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T - Test Prüfung des Mittelwerteunterschieds bei abhängigen und unabhängigen Stichproben.

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Präsentation zum Thema: "T - Test Prüfung des Mittelwerteunterschieds bei abhängigen und unabhängigen Stichproben."—  Präsentation transkript:

1 t - Test Prüfung des Mittelwerteunterschieds bei abhängigen und unabhängigen Stichproben

2 Aufbau 1.Praktische Problemstellung 2.Logik der Schlussweise bei der Prüfung eines Mittelwertsunterschieds 3.Praktische Durchführung am Beispiel

3 Problemstellung Anzahl der gefundenen Zielelemente in einem Konzentrationsleistungstest (verhältnisskaliert) GruppierungsvariableMessgröße Gibt es Unterschiede in der Leistung von Mädchen und Jungen? Frage Geschlecht M J

4 Problemstellung Geschlecht MJ Wir untersuchen 20 Jungen und 20 Mädchen und berechnen Mittelwerte 26.7 – 17.2 = 9.5 Gibt es wirkliche Unterschiede in der Leistung von Mädchen und Jungen oder ist der gefundene Unterschied rein zufällig? Frage

5 Modellvorstellung Population der Jungen Stichprobe des Umfangs N Population der Mädchen Stichprobe des Umfangs N Bilde Mittelwertsdifferenz Tue dies k - mal: Verteilung der Differenzen von Mittelwerten

6 Modellvorstellung Verteilung der Differenzen von Mittelwerten Annahme: Die Populationsmittelwerte von Jungen und Mädchen sind gleich Der Erwartungswert der Differenzen von Mittelwerten ist Null (ungerichtet)

7 Verteilung der Differenzen von Mittelwerten Wahrscheinlichkeitsdichte f(x) 3 Festlegungen für die Verteilung: 2. Die sind normalverteilt (für N M + N J 50) 1. Sie hat den Mittelwert 0 3. Sie hat eine Standardabweichung (Standardfehler) Wir können die Wahrscheinlichkeitsbestimmung vornehmen, wenn der Standardfehler bekannt ist

8 Bestimmung des Standardfehlers Annahme: Ist die Messvariable eine in beiden Populationen unabhängige ZV: Jungen und Mädchen kommen aus derselben Population

9 Schätzung des Standardfehlers Für die Populationsvarianz verwendet man eine Schätzung aus den Daten beider Stichproben: wobei und die Stichprobenvarianzen sind Dann gilt als beste Schätzung des Standardfehlers der Mittelwertsdifferenz

10 Prinzip der Testung Testung der Gültigkeit der Nullhypothese über die Bestimmung der Auftretenswahrscheinlichkeit von in der theoretischen Verteilung der Differenzen von Mittelwerten mit dem Erwartungswert Fall 1: N M + N J 50 (standardnormalverteilt) Fall 2: N M + N J < 50 (t – verteilt mit N M + N J - 2 Freiheitsgraden) Fall 2: N M + N J < 50

11 Prinzip der Testung (zweiseitig) t 0 Prüfgrösse Testen zum Signifikanzniveau : Ist |t| > t 1- /2 ? Signifikanzniveau AnnahmebereichAblehnungsbereich

12 Die t- Verteilung Kritische Werte sind bei der t- Verteilung im Vergleich zur N- Verteilung größer Normalverteilung t- Verteilung mit df = 10 Ablehnung der H0 erst bei größeren Werten der Prüfgröße

13 Prüfgröße und Entscheidung Gilt die Nullhypothese M = J (bzw. = 0) so ist t - verteilt mit N M + N J -2 Freiheitsgraden. Ist die Wahrscheinlichkeit einen extremeren Wert als den empirischen t - Wert zu erhalten, kleiner oder gleich 5%, so sehen wir die Nullhypothese als zu unwahrscheinlich an und vermuten, dass ein wirklicher Mittelwertsunterschied in den Populationen besteht.

14 Entscheidung 1. Berechne A. GiltAblehnung von H0 (die Mittelwerte der J. und M. sind signifikant verschieden) 3. Entscheide B. GiltBeibehalten von H0 (die Mittelwerte der J. und M. unterscheiden sich nur zufällig) 2. Ermittle kritischen t - Wert nach der t - Verteilung

15 Praktische Berechnung – 17.2 = 9.5 Geschlecht MJ

16 Praktische Entscheidung 1. Berechne Es gilt Ablehnung von H0: Die Wahrscheinlichkeit der gefundenen Mittelwertsdifferenz ist kleiner als 5%. 3. Entscheide 2. Ermittle kritischen t - Wert nach der t- Verteilung: ( = 0.05;df = 38) Der Mittelwertsunterschied der Jungen und Mädchen ist signifikant

17 Voraussetzungen des t- Tests für unabhängige Stichproben 1.Für N 1 + N 2 < 50 müssen die Werte aus normalverteilten Populationen stammen (Prüfung der Stichprobenwerte auf Normalverteilung) 2.Die Populationsvarianzen, die beiden Stichproben zugrundeliegen müssen gleich (homogen) sein (Prüfung der geschätzen Populationsvarianzen auf Gleichheit mit F- Test.) 3.Die Stichproben müssen unabhängig sein. (Messeinheiten untereinander und zwischen den Stichproben) t- Test ist relativ robust, selten progressive Entscheidungen

18 Abhängige Stichproben Eine Gruppe von Schülern wird trainiert. Vorher und nachher wird ein Leistungstest gemacht. Sind die Schüler nach dem Training besser als vorher? Frage Nr Test 1 Test 2 Testung der H0: (Messwertpaare)

19 Verteilung der Mittelwerte von Differenzen Wahrscheinlichkeitsdichte f(x) 3 Festlegungen für die Verteilung: 2. Die sind normalverteilt (für N 30) 1. Sie hat den Mittelwert 0 3. Sie hat eine Standardabweichung (Standardfehler) Standardfehlermuss bestimmt werden

20 Schätzung des Standardfehlers Es gilt: Aus Stichprobendaten: Standardfehler aus Stichprobendaten: Wobei N die Anzahl der Messwertpaare ist. (Direkt aus Messwertpaaren)

21 Schätzung des Standardfehlers Es gilt: Aus Stichprobendaten: Standardfehler aus Stichprobendaten: Wobei N die Anzahl der Messwertpaare ist. (Aus Einzelwerten)

22 Prüfgröße und Entscheidung Gilt die Nullhypothese 2 = 1 (bzw. = 0) so ist t - verteilt mit N - 1 Freiheitsgraden. Interpretation wie im Fall des t – Tests für unabhängige Stichproben

23 Voraussetzungen des t- Tests für abhängige Stichproben 1.Für N < 30 müssen die Werte aus normalverteilten Populationen stammen (Prüfung der Stichprobenwerte auf Normalverteilung) 2.Die Populationsvarianzen, die beiden Stichproben zugrundeliegen müssen nicht gleich (homogen) sein. (Allerdings verliert der Test an Teststärke für stark verschiedene Varianzen) 3.Bei hohen Korrelationen der beiden Stichproben und gleichen Varianzen ist der t- Test für abhängige Stichproben weit mehr teststark als der t- Test für unabhängige Stichproben. [Tafelbeispiel für 2 und 3]


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