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Ortsabhängige Kräfte Bsp.: Rakete im Gravitationsfeld (g nicht const.) (später mehr) Nur r-Komp. (Abschuss vom Pol) M R r h=r-R Erde E1 WS14/15Gaub1.

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Präsentation zum Thema: "Ortsabhängige Kräfte Bsp.: Rakete im Gravitationsfeld (g nicht const.) (später mehr) Nur r-Komp. (Abschuss vom Pol) M R r h=r-R Erde E1 WS14/15Gaub1."—  Präsentation transkript:

1 Ortsabhängige Kräfte Bsp.: Rakete im Gravitationsfeld (g nicht const.) (später mehr) Nur r-Komp. (Abschuss vom Pol) M R r h=r-R Erde E1 WS14/15Gaub1

2 M R r h=r-R Erde für Fluchtgeschwindigkeit (2.kosmische Geschwindigkeit) Kleinste Kreisbahn (  Newton) 1. Kosmische Geschwindigkeit mit Gaub2E1 WS14/15

3 Raketen- gleichung Triebwerks-Schub Ausstoßgeschwindigkeit relativ zur Rakete Nur z-Richtung T 0 m t Viel Treibstoff schnell verbrennen Gaub Newtons Sicht: Gesamtimpuls (Rakete+Gas) Rakete Gas bezogen auf Eroberfläche Näherung 3E1 WS14/15

4 Gaub Apollo 11 Saturn V lauch Bsp.:1. Stufe Saturn V  unterhalb der Fluchtgeschwindigkeit  Mehrstufige Trägerraketen 4E1 WS14/15

5 §2.7 Energiesatz der Mechanik Arbeit + Leistung y x z Linienintegral Anmerkung: Leistung: „Arbeit“[W]= Nm = Joule [P]= =Watt=W Bsp. Gleichförmige Kreisbewegung: ; Bsp.: Dehnarbeit einer Feder von : Bahnkurve W = 0 für Gaub5E1 WS14/15

6 Konservative Kraftfelder x y z II I Wenn => Integral wegunabhängig  Kraftfeld konservativ Konservatives Kraftfeld: Die Arbeit hängt nur von Start- und Endpunkt, nicht vom Weg ab. Stokes´scher Satz  konservativ falls rot Vektoranalysis: Gaub6E1 WS14/15

7 I II z x Konservatives Kraftfeld Bsp.: homogenes Kraftfeld Bsp.: zentrales Kraftfeld II I konservativ Gaub7E1 WS14/15

8 Potentielle Energie konservatives Kraftfeld  Bemerkung: I. Vorzeichen so gewählt, dass Arbeit, die am Körper am Körper verrichtet wird, dessen erhöht II. Nullpunkt wird oft so gewählt, dass Gaub Arbeit die geleistet wird um P ins Unendliche zu bringen 8E1 WS14/15

9 Bsp. Gravitationsfeld Nahe Erdoberfläche  g = const. Geleistete Arbeit hat zur Zunahme der geführt rR mit Für grösseren Entfernungsbereich gilt das Gravitationsgesetz Gaub9E1 WS14/15

10 Energiesatz der Mechanik konservatives Kraftfeld Def.: Die Zunahme der kinetischen Energie eines Körpers ist gleich der an ihm geleisteten Arbeit  Im konservativen Kraftfeld ist die Summe aus potentieller Energie und kinetischer Energie konstant Gaub10E1 WS14/15

11 Bsp: freier Fall ; ; Unabhängig von z! Gaub11E1 WS14/15

12 Potential  Kraftfeld Dafür benötigte Arbeit Nabla Def.: Potential = Potentielle Energie pro Masse Bsp.: Gravitation => Schwerkraft Gaub12E1 WS14/15

13 Gaub Bestimmung von G, Bsp: Gravitationswaage Schema Gravitationswaage Drehmoment des verdrillten Fades = 2 L F G  13E1 WS14/15

14 Drehimpuls Ebene beliebig gekrümmte Bahn m O Def.:Drehimpuls Ebene von und In Polarkoordinaten: 0 weil Kreisbewegung: ; Gaub weil 14E1 WS14/15

15 Drehmoment: 0 weil Newton Def: Drehmoment Für zentrale Kraftfelderist = const. bzgl. Kraftzentrum  Drehimpulserhaltung Zeitliche Veränderung des Drehimpulses ist gleich dem wirkenden Drehmoment Gaub.. 15E1 WS14/15

16 Man Beachte:und werden bzgl. eines festen Punktes O im Raum definiert Gerade Bewegung kann Drehimpuls haben bzgl. Analogie: Später noch: Gaub16E1 WS14/15

17 Gaub Tycho Brahe Johannes Keppler 17E1 WS14/15

18 Planetenbewegung: Kepplergesetze (Basierend auf Beobachtung Tycho Brahes)) I. Planeten bewegen sich auf Ellipsen mit Sonne im Brennpunkt II. Fahrstrahl von Sonne zu Planet überschreitet in gleichen Zeiten gleiche Flächen III. Die Quadrate der Umlaufzeiten der Planeten verhalten sich wie die 3. Potenzen ihrer großen Halbachsen oder für alle Planeten Gaub18E1 WS14/15

19 Zum 2. Kepplerschen Gesetz Bogen ≈ Sehne + 1. Gesetz (planare Bahn) => Richtung L konst Gaub19 ds E1 WS14/15

20 Newtons Analyse: !! Planetenbahnen Fallender Apfel Selbe Axiomatik Gravitation ! aus aus Actio = Reactio  (Zentralkraft) Mit Ellipse ~ Kreis => 3. Keppler Gaub Newtonsches Gravitationsgesetz 20E1 WS14/15

21 Bestimmung von g: Mathematisches Pendel Lösung der DGL: Gaub21E1 WS14/15

22 Genauer: Start mit ; Gaub22 + Bronstein oder Mathematica E1 WS14/15

23 X R P Gravitation Kugelschale mit= Masse der KS Kreisscheibe der Dicke dx schneidet aus der Kugelschale der Dicke da das Volumenelement (Kreisring) dV = 2  a dx da dV = 2  y ds dx, y = asin  ds=da/sin  ds y Gaub23E1 WS14/15

24  Außerhalb der Hohlkugel erscheint die gesamte Masse konzentriert in O Innerhalb Hohlkugel: const. R  a ! für R < a Gaub 0 R EPEP a 0 F a R R innerhalb der Kugel! 24E1 WS14/15

25 Gaub Varianten der Coulomb WW 25E1 WS14/15

26 Gaub Varianten der Coulomb WW Siehe J.N. Israelachvili, Intermolecular and Surface Forces with Applications to Colloidal and Biological Systems, Academic Press E1 WS14/15

27 Gaub Bsp.: VdW-Potentiale ausgedehnter Körper Nochmalige Integration => Potetial zwischen 2 Wänden H AB typisch ≈ J Hamaker Konstante 27E1 WS14/15


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