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Umweltmeteorologie Prof. Dr. Otto Klemm 6. Grundlegende Gleichungen.

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Präsentation zum Thema: "Umweltmeteorologie Prof. Dr. Otto Klemm 6. Grundlegende Gleichungen."—  Präsentation transkript:

1 Umweltmeteorologie Prof. Dr. Otto Klemm 6. Grundlegende Gleichungen

2 Ideale Gasgleichung (Zustandsgleichung) R d = J kg -1 K -1

3 I. Hauptsatz der Thermodynamik (Erhaltung von Wärme)

4 Navier - Stokes – Gleichung (Erhaltung von Impuls) = Druckgradient- beschleunigung Reibung Erdbeschleunigung Coriolis

5 Navier - Stokes - Gleichung = Druckgradient- beschleunigung Reibung Erdbeschleunigung Coriolis Sonderformen: statische Atmosphäre XX XX X es findet keine horizontale Bewegung statt XX X XXX

6 Kontinuitätsgleichung (Erhaltung von Masse) Masse bleibt erhalten vereinfachte Schreibweise: Für mikro- und mesoskalige Prozesse kann gezeigt werden, dass gilt: Dichtefluktuationen werden häufig vernachlässigt.

7 Kontinuitätsgleichung (Erhaltung von Masse) Das Konzept gilt grundsätzlich auch z.B. für Spurengase: Allerdings müssen zusätzlich diffusiver Transport (i.d.R. turbulent!) und mögliche Senken und Quellen (z.B. chemische Reaktionen) berücksichtigt werden Quellen und Senken Änderung einer Konzentration Advektionsterm Reibung hier kommt Turbulenz in´s Spiel!

8 Kontinuitätsgleichung (Erhaltung von Masse) µ ist die dynamische Zähigkeit in der Dimension eines Diffusionskoeffizienten Es gilt: Schubspannung

9 Kontinuitätsgleichung (Erhaltung von Masse) Nun zerlegen wir diese Gleichung in ihre mittleren und turbulenten Terme: nach Bildung des zeitlichen Mittels, Reynolds-Zerlegung, und mitfolgt:

10 Schließung Diese Bilanzgleichung (oder analoge Gleichungen für Wärme, Impuls, u.a.) enthält eine Kovarianz. Die Kovarianz nennt man in diesem Zusammenhang ein statistisches Moment. Wenn wir dieses analytisch lösen wollen, erhalten wir eine Reihe weiterer statistischer Momente in der Form Die Gleichung ist i.d.R. nicht analytisch lösbar. Nun kann man entweder die Kovarianz messen (Eddy-Kovarianz-Verfahren) oder man prognostiziert / parameterisiert sie. Einige Hilfsmittel für prognostische Verfahren haben wir bereits kennen gelernt.

11 Schließung Mit Schließung bezeichnet man das Verfahren, wie man das Gleichungssystem löst. Eine Schließung erster Ordnung z.B. erhält die Momente erster Ordnung usw. Es wird zum Beispiel prognostiziert. Dies resultiert bereits in 3 Gleichungen mit 6 Unbekannten. Eine Schließung nullter Ordnung enthält keine Prognosevariable, d.h. der Wind oder Konzentrationen werden direkt parameterisiert.

12 Schließung Schließungen wurden bis zur dritten Ordnung realisiert. Es gibt auch Schließungen z.B. 1.5-facher (oder 2.5-facher) Ordnung. Hier wird ein Teil der Momente erster Ordnung beibehalten (z.B. nur für die vertikale Richtung). Zusätzlich kann man die Schließungs-Ansätze in lokale und nicht-lokale einteilen. Lokale Schließung bedeutet, dass eine Unbekannte (z.B. eine Kovarianz) an einem Punkt gelöst wird und das Ergebnis auf den Raum extrapoliert wird. Die Eigenschaften der Turbulenz ändern sich also nicht im Raum.

13 Schließung Eine sehr weit verbreitet angewandte Schließungstechnik schließt diese Parameterisierung ein (erste Ordnung, lokale Schließung) : K: turbulenter Diffusionskoeffizient, Austauschkoeffizient, eddy diffusivity, Aber Vorsicht: K ist keine Konstante ! Die Diffusionstheorie ist komplett unterschiedlich! Es gibt erhebliche Einschränkungen ! statt der Konzentration C kann jedes andere Skalar verwendet werden wie z.B. Temperatur, Impuls, etc. K hat die Einheit m 2 s -1 K wird analog zum molekularen Diffusionskoeffizienten in Formulierungen wie den Fickschen Gesetzen angewandt.

14 Schließung Für K gibt eine große Anzahl an Parameterisierungen. Z.B. für eine neutral geschichtete Grenzschicht: K wird häufig gleich angenommen für unterschiedliche Skalare. Ausnahme, z.B.:


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