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Forschungsstatistik II Prof. Dr. G. Meinhardt SS 2005 Fachbereich Sozialwissenschaften, Psychologisches Institut Johannes Gutenberg Universität Mainz KLW-24.

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Forschungsstatistik II Prof. Dr. G. Meinhardt SS 2006 Fachbereich Sozialwissenschaften, Psychologisches Institut Johannes Gutenberg Universität Mainz KLW-18.

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1 Forschungsstatistik II Prof. Dr. G. Meinhardt SS 2005 Fachbereich Sozialwissenschaften, Psychologisches Institut Johannes Gutenberg Universität Mainz KLW-24

2 2 Thema der Stunde I. Die Form der Stichprobenkennwerteverteilung II. Schlüsse von der Stichprobe auf die Population III. t-Test für unabhängige und abhängige Stichproben

3 3 Stichprobenkennwerte Population Stichprobe des Umfangs N Tue dies k - mal: Stichprobenmittelwerte sind erwartungstreue Schätzungen des Populationsparameters Kennwert (Erwartungswert) Verteilung von Stichprobenmittelwerten Kennwerteverteilung Erwartungswert Die Kennwerteverteilung hat denselben Erwartungswert wie die Population, aus der die Stichproben gezogen wurden. Schätzstatistiken, die denselben Erwartungswert haben wie die Population, heissen erwartungstreu.

4 4 Stichprobenkennwerte Population Stichprobe des Umfangs N Stichprobenvarianzen sind keine erwartungstreuen Schätzungen des Populationsvarianz Varianz Verteilung von Stichprobenvarianzen Erwartungswert der Stichprobenvarianzen Die Stichprobenvarianz unterschätzt die Populationsvarianz tendenziell Tue dies k - mal:

5 5 Varianz der Stichprobenmittelwerte Population Stichprobe des Umfangs N Tue dies k - mal: Verteilung von Stichprobenmittelwerten Kennwerteverteilung Varianz Der Faktor 1/N bezieht die Populationsvarianz auf die Varianz der Stichprobenmittel Varianz Für N = 1 sind beide Varianzen gleich Für N geht die Varianz der Mittelwerte gegen Null.

6 6 Korrektur Stichprobenvarianzen sind keine erwartungstreuen Schätzungen des Populationsvarianz Die Stichprobenvarianz berechnet aus korrigiertem Umfang N-1 ist eine erwartungstreue Schätzung der Populationsvarianz Der Bias bei der Schätzung der Pop.Varianz aus der Stichprobenvarianz ist die Varianz der Stichprobenmittelwerte. Korrektur:

7 7 Form der Verteilung von Mittelwerten Wahrscheinlichkeitsdichte f(x) Zentraler Grenzwertsatz: Der zentrale Grenzwertsatz ermöglicht die Schätzung von Parametern unter Angabe statistischer Sicherheiten Die Verteilung von Mittelwerten aus Stichproben der Größe N 30 geht mit wachsendem Stichprobenumfang in eine Normalverteilung über, unabhängig von der Verteilungsform der Werte in der Population. [Math-Beispiel]

8 8 Konfidenzintervalle in der Verteilung der Mittelwerte Konfidenzintervalle geben Intervalle um einen Kennwert an, in denen ein gesuchter Wert mit einer bestimmten WK liegt. 1.Man habe einen Mittelwert aus einer Stichprobe der Größe N vorliegen. In welchem Bereich um den Mittelwert kann man den Populationsparameter mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit erwarten ? 2.Der Populationsparameter sei bekannt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit kann ein Mittelwert wie der beobachtete oder ein extremerer auftreten? Fragestellungen: 1. 2.

9 9 Hypothesen Wissenschaftliche Vermutung über einen Sachverhalt Hypothesen als Aussagen über Populationsparameter Aussage Gegenaussage (komplementär) A: Neue Unterrichtsmethode ist besser als die alte A: Neue Unterrichtsmethode ist schlechter oder gleich gut Statistisch: (gerichtet) (ungerichtet)

10 10 Entscheidungsregeln (ungerichtet) Sei ein vorgegebenes Signifikanzniveau (Konvention: = 0.05) und z 0 der beobachtete z- Wert. Vergleich mit kritischem Wert oder Signifikanzniveau Regel 1 (Überschreitungswahrscheinlichkeit): Wennverwerfe H 0 Regel 2 (Kritischer Wert z 1- /2 ): Wennverwerfe H 0 Grundlage:

11 11 Entscheidungsregeln (gerichtet) Sei ein vorgegebenes Signifikanzniveau (Konvention: = 0.05) und z 0 der beobachtete z- Wert. Vergleich mit kritischem Wert oder Signifikanzniveau Regel 1 (Überschreitungswahrscheinlichkeit): Wennverwerfe H 0 Regel 2 (Kritischer Wert z 1- ): Wennverwerfe H 0 Grundlage:

12 12 Fehler 1. und 2. Art In der Population gilt Hypothesenwahrscheinlichkeiten : bedingte WKn Correct Rejection Miss (Fehler 2. Art) False Alarm (Fehler 1. Art) Hit H0H0 H1H1 H0H0 H1H1 Entscheidung für [Entscheidungsaufgabe]

13 t - Test Prüfung des Mittelwerteunterschieds bei unabhängigen & abhängigen Stichproben

14 14 Aufbau 1.Praktische Problemstellung 2.Logik der Schlussweise bei der Prüfung eines Mittelwertsunterschieds 3.Praktische Durchführung am Beispiel

15 15 Problemstellung Anzahl der gefundenen Zielelemente in einem Konzentrationsleistungstest (verhältnisskaliert) GruppierungsvariableMessgröße Gibt es Unterschiede in der Leistung von Mädchen und Jungen? Frage Geschlecht M J

16 16 Problemstellung Geschlecht MJ Wir untersuchen 20 Jungen und 20 Mädchen und berechnen Mittelwerte 26.7 – 17.2 = 9.5 Gibt es wirkliche Unterschiede in der Leistung von Mädchen und Jungen oder ist der gefundene Unterschied rein zufällig? Frage

17 17 Modellvorstellung Population der Jungen Stichprobe des Umfangs N Population der Mädchen Stichprobe des Umfangs N Bilde Mittelwertsdifferenz Tue dies k - mal: Verteilung der Differenzen von Mittelwerten

18 18 Modellvorstellung Verteilung der Differenzen von Mittelwerten Annahme: Die Populationsmittelwerte von Jungen und Mädchen sind gleich Der Erwartungswert der Differenzen von Mittelwerten ist Null (ungerichtet)

19 19 Verteilung der Differenzen von Mittelwerten Wahrscheinlichkeitsdichte f(x) 3 Festlegungen für die Verteilung: 2. Die sind normalverteilt (für N M + N J 50) 1. Sie hat den Mittelwert 0 3. Sie hat eine Standardabweichung (Standardfehler) Wir können die Wahrscheinlichkeitsbestimmung vornehmen, wenn der Standardfehler bekannt ist

20 20 Bestimmung des Standardfehlers Annahme: Ist die Messvariable eine in beiden Populationen unabhängige ZV: Jungen und Mädchen kommen aus derselben Population

21 21 Schätzung des Standardfehlers Für die Populationsvarianz verwendet man eine Schätzung aus den Daten beider Stichproben: wobei und die Stichprobenvarianzen sind Für gleiche Stichprobenumfänge gilt: als beste Schätzung des Standardfehlers der Mittelwertsdifferenz

22 22 Prinzip der Testung Testung der Gültigkeit der Nullhypothese über die Bestimmung der Auftretenswahrscheinlichkeit von in der theoretischen Verteilung der Differenzen von Mittelwerten mit dem Erwartungswert Fall 1: N M + N J 50 (standardnormalverteilt) Fall 2: N M + N J < 50 (t – verteilt mit N M + N J - 2 Freiheitsgraden) Fall 2: N M + N J < 50

23 23 Prinzip der Testung (zweiseitig) t 0 Prüfgrösse Testen zum Signifikanzniveau : Ist |t| > t 1- /2 ? Signifikanzniveau AnnahmebereichAblehnungsbereich

24 24 Die t- Verteilung Kritische Werte sind bei der t- Verteilung im Vergleich zur N- Verteilung größer Normalverteilung t- Verteilung mit df = 10 Ablehnung der H0 erst bei größeren Werten der Prüfgröße

25 25 Prüfgröße und Entscheidung Gilt die Nullhypothese M = J (bzw. = 0) so ist t - verteilt mit N M + N J -2 Freiheitsgraden. Ist die Wahrscheinlichkeit einen extremeren Wert als den empirischen t - Wert zu erhalten, kleiner oder gleich 5%, so sehen wir die Nullhypothese als zu unwahrscheinlich an und vermuten, dass ein wirklicher Mittelwertsunterschied in den Populationen besteht.

26 26 Entscheidung 1. Berechne A. GiltAblehnung von H0 (die Mittelwerte der J. und M. sind signifikant verschieden) 3. Entscheide B. GiltBeibehalten von H0 (die Mittelwerte der J. und M. unterscheiden sich nur zufällig) 2. Ermittle kritischen t - Wert nach der t - Verteilung

27 27 Praktische Berechnung – 17.2 = 9.5 Geschlecht MJ

28 28 Praktische Entscheidung 1. Berechne Es gilt Ablehnung von H0: Die Wahrscheinlichkeit der gefundenen Mittelwertsdifferenz ist kleiner als 5%. 3. Entscheide 2. Ermittle kritischen t - Wert nach der t- Verteilung: ( = 0.05, df =38) Der Mittelwertsunterschied der Jungen und Mädchen ist signifikant

29 29 Voraussetzungen des t- Tests für unabhängige Stichproben 1.Für N 1 + N 2 < 50 müssen die Werte aus normalverteilten Populationen stammen (Prüfung der Stichprobenwerte auf Normalverteilung) 2.Die Populationsvarianzen, die beiden Stichproben zugrundeliegen müssen gleich (homogen) sein (Prüfung der geschätzen Populationsvarianzen auf Gleichheit mit F- Test. 3.Die Stichproben müssen unabhängig sein. (Messeinheiten untereinander und zwischen den Stichproben) t- Test ist relativ robust, selten progressive Entscheidungen

30 30 Abhängige Stichproben Eine Gruppe von Schülern wird trainiert. Vorher und nachher wird ein Leistungstest gemacht. Sind die Schüler nach dem Training besser als vorher? Frage Nr Test 1 Test 2 Testung der H0:

31 31 Verteilung der Mittelwerte von Differenzen Wahrscheinlichkeitsdichte f(x) 3 Festlegungen für die Verteilung: 2. Die sind normalverteilt (für N 30) 1. Sie hat den Mittelwert 0 3. Sie hat eine Standardabweichung (Standardfehler) Standardfehlermuss bestimmt werden

32 32 Schätzung des Standardfehlers Es gilt: Aus Stichprobendaten: Standardfehler aus Stichprobendaten: Wobei N die Anzahl der Messwertpaare ist.

33 33 Prüfgröße und Entscheidung Gilt die Nullhypothese 2 = 1 (bzw. = 0) so ist t - verteilt mit N - 1 Freiheitsgraden. Interpretation wie im Fall des t – Tests für unabhängige Stichproben

34 34 Voraussetzungen des t- Tests für abhängige Stichproben 1.Für N < 30 müssen die Werte aus normalverteilten Populationen stammen (Prüfung der Stichprobenwerte auf Normalverteilung) 2.Die Populationsvarianzen, die beiden Stichproben zugrundeliegen müssen nicht gleich (homogen) sein. (Allerdings verliert der Test an Teststärke für stark verschiedene Varianzen) 3.Bei hohen Korrelationen der beiden Stichproben und gleichen Varianzen ist der t- Test für abhängige Stichproben weit mehr teststark als der t- Test für unabhängige Stichproben. [Tafelbeispiel für 2 und 3]


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