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Wellenfunktion: Materie: E= h = ħ  p= h/ = ħ k k=2  / A(x,t) = A 0 cos(kx -  t) Ebene Welle: ImpulsEnergie.

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1 Wellenfunktion: Materie: E= h = ħ  p= h/ = ħ k k=2  / A(x,t) = A 0 cos(kx -  t) Ebene Welle: ImpulsEnergie

2 Wellenfunktion: Materie: E= h = ħ  p= h/ = ħ k k=2  / A(x,t) = A 0 cos(kx -  t) Ebene Welle:  x  p x  ħ Extremfall: scharfer Impuls p = ħ k Völlig delokalisiert (unendlich ausgedehnt) Impuls p x Ort x  x  p x  ħ

3 Wellenfunktion: A(x,t) = A 0 cos(kx -  t) Ebene Welle: Wellenpaket: Überlagerung aus Ebenen Wellen verschiedenen k Fourieranalyse: Aufbau aus harmonischen Schwingungen

4 Visual Quantum Mechanics Bernd Thaller Springer, New York 2000 Web Page:

5 Aufbau eines Wellenpaketes  (x) =  e ikx d.h. die Phasengeschwindigkeit ist Energieabhängig -> Dispersion Realteil Real und Imaginaer

6 Gauss Wellenpaket Ruhendes TeilchenBewegung

7 = h/p = h/  2m 0 E kin Beispiel: Schiefer Wurf Quantemechanische Teilchen  x  p x  ħ „Wellenpaket“ Impuls p x Ort x  x  p x  ħ Klassiche BahnOrtsunschärfeImpuls: Wellenlänge Unschärfe: verschiedene Wellenlängen

8 = h/p = h/  2m 0 E kin Beispiel: Schiefer Wurf Wellenlänge länger (langsamer am Scheitelpunkt) Ausgedehnter: auseinandergelaufen

9 = h/p = h/  2m 0 E kin Beispiel: Schiefer Wurf Wellenlänge länger (langsamer am Scheitelpunkt) Ausgedehnter: auseinandergelaufen

10 Doppelspalt: Gausssche Wellenpaket Gaussverteilung im Ort Impuls Impuls p x Ort x  x  p x  ħ Höhe: Wahrscheinlichkeit ein Teilchen dort zu finden ORT: dargestellt Impuls: nicht zu sehen

11 Doppelspalt: Impuls p x Ort x  x  p x  ħ ORT: dargestellt Impuls: in der Wellenlänge Amplitude:Farbsättigung

12  x  p x  ħ Heisenbergsche Unschärfe Relation Ort / Impuls Konsequenz: x Potentielle Energie Klassisch: Oszillation zwischen Potentieller und kinetischer Energie

13  x  p x  ħ Heisenbergsche Unschärfe Relation Ort / Impuls Konsequenz: x Potentielle Energie Klassisch: ein Teilchen kann in Ruhe am Boden sitzen

14  x  p x  ħ Heisenbergsche Unschärfe Relation Ort / Impuls Konsequenz: x Potentielle Energie xx pxpx QM: In einem Potentialtopf gibts immer eine „Nullpunkts- schwingung“

15 Heisenbergsche Unschärfe Relation  x  p x  ħ x Potentielle Energie xx pxpx ħ = kg m 2 /sec m/sec Kugel 10g auf 1  m

16 Heisenbergsche Unschärfe Relation  x  p x  ħ ħ = kg m 2 /sec Elektronen im Atom: Radius: m Elektronenimpuls> kg m/sec m e = kg -> m/sec

17  x  p x  ħ Heisenbergsche Unschärfe Relation Ort / Impuls Energie/Zeit  t  E  ħ Folgen: Monochromatisches Licht kann nicht sehr kurz sein Ein kurzlebiger Zustand hat keine scharfe Energie Nur stabile Zustände (Bohrmodel) haben scharfe Energie Energieerhaltung? kann kurzzeitig verletzt sein! Gilt streng im Einzelprozess, aber nicht in beliebig kurzen Zeitintervallen.

18 Beispiel 1:  t  E  ħ

19 Klassische Mechanik Energieerhaltung gilt für jeden Zwischenschritt Quantenmechanik Energieerhaltung gilt für Zwischenschritte nur innerhalb  t  E  ħ

20 Beispiel 2:  t  E  ħ Kurze Lichtpulse sind breitbandig:  t  E  ħ = 6.58* eVs Kurzer Laserpuls Überlagerung von ebenen Wellen Bsp: 5* sec (femto) 0.1 eV (von z.B. 1,5 eV) E photon = h langer sinus: scharfe Energie

21 Teilchen durch Wellen beschrieben (de Broglie) Die Wellen interferieren Amplitudenquadrat ist Wahrscheinlichkeit Unschärfe von Ort & Impuls, Energie & Zeit Ebene Wellen: Impuls aber kein Ort Teilchenanschauung: Wellenpaket

22 9. Heisenbergsche Unschärferelation 10. Das Bohrsche Atommodell Diskrete Spektren Schwarzer Strahler

23 9. Heisenbergsche Unschärferelation 10. Das Bohrsche Atommodell Diskrete Spektren a)Absorbtionsspektren Wasserstoff Absorbtionsspektrum Wasserstoff Gas

24 9. Heisenbergsche Unschärferelation 10. Das Bohrsche Atommodell Diskrete Spektren b) Emissionsspektren a) Absorbtionsspektren Helium

25 Wasserstoff Emissionsspektrum Wellenlänge nm

26 H Spektralanalyse Kirchhoff und Bunsen: Jedes Element hat charakteristische Emissionsbanden

27 H 1853 von Anders Jonas Angström entdeckt H  1 Å = m

28 sichtbar infrarot ultaviolett Rydbergkonstante cm -1 ganze Zahlen Lyman n 1 =1 Balmer n 1 =2 Paschen n 1 =3

29 9. Heisenbergsche Unschärferelation 10. Das Bohrsche Atommodell Diskrete Spektren Die Bohrschen Postulate Wie Rutherford Elektronen auf Kreisbahnen Coulomb Anziehung Z=1, e - Zentrifugalkraft: m e r  2

30 Gesamtenergie des Elektrons auf der Bahn: 0 Energy r E pot E = E kin + E pot negativ Energie die frei wird wenn Elektron von unendlich zum Radius r gebracht wird.

31 Widerspruch zur klassichen Mechanik & Maxwellgleichungen: Bewegte Ladung strahlt Energie ab, Elektron stürzt in Kern! Strahlung ist nicht quantisiert keine diskreten Linien!

32

33 Bohrsche Postulate (Niels Bohr 1913) Elektronen bewegen sich auf Kreisbahnen Die Bewegung ist strahlungsfrei Der Drehimpuls der Bahnen ist quantisiert l=n ħ (Historisch nicht korrekt) n rnrn R y = Rydbergkonstante (Ionisierungsenergie n=1) cm -1

34 Radius des Wasserstoffatoms r n=1 = m Ionisierungsenergie des Wasserstoffatoms E n=1 = eV Z 2 !! dh. Uran 115 keV Einige Zahlenwerte: Heisenbergsche Unschärfe  x  p x  ħ

35 10.3 Rydberg Atome

36 n= Radius = 0.6 mm E n= = eV 0.01 mm wurde wirkliche erreicht! 10.3 Rydberg Atome : Rydberg Atome r n  n 2 v n  1/n Heisenbergsche Unschärfe  x  p x  ħ n ! 1 Übergang zu klassischer Bahn (Bohrsches Korrespondezprinzip)

37 Lebensdauer steigt E 3

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39 10.4 Korrektur durch endliche Kernmasse m proton / m elektron = 1836 gemeinsame Bewegung um Massenschwerpunkt Kerndurchmesser des Atoms! Massenschwerpunkt liegt nicht im Kern m m Korrektur: Wasserstoff Energie %

40 Erinnerung: Wasserstoff 3 Isotope: H 1 Proton + 1 Elektron D (Deuterium) 1 Proton + 1 Neutron + 1 Elektron T (Tritium)(12.3 y) 1 Proton + 2 Neutronen + 1 Elektron

41 10.4 Korrektur durch endliche Kernmasse Korrektur: Wasserstoff Energie % m deuteron / m proton = 2 Folge: Isotope haben verschiedenen Spektrallinien

42 10.5. Myonische Atome Elektronenmasse!  eson m   m e

43 10.5. Myonische Atome Erzeugung von  esonen an Protonenbeschleunigern: p + n -> p + p +  - Pion (Masse 273 m e ) s s  - +  Myon + Myonneutrino e - + e     Spektrum 207 fach höhere Energie

44 10.5. Myonische Atome Wozu? Myonen Bahnen sind teilweise im Kern -> Energie gibt Information über Ladungsverteilung des Kerns


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