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Ortsabhängige Kräfte Bsp.: Rakete im Gravitationsfeld (g nicht const.) (später mehr) Nur r-Komp. (Abschuss vom Pol) M R r h=r-R Erde E1 WS14/15Gaub1.

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1 Ortsabhängige Kräfte Bsp.: Rakete im Gravitationsfeld (g nicht const.) (später mehr) Nur r-Komp. (Abschuss vom Pol) M R r h=r-R Erde E1 WS14/15Gaub1

2 M R r h=r-R Erde für Fluchtgeschwindigkeit (2.kosmische Geschwindigkeit) Kleinste Kreisbahn (  Newton) 1. Kosmische Geschwindigkeit mit GaubE1 WS14/152

3 Raketen- gleichung Triebwerks-Schub Ausstoßgeschwindigkeit relativ zur Rakete Nur z-Richtung T 0 m t Viel Treibstoff schnell verbrennen Gaub Newtons Sicht: Actio = Reactio! Gesamtimpuls (Rakete+Gas) im All Rakete Gas bezogen auf Erdoberfläche E1 WS14/153 bei Start von der Erde: Für t< T

4 GaubE1 WS14/15 Apollo 11 Saturn V lauch Bsp.:1. Stufe Saturn V  unterhalb der Fluchtgeschwindigkeit  Mehrstufige Trägerraketen 4

5 §2.7 Energiesatz der Mechanik Arbeit + Leistung y x z Linienintegral Anmerkung: Leistung: „Arbeit“[W]= Nm = Joule [P]= =Watt=W Bsp. Gleichförmige Kreisbewegung: ; Bsp.: Dehnarbeit einer Feder von : Bahnkurve W = 0 für E1 WS14/15Gaub5

6 Konservative Kraftfelder x y z II I Wenn => Integral wegunabhängig  Kraftfeld konservativ Konservatives Kraftfeld: Die Arbeit hängt nur von Start- und Endpunkt, nicht vom Weg ab. Stokes´scher Satz  konservativ falls rot Vektoranalysis: GaubE1 WS14/156

7 I II z x Konservatives Kraftfeld Bsp.: homogenes Kraftfeld Bsp.: zentrales Kraftfeld II I konservativ E1 WS14/15Gaub7

8 Potentielle Energie konservatives Kraftfeld  Bemerkung: I. Vorzeichen so gewählt, dass Arbeit, die am Körper am Körper verrichtet wird, dessen erhöht II. Nullpunkt wird oft so gewählt, dass GaubE1 WS14/15 Arbeit die geleistet wird um P ins Unendliche zu bringen 8

9 Bsp. Gravitationsfeld Nahe Erdoberfläche  g = const. Geleistete Arbeit hat zur Zunahme der geführt rR mit Für grösseren Entfernungsbereich gilt das Gravitationsgesetz GaubE1 WS14/159

10 Energiesatz der Mechanik konservatives Kraftfeld Def.: Die Zunahme der kinetischen Energie eines Körpers ist gleich der an ihm geleisteten Arbeit  Im konservativen Kraftfeld ist die Summe aus potentieller Energie und kinetischer Energie konstant GaubE1 WS14/1510

11 Bsp: freier Fall ; ; Unabhängig von z! GaubE1 WS14/1511

12 Potential  Kraftfeld Dafür benötigte Arbeit Nabla Def.: Potential = Potentielle Energie pro Masse Bsp.: Gravitation => Schwerkraft GaubE1 WS14/1512

13 GaubE1 WS14/15 Bestimmung von G, Bsp: Gravitationswaage Schema Gravitationswaage Drehmoment des verdrillten Fades = 2 L F G  13

14 Drehimpuls Ebene beliebig gekrümmte Bahn m O Def.:Drehimpuls Ebene von und In Polarkoordinaten: 0 weil Kreisbewegung: ; GaubE1 WS14/15 weil 14

15 Drehmoment: 0 weil Newton Def: Drehmoment Für zentrale Kraftfelderist = const. bzgl. Kraftzentrum  Drehimpulserhaltung Zeitliche Veränderung des Drehimpulses ist gleich dem wirkenden Drehmoment GaubE1 WS14/

16 Man Beachte:und werden bzgl. eines festen Punktes O im Raum definiert Gerade Bewegung kann Drehimpuls haben bzgl. Analogie: Später noch: GaubE1 WS14/1516

17 GaubE1 WS14/15 Tycho Brahe Johannes Keppler 17

18 Planetenbewegung: Kepplergesetze (Basierend auf Beobachtung Tycho Brahes)) I. Planeten bewegen sich auf Ellipsen mit Sonne im Brennpunkt II. Fahrstrahl von Sonne zu Planet überschreitet in gleichen Zeiten gleiche Flächen III. Die Quadrate der Umlaufzeiten der Planeten verhalten sich wie die 3. Potenzen ihrer großen Halbachsen oder für alle Planeten GaubE1 WS14/1518

19 Zum 2. Kepplerschen Gesetz Bogen ≈ Sehne + 1. Gesetz (planare Bahn) => Richtung L konst GaubE1 WS14/1519 ds

20 Newtons Analyse: !! Planetenbahnen Fallender Apfel Selbe Axiomatik Gravitation ! aus aus Actio = Reactio  (Zentralkraft) Mit Ellipse ~ Kreis => 3. Keppler GaubE1 WS14/15 Newtonsches Gravitationsgesetz 20 G= 6,67384 ⋅ 10 −11 m 3 /kg ⋅ s 2

21 Bestimmung von g: Mathematisches Pendel Lösung der DGL: GaubE1 WS14/1521

22 Genauer: Start mit ; GaubE1 WS14/ Bronstein oder Mathematica

23 X R P Gravitation Kugelschale Kreisscheibe der Dicke dx schneidet aus der Kugelschale der Dicke da das Volumenelement (Kreisring) E1 WS14/15 y Gaub23 dV= y d  ds dx dA = y d  ds x dd y Aufsicht Schnittfläche Nebenüberlegung: Kreisring in n Segmente dV unterteilen und Beiträge zu Ep aufaddieren: ds  dx dA y = a sin  ds = da / sin 

24 X R P Gravitation Kugelschale mit= Masse der KS Kreisscheibe der Dicke dx schneidet aus der Kugelschale der Dicke da das Volumenelement (Kreisring) dV = 2  a dx da dV = 2  y ds dx, y = asin  ds=da/sin  E1 WS14/15 ds y Gaub24 

25  Außerhalb der Hohlkugel erscheint die gesamte Masse konzentriert in O Innerhalb Hohlkugel: const. R  a ! für R < a GaubE1 WS14/15 0 R EPEP a 0 F a R R innerhalb der Kugel! 25

26 GaubE1 WS14/1526 Gravimetrie der Erdoberfläche 1 Gal = 1 cm/s² = 0,01 m/s²; also etwa ein Promille der durchschnittlichen Erdbeschleunigung von ca. 9,81 m/s² ≈ 10 m/s² = 1000 Gal,

27 GaubE1 WS14/15 Varianten der Coulomb WW 27

28 GaubE1 WS14/15 Varianten der Coulomb WW Siehe J.N. Israelachvili, Intermolecular and Surface Forces with Applications to Colloidal and Biological Systems, Academic Press

29 GaubE1 WS14/15 Bsp.: VdW-Potentiale ausgedehnter Körper Nochmalige Integration => Potetial zwischen 2 Wänden H AB typisch ≈ J Hamaker Konstante 29

30 GaubE1 WS14/1530 Van der Waals Wechselwirkung hält den Gecko am Glas fest


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