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§8 Strömende Flüssigkeiten und Gase Newtonsche Bewegungsgleichung für ein Massenelement ∆m =  ∆V Gleiche Physik für beide Phasen aber  fl >>  g,  fl.

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Präsentation zum Thema: "§8 Strömende Flüssigkeiten und Gase Newtonsche Bewegungsgleichung für ein Massenelement ∆m =  ∆V Gleiche Physik für beide Phasen aber  fl >>  g,  fl."—  Präsentation transkript:

1 §8 Strömende Flüssigkeiten und Gase Newtonsche Bewegungsgleichung für ein Massenelement ∆m =  ∆V Gleiche Physik für beide Phasen aber  fl >>  g,  fl <<  g -grad p∆V  g∆V spannt ein zeitabhängiges Vektorfeld (Strömungsfeld) auf Analytische Lösungen nur für besondere Fälle, numerische Lösungen oft aufwändig Hängt nicht von t ab, nennt man die Strömung stationär und die Ortskurve eines Volumenelements folgt der Strömungslinie 1WS 2014/15

2 Bei laminarer Strömung bleibt die Nachbarschaft von Stromfäden erhalten! Bei idealen Flüssigkeiten ist die Reibung vernachlässigbar, bei zähen dominiert sie 2

3 => Auch in stationären Strömungen kann sich die Geschwindigkeit z.B. durch Querschnittsreduktion ändern! Euler Gleichung für ideale Flüssigkeiten Dort hat es die Geschwindigkeit Im Strömungsfeld hat ein Volumenelement nach dt den Weg zurückgelegt und ist an den Ort gelangt. Die Beschleunigung eines Volumenelements hat zwei Beiträge: Zeitliche Änderung der Geschwindigkeit am selben Ort Andere Geschwindigkeit am neuen Ort => In Komponentenschreibweise: uxux uyuy uzuz dito für y und z  Gaub3

4 Euler Gleichung für ideale Flüssigkeiten Bei idealen Flüssigkeiten Reibung Vernachlässigbar => Eulergleichung Navier-Stokes Gleichung für stationäre Strömungen = 0 Konvektionsbeschleunigung mit Gaub4WS 2014/15

5 Kontinuitätsgleichung Def: Massenflussdichte => u x1 / u x2 = A 2 / A 1 Durch ein Rohr mit sich änderndem Querschnitt fliest die Masse dM / dt =  A 1 u x1 =  A 2 u x2 = const In V sei die Masse Sie ändert sich durch den Fluss durch die Oberfläche S Gauss (Bronstein )

6 Bernoulli-Gleichung Unter Druck wird Gas oder Flüssigkeit durch ein Rohr getrieben. Verjüngt sich der Querschnitt muss das Medium beschleunigt werden Um ∆V 1 = A 1 x 1 gegen p 1 zu bewegen benötigte Arbeit: ∆W 1 = F 1 ∆x 1 = p 1 A 1 ∆x 1 = p 1 ∆V 1 ∆W 2 = p 2 A 2 ∆x 2 = p 2 ∆V 2 dito für den dünnen Teil: Die geleistete Arbeit erhöht die potentielle Energie des Systems! Bei idealen Flüssigkeiten (reibungsfrei!) bleibt die Gesamtenergie konstant! p 1 ∆V 1 + ½  u 1 2 ∆V 1 = p 2 ∆V 2 + ½  u 2 2 ∆V 2 da ∆V 1 = ∆V 2 = ∆V => p 1 + ½  u 1 2 = p 2 + ½  u 2 2 => p + ½  u 2 = p 0 = const Staudruck Gesamtdruck (bei u = 0) Statischer Druck Bernoulli- Gleichung Gaub6

7 Bernoulli-Gleichung Gaub

8 Bernoulli-Gleichung Gaub8

9 Laminare Strömung Strömung, welche durch innere Reibung bestimmt wird Bsp.:Blut in den Adern  Wasserleitungen Experiment: F,vF,v z x d  = Viskosität = dynamische Zähigkeit thermisch aktivierte Hüpfprozesse Viskose Schubspannung Viskose Reibung Gaub9WS 2014/15

10 Abschätzung der Randschichtdicke im unendlich ausgedehnten Medium Die Arbeit W R wird teilweise dissipiert z x L F,u 0 D u(x)u(x) Platte der Fläche A wird um ihre Länge L in viskoser Flüssigkeit verschoben Dazu benötigte Arbeit: Dabei mitgeführte Flüssigkeit: Gaub10

11 Beliebige Strömung in z-Richtung mit z x x0x0 dV = dx dy dz dxdx u z (x 0 ) uz(x0+dx)uz(x0+dx) Taylor-Entwicklung linearisiert Allgemein: Laplace- Operator: u z (x 0 +dx) u z (x 0 -dx) 11

12 Bsp.: Laminare Strömung zwischen zwei Platten +d-d x z z1z1 z1+dzz1+dz p(z+dz) p(z)p(z) dzdz dxdx dydy Druckdifferenz treibt Fluss: p = p(z) Druckkräfte: Gaub12WS 2014/15

13 Reibungskraft = Druckkraft Randbedingungen des Experiments: Symmetrie keine Strömung an den Plattenrändern Gleichgewicht: Gaub13WS 2014/15

14 Bsp.: Laminare Ströhmung durch ein Rohr analog zu vorherigem Beispiel: r r + dr dAdA durch Hohlzylinder mit dem Innenradius r und der Dicke dr fließt pro Zeiteinheit: Fluß durch gesamten Zylinder: mit u(R) = 0 L Kraft auf Zylinder = Viskose Reibung Gaub14WS 2014/15

15 Hagen-Poiseuille-Gesetz Viskose Reibung einer Kugel : (Herleitung Oseen) Stokessches Gesetz Experiment Kugellfall => Gaub15WS 2014/15

16 Wichtig für Ähnlichkeitstransformation. Modell halber Grösse verhält sich in Medium halber Viskosität gleich typisch in Wasser: Life Sciences: Innerhalb von Zellen immer laminar Problem Micro Fluidics: Durchmischung nur durch Diffusion möglich x0x0 Turbulenz laminare Strömung ~ 1 μm/sec Dimensionslose Zahl bestimmt Einsetzen der Turbulenz Mittlere Geschwindigkeit Charakteristische Länge GaubWS 2014/15

17 Life at Low Reynolds Numbers: ”Swimming in molasses, walking in a hurricane“ Dean Astumian P th ≈ thermal relaxation time kBTkBT ≈ W s 4* J ≈ P mech ≈ W! Compare to power of motors: R =  d v  R = => No turbulences! Thermal noise power: Reynolds number:≈ m * m/s * 10 3 kg/m kg/ms e.g. bacterium See Astumian & Hänggi, Physics Today Nov. 2002,

18 See Joe Howard et al. MPI Dresden Manfred Schliwa et al. LMU Melanocyte Intracellular Traffic over Long Distances Axon Gaub18WS 2014/15


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