 : θ ≤ θ 0 gegen H 1 : θ > θ 0 und α = 0,05 –Teststatistik (T) und deren Verteilung unter H 0 bestimmen. –Bestimmung des kritischen Bereichs bzw. des kritischen Werts (c) –T > c, lehne H 0 ab –T ≤ c, lehne H 0 nicht ab

27 27 Statistische Tests

28 28 Statistische Tests Einseitige Tests (II) –H 0 : θ ≤ θ 0 gegen H 1 : θ > θ 0 und α = 0,05 –Teststatistik (T) und deren Verteilung unter H 0 bestimmen. –Bestimmung des p-Wertes –p < 2·α, lehne H 0 ab –p ≥ 2·α, lehne H 0 nicht ab

29 29 Statistische Tests

30 30 Statistische Tests Einseitige Tests (I) –H 0 : θ ≥ θ 0 gegen H 1 : θ < θ 0 und α = 0,05 –Teststatistik (T) und deren Verteilung unter H 0 bestimmen. –Bestimmung des kritischen Bereichs bzw. des kritischen Werts (c) –T < c, lehne H 0 ab –T ≥ c, lehne H 0 nicht ab

31 31 Statistische Tests

32 32 Statistische Tests Einseitige Tests (II) –H 0 : θ ≥ θ 0 gegen H 1 : θ < θ 0 und α = 0,05 –Teststatistik (T) und deren Verteilung unter H 0 bestimmen. –Bestimmung des p-Wertes –p < 2·α, lehne H 0 ab –p ≥ 2·α, lehne H 0 nicht ab

33 33 Statistische Tests

34 34 Statistische Tests Zweiseitige Tests (I) –H 0 : θ = θ 0 gegen H 1 : θ ≠ θ 0 und α = 0,05 –Teststatistik (T) und deren Verteilung unter H 0 bestimmen. –Bestimmung des kritischen Bereichs bzw. der kritischen Werte (c u und c o ) –T c o, lehne H 0 ab –c u ≤ T ≤ c o, lehne H 0 nicht ab

35 35 Statistische Tests

36 36 Statistische Tests Zweiseitige Tests (II) –H 0 : θ = θ 0 gegen H 1 : θ ≠ θ 0 und α = 0,05 –Teststatistik (T) und deren Verteilung unter H 0 bestimmen. –Bestimmung des p-Wertes –p < α, lehne H 0 ab –p ≥ α, lehne H 0 nicht ab

37 37 Statistische Tests

38 38 Statistische Tests Kritischer Wert: Wert auf der Achse p-Wert: Wert auf der Dichtfunktion Entscheidung: –Lehne H 0 ab, wenn Prüfgröße im kritischen Bereich –Lehen H 0 ab, wenn p-Wert der Prüfgröße < α

39 39 χ² Unabhängigkeitstest Chi-Quadrat (χ²) Unabhängigkeitstest Teste ob 2 nominalskalierte Merkmale voneinander unabhängig sind. Bsp. Sind Geschlecht und Rauchverhalten voneinander unabhängig?

40 40 χ² Unabhängigkeitstest Chi-Quadrat (χ²) Unabhängigkeitstest H 0 : die beiden Merkmale sind voneinander unabhängig. H 1 : die beiden Merkmale sind nicht voneinander unabhängig, d.h. sie sind voneinander abhängig Festlegen des Signifikanzniveaus α.

41 41 χ² Unabhängigkeitstest Kontingenztafel: –Absolute Häufigkeiten der Merkmalsausprägungen A \ Bb1b1...bsbs ∑ a1a1 h 11 …h 1s h 1. :::: arar h r1 …h rs h r. ∑h.1...h.s h.. = n

42 42 χ² Unabhängigkeitstest Bsp. 4-Felder Tafel: –Absolute Häufigkeiten der Merkmalsausprägungen

43 43 χ² Unabhängigkeitstest Prüfgröße und Testverteilung: Prinzip: Vergleiche die Werte, die man unter Unabhängigkeit der Merkmale erwarten würde (h e ), mit den tatsächlich beobachteten Werten (h o ). Wenn H 0 gilt, welche Werte würde man erwarten? Berechung der unter H 0 erwarteten absoluten Häufigkeiten.

44 44 χ² Unabhängigkeitstest Unter H 0 erwartete absoluten Häufigkeiten Interpretation der relativen Häufigkeiten als Wahrscheinlichkeiten Dann: unter H 0 erwartete absoluten Häufigkeiten

45 45 χ² Unabhängigkeitstest Bsp. Geschlecht - Rauchverhalten

46 46 χ² Unabhängigkeitstest Teststatistik χ²: –Abweichung der beobachteten Häufigkeiten von den erwartete Häufigkeiten

47 47 χ² Unabhängigkeitstest Verteilung der Teststatistik χ²: χ²-Verteilung mit v = (r-1)·(s-1) Freiheitsgraden

48 48 χ² Unabhängigkeitstest Kritischer Bereich: Signifikanzniveau α Kritischer Wert: α-Quantil der χ² (r-1)·(s-1) Verteilung Lehne H 0 ab, wenn gilt: Wert der Teststatistik > kritischer Wert

49 49 χ² Unabhängigkeitstest Bsp. Geschlecht – Rauchverhalten: Teststatistik χ² Verteilung der Teststatistik: χ² 1 Chi-Quadrat Verteilung mit einem Freiheitsgrad

50 50 χ² Unabhängigkeitstest Bsp. Geschlecht – Rauchverhalten: Kritischer Wert: 0,05-Quantil der χ² 1 Vt. = 3,84 Entscheidung: (I) Teststatistik = 0,9 < 3,84 = kritischer Wert. Also: Lehne H 0 nicht ab. (II) p-Wert = 0,33 > 0,05. Also: Lehne H 0 nicht ab. Interpretation: Geschlecht und Rauchverhalten sind voneinander unabhängig.

51 51 χ² Homogenitätstest Chi-Quadrat (χ²) Homogenitätstest Betrachte zwei oder mehr Gruppen bzw. Stichproben. Teste, ob die Stichproben aus der gleichen Grundgesamtheit stammen.

52 52 χ² Homogenitätstest Chi-Quadrat (χ²) Homogenitätstest H 0 : die beiden Stichproben stammen aus der gleichen Grundgesamtheit. H 1 : die beiden Stichproben stammen nicht aus der gleichen Grundgesamtheit. Festlegen des Signifikanzniveaus α.

53 53 χ² Homogenitätstest Bsp. Geschlecht – Rauchverhalten H 0 : Das Rauchverhalten der beiden Gruppen stimmt überein. H 1 : Das Rauchverhalten der beiden Gruppen stimmt nicht überein.

54 54 χ² Homogenitätstest Prüfgröße und Testverteilung: Prinzip: Vergleiche die Werte, die man unter H 0 (gleiche Grundgesamtheit) erwarten würde (h e ), mit den tatsächlich beobachteten Werten (h o ). Wenn H 0 gilt, welche Werte würde man erwarten? Berechung der unter H 0 erwarteten absoluten Häufigkeiten.

55 55 χ² Homogenitätstest Unter H 0 erwartete absoluten Häufigkeiten

56 56 χ² Homogenitätstest Teststatistik χ²: –Abweichung beobachteten Häufigkeiten und erwartete Häufigkeiten Verteilung der Teststatistik χ²: χ²-Verteilung mit v = (r-1)·(s-1) Freiheitsgraden

57 57 χ² Homogenitätstest Bsp. Geschlecht – Rauchverhalten: Teststatistik χ² = 0,9 Verteilung der Teststatistik: χ² 1 Entscheidung: –(I) χ² = 0,9 < 3,84. Lehne H 0 nicht ab. –(II) p-Wert = 0,33 > 0,05. Lehne H 0 nicht ab. Interpretation: die beiden Gruppen (Männer, Frauen) stammen aus der gleichen Grundgesamtheit, sie sind homogen.

58 58 χ² Tests χ² Unabhängigkeits- und Homogenitätstests: Teststatistik und Testverteilung sind gleich Nullhypothese und Interpretation sind verschieden. –Test auf Unabhängigkeit (die Merkmale sind unabhängig voneinander) –Test auf Homogenität (die Stichproben stammen aus der gleichen Grundgesamtheit).

59 59 χ² Tests χ² Unabhängigkeits- und Homogenitätstests: Für die Approximation durch die χ²-Vt. sollten die erwarteten Häufigkeiten jeder Zelle  5 sein und keine der Zellen sollte unbesetzt sein. Sind die Voraussetzungen verletzt, kann man einen exakten Test durchführen (siehe Hartung S. 414ff)

60 60 Anpassungstests Test einer Verteilungshypothese – Nichtparametrische Testverfahren Betrachtet Unterschied zw. Stichproben-Vt. und theoretischer Verteilung. „Anpassungstest“ weil die Güte der Anpassung einer theoretischen Vt. an eine empirische Vt. überprüft wird.

61 61 Anpassungstests χ² Anpassungstest: H 0 : die Grundgesamtheit gehorcht einer bestimmten Verteilung. Vorgehensweise: –Bestimme die unter H 0 zu erwartenden Häufigkeiten h e und vergleiche sie mit den beobachteten Häufigkeiten h o. –Abweichung groß – Entscheidung gegen H 0, Abweichung klein – Entscheidung für H 0.

62 62 Anpassungstests χ² Anpassungstest: Teststatistik: k... Anzahl der Merkmalsausprägungen (diskrete Merkmale) bzw. Anzahl der Klassen (stetigen Merkmalen) Testverteilung: χ² v verteilt mit v=n-1 Es gilt wieder: h e sollten  5 sein.

63 63 Anpassungstests χ² Anpassungstest: Entscheidung: –Bestimmung des kritischen Bereichs, χ² > kritischer Wert, lehne H 0 ab –Bestimmung des p-Wertes, p-Wert < α lehne H 0 ab

64 64 Anpassungstests Kolmogorov-Smirnov- Anpassungstest: Test zur Beurteilung der Güte der Anpassung einer erwarteten theoretischen Verteilung an eine beobachtete empirische Verteilung. H 0 : die Grundgesamtheit gehorcht einer bestimmten Verteilung. Prinzip: Abweichung empirische- von der theoretische Verteilungsfunktion.

65 65 Anpassungstests Kolmogorov-Smirnov- Anpassungstest: Prüfgröße (D): –größte beobachtete absolute Abweichung der theoretischen von der empirischen Verteilungsfunktion. Testverteilung: –„Kolmogorov-Smirnov- Verteilung“, hängt nur vom Stichproben-umfang n ab (1-α Quantile in Tabelle nachschlagen). Entscheidung: –D > kritischer Wert (aus Tabelle), lehne H 0 ab.

66 66 Anteilstests Einstichprobentest für den Anteilswert –Hat der Anteil einen bestimmten Wert, bzw. liegt er in einem bestimmten Bereich? –Entscheidung basiert auf dem Ergebnis einer einzigen Stichprobe. Zweistichprobentest für Anteilswerte –Unterscheiden sich die Anteile zweier unabhängiger Gruppen? –Entscheidung basiert auf zwei Stichproben

67 67 Anteilstest - Einstichprobentest Einstichprobentest für den Anteilswert: Einseitige Hypothesen: –H 0 : θ ≤ θ 0 gegen H 1 : θ > θ 0 –H 0 : θ ≥ θ 0 gegen H 1 : θ < θ 0 Zweiseitige Hypothesen: –H 0 : θ = θ 0 gegen H 1 : θ ≠ θ 0

68 68 Anteilstest - Einstichprobentest Vorgehensweise: Teststatistik bestimmen Testverteilung bestimmen Entescheidung über Annahme oder Ablehnung von H 0.

69 69 Anteilstest - Einstichprobentest Anteilswert einer Stichprobe: P = x / n Unter H 0 ist P, wenn nθ 0 (1-θ 0 ) ≥ 9, approximativ N-Vt., mit Parametern –E(P) = θ 0 –Var(P) = θ 0 (1-θ 0 )/n · [(N-n)/(N-1)] Vernachlässigung der Endlichkeitskorrektur wenn n/N < 0,05.

70 70 Anteilstest - Einstichprobentest Prüfgröße / Teststatistik: Standardisierte Zufallsvariable Z:

71 71 Anteilstest - Einstichprobentest Testverteilung: Teststatistik Z ist unter H 0 N(0,1) verteilt. Daher: Testverteilung ist die Standardnormalverteilung.

72 72 Anteilstest - Einstichprobentest Kritischer Bereich: α festlegen (z.B. α = 0,05) Kritischer Wert: α – Quantil der N(0,1)-Vt. Entscheidung: H 0 ablehnen, wenn Teststatistik im kritischen Bereich. p-Wert: α festlegen (z.B. α = 0,05) p-Wert: Niveau, bei dem der Test gerade noch die H 0 ablehnen würde. Entscheidung: H 0 ablehnen, wenn p-Wert < α (zweiseitiger Test) bzw. p < 2α (einseitiger Test).

73 73 Anteilstest - Einstichprobentest Bsp: Anteil der weiblichen Studenten H 0 : p w ≤ 0,5 gegen H 1 : p w > 0,5 und α=0,05 Approximation durch N-Vt. zulässig, da unter H 0 nθ 0 (1-θ 0 ) = 9,5 ≥ 9. Unter H 0 : E(P) = 0,5, Var(P) = 0,0065 und σ P = 0,0811 (Vernachlässigung der Endlichkeitskorrektur).

74 74 Anteilstest - Einstichprobentest Bsp: Anteil der weiblichen Studenten Teststatistik: Z = 0,324 Testverteilung: N(0,1) Kritischer Wert: 1,64 p-Wert: 0,378 Entscheidung: Lehne H 0 nicht ab (Z 0,1 = 2α) Interpretation: Der Frauenanteil ist nicht signifikant größer als 50%.

75 75 Anteilstest - Zweistichprobentest Test für die Differenz zweier Anteilswerte Stichprobe 1: Anteil P 1 = x / n 1 Grundgesamtheit 1: Anteil θ 1 Stichprobe 2: Anteil P 2 = x / n 2 Grundgesamtheit 2: Anteil θ 2 H 0 : Anteilswerte der beiden Grundgesamtheiten sind gleich. H 0 : θ 1 = θ 2 (=θ) gegen H 1 : θ 1 ≠ θ 2

76 76 Anteilstest - Zweistichprobentest Teststatistik: ( Unter Vernachlässigung der Endlichkeitskorrektur und wenn Voraussetzungen für eine N-Vt. erfüllt sind) Verteilung der Teststatistik unter H 0 : Z ~ N(0,1)

77 77 Anteilstest - Zweistichprobentest Entscheidung: Bestimmung des kritischen Bereichs. –Z > |c| lehne H 0 ab Bestimmung des p-Wertes –p-Wert < α lehne H 0 ab Interpretation: Wird H 0 abgelehnt, dann sind die Anteile in den beiden Gruppen signifikant verschieden.

78 78 Test für arithmetisches Mittel Einstichprobentest für das arithm. Mittel: –Hat das arithm. Mittel einen bestimmten Wert, bzw. liegt es in einem bestimmten Bereich? –Entscheidung basiert auf dem Ergebnis einer einzigen Stichprobe. Zweistichprobentest für das arithm. Mittel –Unterscheiden sich die Mittelwerte zweier Gruppen? –Entscheidung basiert auf zwei Stichproben

79 79 Test für arithmetisches Mittel Einstichprobentest für das arithm. Mittel: –Varianz der Grundgesamtheit ist bekannt. –Varianz der Grundgesamtheit ist unbekannt.

80 80 Test für arithmetisches Mittel Einstichprobentest für das arithm. Mittel: Zweiseitige Hypothese: H 0 : µ = µ 0 gegen H 1 : µ ≠ µ 0 Festlegen des Signifikanzniveaus

81 81 Test für arithmetisches Mittel Varianz der Grundgesamtheit ist bekannt. Unter H 0 ist das arithm. Mittel der Stichprobe N-Vt. mit E=µ und Var=σ²/n Teststatistik: Testverteilung: N(0,1)

82 82 Test für arithmetisches Mittel Bestimmung des kritischen Bereichs bzw. Berechung des p-Wertes Entscheidung Interpretation

83 83 Test für arithmetisches Mittel Varianz der Grundgesamtheit ist unbekannt. Schätzwert für unbekanntes σ²: Stichprobenvarianz s². Teststatistik: Testverteilung: t n-1 t-Test

84 84 Test für arithmetisches Mittel Bestimmung des kritischen Bereichs: kritische Werte: α/2-Quantile der t-Vt., symmetrische Vt. daher t c u = -t c o Berechung des p-Wertes: Entscheidung: |t| > t c, lehne H 0 ab p-Wert < α, lehne H 0 ab Interpretation

85 85 Test für arithmetisches Mittel Bsp. mittlere Körpergröße (n = 38) H 0 : µ = 170 gegen H 1 : µ  170, α = 0,05 Arithm. Mittel der Stpr: 174 Standardabweichung der Stichprobe: 10,4 Teststatistik: T = ( ) / 10,4/  38 = 2,5 Kritischer Wert: 2,02 p-Wert: 0,016 Mittlere Körpergröße ist signifikant  170

86 86 Test für arithmetisches Mittel Zweistichprobentest für die Differenz zweier arithmetischer Mittel –Unterscheiden sich die Mittelwerte zweier Grundgesamtheiten? –Unterscheiden sich die Mittelwerte zweier verbundener Stichproben?

87 87 Test für arithmetisches Mittel Differenz zweier arithmetischer Mittel die aus 2 Grundgesamtheiten stammen. Voraussetzung: –Stichproben unabhängig –Stichproben stammen aus einer N-vt. Grundgesamtheiten bzw. Approximation durch N-Vt. ist zulässig –Endlichkeitskorrektur ist vernachlässigbar

88 88 Test für arithmetisches Mittel Unterscheide, ob die Varianzen der beiden Grundgesamtheiten homogen sind oder nicht. Varianzen verschieden, σ 1 ²  σ 2 ² : Teststatistik: Testverteilung: Z asymptotisch N(0,1)-vt.

89 89 Test für arithmetisches Mittel Varianzhomogenität, σ 1 ² = σ 2 ² = σ²: Teststatistik: wobei Testverteilung: T ~ t v mit v=n 1 +n 2 -2 Freiheitsgarden

90 90 Test für arithmetisches Mittel Verbundene Stichproben (abhängige oder gepaarte Stpr.) –Tritt auf, wenn z.B. die Merkmalsausprägungen der ersten Stpr. und die der zweiten jeweils an demselben Merkmalsträger erhoben werden. Bsp: vorher – nachher Untersuchungen. Test für die Differenz arithmetischer Mittel bei verbundenen Stichproben.

91 91 Test für arithmetisches Mittel Differenzen der Wertepaare: D i = X 2i – X 1i sind N-vt. mit E(D i ) = µ 2i - µ 1i = δ und Var(D i ) =σ D ² Teststatistik: Testverteilung: T~t v mit v=n-1

92 92 Test für Varianz Einstichprobentest für die Varianz: –Hat die Varianz einen bestimmten Wert, bzw. liegt er in einem bestimmten Bereich? –Entscheidung basiert auf dem Ergebnis einer einzigen Stichprobe. Zweistichprobentest für die Varianz –Unterscheiden sich die Varianzen zweier Gruppen? –Entscheidung basiert auf zwei Stichproben

93 93 Test für Varianz Einstichprobentest für die Varianz: Annahme: Grundgesamtheit normalverteilt H 0 : σ² = σ 0 ² gegen H 1 : σ²  σ 0 ² Teststatistik: Testverteilung: χ² v mit v=n-1 Entscheidung: –χ² > χ² c o oder χ² < χ² c u, lehnen H 0 ab –p-Wert < α, lehne H 0 ab

94 94 Test für Varianz Zweistichprobentest für den Quotienen zweier Varianzen: Annahme: Grundgesamtheit normalverteilt H 0 : σ 1 ² = σ 2 ² gegen H 1 : σ 1 ²  σ 2 ² Teststatistik: Testverteilung: F v1,v2 mit v 1 =n 1 -1 und v 2 =n 2 -1 Entscheidung: –F > F c o oder F < F c u, lehnen H 0 ab –p-Wert < α, lehne H 0 ab


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