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Statistische Methoden I WS 2001/2002 Zur Geschichte der Statistik I. Beschreibende Statistik 1. Grundlegende Begriffe 2. Eindimensionales Datenmaterial.

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1 Statistische Methoden I WS 2001/2002 Zur Geschichte der Statistik I. Beschreibende Statistik 1. Grundlegende Begriffe 2. Eindimensionales Datenmaterial 2.1. Der Häufigkeitsbegriff 2.2. Lage- und Streuungsparameter 2.3. Konzentrationsmaße (Lorenz-Kurve) 3. Mehrdimensionales Datenmaterial 3.1. Korrelations- und Regressionsrechnung 3.2. Indexzahlen 3.3. Saisonbereinigung

2 II. Wahrscheinlichkeitstheorie 1. Laplacesche Wahrscheinlicheitsräume 1.1. Kombinatorische Formeln 1.2. Berechnung von Laplace-Wahrschein- lichkeiten 2. Allgemeine Wahrscheinlichkeitsräume 2.1. Der diskrete Fall 2.2. Der stetige Fall 2.3. Unabhängigkeit und bedingte Wahrscheinlichkeit 3. Zufallsvariablen 3.1. Grundbegriffe 3.2. Erwartungswert und Varianz 3.3. Binomial- und Poisson-Verteilung 3.4. Die Normalverteilung und der Zentrale Grenzwertsatz

3 III. Induktive Statistik 1. Schätztheorie 1.1. Grundbegriffe, Stichproben 1.2. Maximum-Likelihood-Schätzer 1.3. Erwartungstreue Schätzer 1.4. Konfidenzintervalle 1.5. Spezialfall Binomial-Verteilung 2. Spezialfall Normalverteilung 2.1. Student- und Chi-Quadrat-Verteilung 2.2. Konfidenzintervalle 3. Tests 3.1. Grundbergriffe 3.2. Tests einfacher Hypothesen (Neyman-Pearson-Test) 3.3. Tests zusammengesetzter Hypothesen 3.4. Vergleich zweier unabhängiger Stichproben 3.5. Chi-Quadrat-Tests 3.6. Kolmogorov-Smirnov-Test 3.7. Einfache Varianzanalyse

4 Beschreibende Statistik (= Deskriptive Statistik) Beschreibung von Datenmaterial Schließenden Statistik (= Induktive Statistik) Analyse von Datenmaterial, Hypothesen, Prognosen Teil I Teil III Wahrscheinlich- keitstheorie Teil II

5 Statistische Struktur (diskreter Fall) Dabei sind:

6 Schätzproblem Schätzer

7 Stichprobe (diskreter Fall)

8 Mathematischer Rahmen

9 Stichprobenfunktionen Beispiele

10 Stichproben (stetiger Fall)

11 Mathematischer Rahmen

12 Statistische Struktur diskret stetig

13 Maximum-Likelihood-Schätzer (diskreter Fall) Likelihood-Funktion M-L-Schätzer mit oder

14 Der Parameter ist die beste Erklärung für die Beobachtung

15 Normalverteilte Stichprobenvariable M-L-Schätzer Erwarungswert Hier spielt es keine Rolle, ob die Varianz bekannt ist oder nicht. In jedem Fall gilt:

16 Normalverteilte Stichprobenvariable M-L-Schätzer Varianz bekannt

17 Normalverteilte Stichprobenvariable M-L-Schätzer Varianz unb ekannt

18 Übersicht

19 Beispiel Äpfeln Gewicht von Äpfeln Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten italienischen Anbaugebiet

20 Erwartungstreue Schätzer Wenn der Parameter selbst geschätzt werden soll: Wenn ein allgemeines statistisches Problem vorliegt: Dabei bedeutet der Index, dass der Erwartungswert bzgl. des W.maßes zum Parameter genommen wird.

21 Schätzung des Erwartungswertes der Stichprobenvariablen X Statistisches Problem gegeben durch: Erwartungstreuer Schätzer:

22 Schätzung der Varianz der Stichprobenvariablen X Statistisches Problem gegeben durch: Erwartungstreuer Schätzer: Erwartungswert bekannt

23 Schätzung der Varianz der Stichprobenvariablen X Statistisches Problem gegeben durch: Erwartungstreuer Schätzer: Erwartungswert unbekannt

24 Normalverteilte Stichprobenvariable Erwartungstreuer Schätzer für den Erwarungswert Hier spielt es wieder keine Rolle, ob die Varianz bekannt ist oder nicht. In jedem Fall gilt: erwartungstreu ist erwartungstreu

25 Normalverteilte Stichprobenvariable Erwartungstreuer Schätzer für die Varianz bekannt erwartungstreu ist erwartungstreu

26 Normalverteilte Stichprobenvariable Erwartungstreuer Schätzer für die Varianz unb ekannt erwartungstreu ist erwartungstreu Kein M-L-Schätzer!!

27 Übersicht erwartungstreu erwartungstreu erwartungstreu nicht erwartungstreu

28 Achtung Aufgabe!

29 Konfidenzintervalle Intervallschätzung Jeder Beobachtung wird ein Intervall C( ) der reellen Zahlen zugeordnet Niveau Dabei ist die Wahrscheinlichkeit. eine Beobachtung zu machen, für die der wahre Parameter im zugehörigen Intervall liegt, größer oder gleich 1 -

30 Niveau klein Das Niveau wird klein gewählt. (Wir nehmen in unseren Beispielen in den meisten Fällen = 0.05 oder = 0.1) Zusammen- Es gibt aber einen Zusammen- hang hang zwischen der Breite der Konfidenzintervalle und dem Niveau: Niveau kleiner Intervall breiter Die Intervallbreite soll möglichst gering sein.

31 Beispiel Kaufhaus-Konzern Kauf würde in Erwägung gezogen Kauf würde nicht in Erwägung gezogen

32 Der Zentrale Grenzwertsatz

33 Approximative Konfidenzintervalle im Bernoulli-Fall I Konfidenzintervall zum Niveau

34 Approximative Konfidenzintervalle im Bernoulli-Fall II Vereinfachung für großes n (n 100)

35 Achtung Aufgabe!

36 Konfidenzintervall für den Erwartungswert Varianz bekannt Annahme: Konfidenzintervalle: wobei Varianz ist bekannt Fall Normalverteilung

37 Konfidenzintervall für den Erwartungswert Varianz unbekannt Student-Verteilung (oder t-Verteilung) Fall Normalverteilung

38 Konfidenzintervall für die Varianz Erwartungswert bekannt Einseitig Chi-Quadrat- Verteilung Fall Normalverteilung

39 Konfidenzintervall für die Varianz Erwartungswert bekannt zweiseitig Chi-Quadrat- Verteilung Fall Normalverteilung

40 Konfidenzintervall für die Varianz Erwartungswert unbekannt Einseitig Chi-Quadrat- Verteilung Fall Normalverteilung

41 Konfidenzintervall für die Varianz Erwartungswert unbekannt Zweiseitig Chi-Quadrat- Verteilung Fall Normalverteilung

42 Achtung Aufgabe!

43 TESTS

44 Worum es geht Man möchte testen, ob eine bestimmte Annahme (Hypothese) über Parameter der Realität entspricht oder nicht. Beobachtung (Stichprobe) Entscheidung Vorgabe: Irrtumswahr- scheinlichkeit Formulierung einer Hypothese Da man sich in der Statistik nie ganz sicher sein kann: Die Irrtumswahr- scheinlichkeit sollte klein sein.

45 Mathematischer Rahmen I TESTS Statistische Struktur Testproblem (Hypothese) Niveau Gegeben sind: Stetiger Fall Diskreter Fall

46 Mathematischer Rahmen II TESTS Test Test gegeben durch: Ablehnungsbereich Teilmenge der Grund- gesamtheit : Menge aller Beobachtungen, die zur Ablehnung der Hypothese führen

47 Mathematischer Rahmen III TESTS Beobachtung (Stichprobe) Entweder Oder Beobachtung liegt im Annahmebereich Beobachtung liegt im Ablehnungsbereich Hypothese annehmen! Hypothese ablehnen!

48 Fehler erster und zweiter Art Hypothese akzeptiert Hypothese abgelehnt Hypothese wahr Hypothese falsch Entschei-dung Realität Fehler 1. Art Fehler 2. Art

49 2 Würfel Fairer Würfel Gezinkter Würfel 1/6 1/5 ? ?

50 Test für den Erwartungswert Varianz bekannt Fall Normalverteilung

51 Test für den Erwartungswert Varianz unbekannt Fall Normalverteilung

52 Achtung Aufgabe!

53 Achtung noch eine

54 Vergleich zweier unabhängiger Stichproben

55 Vergleich zweier unabhängiger Stichproben 1. Fall 2 unabhängige Stichproben mit Stichprobenvariablen X und Y Annahmen: X und Y normalverteilt Varianz von X = Varianz von Y Hypothese: Erwartungswert von X = Erwartungswert von Y

56 Vergleich zweier unabhängiger Stichproben 1. Fall Prüfgröße n: Umfang der Stichprobe 1 (Stichprobenvariable X) m: Umfang der Stichprobe 2 (Stichprobenvariable Y) Ablehnungsbereich bestimmt durch

57 Achtung Aufgabe!

58 Vergleich zweier unabhängiger Stichproben 2. Fall 2 unabhängige Stichproben mit Stichprobenvariablen X und Y Annahmen: X und Y normalverteilt n und m groß (> 30), damit Approximation der Varianzen sinnvoll Hypothese: Erwartungswert von X = Erwartungswert von Y

59 Vergleich zweier unabhängiger Stichproben 2. Fall Ausgangspunkt Approximation Prüfgröße Ablehnungsbereich bestimmt durch

60 Achtung Aufgabe!

61 Chi-Quadrat-Tests

62 Satz von Karl Pearson I X: Stichprobenvariable, die r > 2 verschieden Werte annehmen kann: Die Verteilung von X ist durch einen Wahrscheinlichkeitsvektor gegeben. Stichprobe vom Umfang n:

63 Satz von Karl Pearson II Dann hat man: Dabei ist:

64 Chi-Quadrat-Test auf Anpassung Hypothese Ablehnungsbereich

65 Fairer Würfel? Hypothese verwerfen!

66 Bakterielle Infektion durch Stämme I, II, III Vermutung Konkrete Stichprobe (80 Infektionen) (siehe: Gelbrich) Typ Prozentsatz IIIIII Anzahl IIIIII Typ

67 Krankmeldungen Wochentag Mo Di Mi Do Fr n Anzahl Krankmeldungen

68 Achtung Aufgabe!

69 Chi-Quadrat-Test auf Unabhängigkeit I Hypothese Ablehnungsbereich

70 Chi-Quadrat-Test auf Unabhängigkeit II

71 Chi-Quadrat-Test auf Unabhängigkeit III

72 Berufsstatus Vater - Sohn 38

73 Achtung Aufgabe!

74 Chi-Quadrat-Test auf Homogenität Hypothese Ablehnungsbereich

75 Produktion zweier Betriebe

76 Zusammenhang zwischen Geschlecht und Schulbildung

77 Mathe-Test Klasse 9 1. Versuch

78 Mathe-Test Klasse 9 2. Versuch

79 Achtung Aufgabe!

80 Chi-Quadrat-Tests Übersicht

81 Faustregeln Chi-Quadrat-Tests Test auf Anpassung Test auf Unabhängigkeit Test auf Homogenität

82 Kolmogorov-Smirnov-Test

83 Problem: Testen, ob die Stichproben- variable eine vorgegebene stetige Verteilung besitzt

84 Durchführung Kolmogorov-Smirnov-Test I Berechnung Abstände berechnen und Hypothese )

85 Durchführung Kolmogorov-Smirnov-Test II Arbeitstabelle Maximum der Werte der letzten beiden Spalten

86 Durchführung Kolmogorov-Smirnov-Test III Ablehnungsbereich Niveau 0.05

87 EinfacheVarianzanalyse

88 Problem: Testen, ob unabhängige Stichprobenvariablen die selbe Normal- verteilung besitzen

89 Mittelwerte der Klassen und Gesamtmittelwert

90 Durchführung der einfachen Varianzanalyse I Mittelwerte und Varianzen der einzelnen Betriebe Gesamtmittelwert N: Gesamtumfang der Stichproben r: Zahl der Betriebe 1 2 Q : Maß für die Varianz innerhalb der einzelnen Betriebe Q : Maß für die Varianz zwischen den Betrieben 1 2 Berechnung von Benötigte Daten:

91 Durchführung der einfachen Varianzanalyse II

92 Durchführung der einfachen Varianzanalyse III Berechnung von Bestimmung von Ablehnungsbereich

93 Viel Erfolg bei der Klausur!!!


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