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Anja Fey, M.A.1 Gliederung Definition des Wahrscheinlichkeitsbegriffes Normalverteilung χ 2 -Verteilung t-Verteilung F-Verteilung.

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1 Anja Fey, M.A.1 Gliederung Definition des Wahrscheinlichkeitsbegriffes Normalverteilung χ 2 -Verteilung t-Verteilung F-Verteilung

2 Anja Fey, M.A.2 Gegenstand der Wahrscheinlichkeitstheorie Die Wahrscheinlichkeitstheorie beschäftigt sich mit der Frage, wie das Eintreten von Ereignissen, die nur mangelhaft vorausbestimmt sind, möglichst präzise vorhergesagt werden können.

3 Anja Fey, M.A.3 Zufallsexperiment Einflüsse, welche die Vorhersage eines Experimentes erschweren, werden unter dem Begriff des Zufalls zusammengefasst. Unter einem Zufallsexperiment verstehen wir einen beliebig oft wiederholbaren Vorgang, dessen Ergebnis vom Zufall abhängt, d.h. nicht im Voraus eindeutig bestimmt werden kann (z. B. Münzwurf).

4 Anja Fey, M.A.4 2 Arten von Wahrscheinlichkeit Subjektive Wahrscheinlichkeit Objektive Wahrscheinlichkeit

5 Anja Fey, M.A.5 Bedingungen für Wahrscheinlichkeit Für alle Wahrscheinlichkeiten eines Ereignisses gilt: p(E) 0 Die Wahrscheinlichkeit eines sicheren Ereignisses ist p(E) = 1 Schließen sich k Ereignisse gegenseitig aus, so ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eines dieser Ereignisse auftritt, gleich der Summe der Einzelwahrscheinlichkeit. Sind von n Ereignissen alle gleich wahrscheinlich, so beträgt die Wahrscheinlichkeit des Auftretens eines Ereignisses p(E) = 1/n Fasst ein Ereignis B mehrere (k) Ereignisse zusammen, so beträgt dessen Auftretenswahrscheinlichkeit p(B) = k/n

6 Anja Fey, M.A.6 Normalverteilung Die wichtigste Verteilung in den Sozialwissenschaften ist die Normalverteilung. Eine Normalverteilung entsteht dann, wenn sich eine Vielzahl unabhängiger zufälliger und ungerichteter Effekte summieren. Beispiele für normalverteilte Werte:IQ-Werte

7 Anja Fey, M.A.7 Normalverteilung

8 Anja Fey, M.A.8 Eigenschaften der Normalverteilung Glockenförmiger Verlauf (Achsen-)Symmetrisch Modus (Mo), Median (Md) und Mittelwert ( ) fallen zusammen Die Kurve nähert sich asymptotisch der x-Achse Zwischen den Wendenpunkten (= ± 1s) liegt ca. 2/3 der Gesamtfläche.

9 Anja Fey, M.A.9 Parameter einer Normalverteilung Gleiche Mittelwerte / unterschiedliche Standardabweichungen

10 Anja Fey, M.A.10 Parameter einer Normalverteilung Unterschiedliche Mittelwerte / gleiche Standardabweichungen

11 Anja Fey, M.A.11 Parameter einer Normalverteilung Unterschiedliche Mittelwerte / Unterschiedliche Standardabweichungen Standardabweichungen

12 Anja Fey, M.A.12 Berechnung der Gauß´schen Normalverteilung

13 Anja Fey, M.A.13 Standardnormalverteilung Für μ = 0 und σ = 1 heißt die Verteilung Standardnormalverteilung Mit Hilfe der z-Tranformation lassen sich sämliche Normalverteilungen in eine Standardnormalverteilung überführen. Vergleichbarkeit von verschiedenen normalverteilten Daten Das arithmetische Mittel aller z-Werte ist dabei immer 0. Eine Standardabweichung der z-Werte ist genau 1.

14 Anja Fey, M.A.14 Eigenschaften Normalverteilung

15 Anja Fey, M.A.15 Chi 2 -Verteilung

16 Anja Fey, M.A.16 Chi 2 -Verteilung Die Chi²-Verteilung ist eine nicht symmetrische Verteilung. Ihr Verlauf ist abhängig von den Freiheitsgraden. Freiheitsgrad (df) = Anzahl der z-Werte, die frei bzw. unabhängig voneinerander variieren können und in die Berechnung von χ2 eingehen. Bei Freiheitsgraden >30 geht die χ2 Verteilung in eine Normalverteilung über.

17 Anja Fey, M.A.17 Chi 2 -Verteilung

18 Anja Fey, M.A.18 t-Verteilung

19 Anja Fey, M.A.19 t-Verteilung Die t-Verteilung ergibt sich, wenn man die Mittelwerte durch ihre geschätzte Streuung teilt. Die t-Verteilung ähnelt sehr stark der Standardnormalverteilung, nur ist ihre Streuung größer. Bei df>30 geht die t-Verteilung in eine Standardnormalverteilung über.

20 Anja Fey, M.A.20 t-Verteilung

21 Anja Fey, M.A.21 F-Verteilung

22 Anja Fey, M.A.22 F-Verteilung


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