Atomphysik I: Fragen zur Quantenmechanik

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1 Atomphysik I: Fragen zur Quantenmechanik
Was ist der fundamentale Unterschied von Quantenmechanik und klassischer Mechanik? -- fassen sie die Antwort in maximal 3 Sätzen zusammen. Diskutieren sie an folgenden Beispielen wann die quantemechanische Behandlung erforderlich ist und wann die klassische Beschreibung ausreicht. 1.1 ein Elektron mit einer Energie von 10 eV fliegt durch ein abbildendes System (Flugbahn ist durch Blenden etc. begrenzt ) 1.2 ein atomares Gas hat die Dichte n und die Temperatur T - wann ist Quantenmechanik erforderlich, welche statistische Verteilungsfunktion wird wann gebraucht (Beispiel: Na (A=23), n=1011 cm-3 ) 1.3 ein eindimensionaler Oszillator mit (red. Masse) m und Eigenfrequenz ω -diskutieren sie den Uebergang von der QM zur klassischen Beschreibung 1.4 ein starrer Rotator mit Trägheitsmoment I (um eine Drehachse)

2 Antworten 1. a)Fuer ein klassisches Teilchen lassen sich Ort und Impuls zu jedem Zeitpunkt exakt angeben d.h. sein Ort im Phasenraum. In der Quantenmechanik ist dies durch die Unschaerferelation eingeschraenkt: Δq Δp ≥ h/2 (q,p)= (verallg. Ort, Impuls) px x px x Flaeche h/2 Beispiel: Klass. Oszillator Oszillator in der QM Folgen: -Drehimpulse sind gequantelt L2 = J(J+1) h 2 - Energien sind gequantelt sobald ein Teilchen auf ein endliches Raumgebiet begrenzt ist Sobald die durch die Unschaerferelation gegebene Flaeche klein gegen die Bahnkurve im Phasenraum ist reicht die klassische Beschreibung

3 1.1 Elektron Ekin = 10 eV - p= √2 m E = h/λ
Quantenmechanik wird gebraucht sobald sich die ‘Wellennatur des Elektrons Bemerkbar macht das heisst seine de Broglie-Wellenlaenge λ = h/p ~ 3* m = 3 Å Sobald eine Strahlbegrenzung d auftritt, die vergleichbar mit der Wellenlaenge ist Sind quantenmechanische Effekte zu beobachten. Wo diese grenze liegt haengt Von der Genauigkeit der Beobachtung ab!! Die Aufloesung auch des groessten Teleskops ist beugungsbegrenzt! Beispiel: Beugung von Fullerenen (Zeilinger et al.) λ ~ 2.5 pm

4 1.2 Mittlerer Abstand d~1/ n1/3 De Broglie Wellenlaenge: λ = h/ √2 m E =h/ √3m kT Sobald λ ~ d ueberlappen die Wellenfunktionen und das Gas muss QM behandelt werden d Beispiel: Na-Dampf n= 1011 cm-3 λ = 5*10-9 m * T-1/2 (T in K) d = m d= λ fuer Tk = 6.2 μK Fuer T>> Tk reicht die Boltzmann-Verteilung (verduennte Gase und hohes T) Fuer T~ Tk brauchen wir Bose-Einstein fuer Bosonen oder Fermi-Dirac fuer Fermionen Was ist das Na –Atom??

5 1.3 Oszillator En = (n + ½) ω h Fuer grosse n ist ω h << En  klassische Beschreibung genuegt Klass. Aufenthaltwahrswcheinlichkeit QM: n=0 und n=18 Bsp.: m=1 g, Frequenz= 100 Hz, Amplitude – 1 mm  E= J hω = J n = !

6 1.4 Rotator Drehimpuls ist gequantelt! L = √ J(J+1) h2 = I ω  Erot = L2 /2 I = J(J+1) h2 / 2 I Abstand zweier benachbarter Rotationsniveaus: ΔE = J* h2/ I Relativer Abstand ΔE /E = 2/J  0 Hohe J  Uebergang zur klassischen Physik

7 Atomphysik II (Quantenmechanik)
2. Welche Anforderungen muessen an eine Wellenfunktion gestellt werden  Liste Sie muss normierbar sein: ∫Ψ* Ψ dV= 1  Wellenfunktion muss im ∞ verschwinden (meist exponentiell) sie muss stetig sein! (Teilchenerhaltung) sie muss stetig differenzierbar sein (Erhaltung des Teilchenstroms) sie muss eindeutig sein! ( z.B. bei Drehung um 2π um eine Achse im Zentral- potential) 3. Wie koennen Messwerte einer Variablen aus der Wellenfunktion berechnet werden? Wann haben die feste Werte, wann koennen nur Mittelwerte bestimmt Werden? Messgroesse O  Operator Ô  Erwartungswert <O> = ∫Ψ* Ô Ψ dV Vertauscht Ô mit dem Hamiltonoperator, dann ist Ψ Eigenfunktion von Ô Ô Ψ = o Ψ mit Eigenwert o Eine Messung der Messgroesse O ergibt dann immer den Wert o Beispiel: kinetische Energie: Ekin = h2/2m Δ

8 Drehimpuls: [L2,Lz] =0  L2, Lz gleichzeitig messbar
5. Welche Variable sind gleichzeitig messbar Beispiel: Zentralpotential , wie sehen Eigenfunktionen und Eigenwerte aus? Drehimpuls: [L2,Lz] =0  L2, Lz gleichzeitig messbar Ylm = Plm(θ)* eimφ L2 Ylm = l(l+1)h2 Ylm Lz Ylm= m Ylm Reines Coulombpotential: [H,L2]=[H,Lz]=0 HΨn,l,lz = ERy/(nr+l)2 Ψ ; n=nr+l Parität ist erhalten (solange nur el.magn WW Berücksichtigt wird: [H,P]=0 p=(-1)l Regeln: l=0,…,n-1 m= -l,…,0,….l ; 2l+1 Werte Multiplizität eines Energieniveaus: 2 n2 (inklusive Spinfreiheitsgrad)

9 6. Durch welchen vollstaendigen Satz von Quantenzahlen wird ein
H-Niveau (inkl aller Korrekturen) beschrieben fuer welche Erhaltungsgroessen stehen welche QZ n: Energie der ‘Schale’ L: Bahndrehimpuls und Paritaet (-1)L J: Gesamtdrehimpuls S: Gesamtspin (bestimmt Multiplizit- aet der Aufspaltung) des Niveaus zu L Stat. Gewicht des Niveaus (= Zahl der Niveaus im Magnetfeld): 2J + 1 Beispiel: p3/2 im H-Atom