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Deformierbare Medien Ideales Gas: Volumenänderung bei kleinem Kraftaufwand möglich. Formänderung ohne Arbeit Ideale Flüssigkeit: Keine Volumenänderung.

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Präsentation zum Thema: "Deformierbare Medien Ideales Gas: Volumenänderung bei kleinem Kraftaufwand möglich. Formänderung ohne Arbeit Ideale Flüssigkeit: Keine Volumenänderung."—  Präsentation transkript:

1 Deformierbare Medien Ideales Gas: Volumenänderung bei kleinem Kraftaufwand möglich. Formänderung ohne Arbeit Ideale Flüssigkeit: Keine Volumenänderung (inkompressibel) Formänderung ohne Arbeit (reale Flüssigkeit: innere Reibung, Oberflächenkräfte) Fester Körper Volumenänderung erfordert (große) Kraft Formänderung unter Kraftwirkung. Extreme: a) elastische Verformung, b) plastische Formänderung. Auch Zwischenformen!

2 Deformierbare feste Körper Es gibt verschiedene Klassen von Formänderungen:

3 Dehnungselastizität Es ziehe zu beiden Seiten eine Kraft

4 FormelSI EinheitAnmerkung 1 N / m 2 Dehnung E1 N / m 2 Elastizitätsmodul 1 Dehnung, relative Längen Änderung 1 N / m 2 Normalspannung (Kraft / Angriffsfläche) Dehnung – Hookesches Gesetz

5 FormelEinheitErläuterung Spannung 1Dehnung, relative Längenänderung Elastizitätsmodul, Beispiele: Material Fe Al Glas Holz (Esche) Gummi Beispiele für Elastizitätsmoduli

6 Voraussetzung: Das Hookesches Gesetz gelte im Material sowohl bei Dehnung als auch bei Verdichtung

7 Die Poisson-Zahl Wird das Material verlängert, dann wird sein Durchmesser kleiner, weil das Volumen annähernd konstant bleibt. Das Verhältnis der relativen Änderungen des Durchmessers und der Länge heißt Faktor der Querkontraktion oder Poisson- Zahl. Sie liegt zwischen 0,2 und 0,5.

8 ist die Poisson- Zahl, Die Poisson-Zahl Es ziehe zu beiden Seiten eine Kraft

9 Spannung und Dehnung

10 Elastizitätsmodul Bis zum Punkt A ist die Zugspannung proportional zur Dehnung (Hooksches Gesetz) Elastizitätsmodul E Einheit: Druck, Zugspannung, Elastizitätsmodul: N/m 2 (=Pa Pascal) (!) Typische Werte für E: Stahl: ( )*10 9 N/m 2 Blei: 20*10 9 N/m 2

11 Spannungs-Dehnungs-Diagramme

12 E-Modul und Zugfestigkeit

13 Scherspannung Das Verhältnis der Scherkraft F s zur Fläche A heißt Scherspannung Scherwinkel Für kleine Scherwinkel ist die Scherspannung proportional zur Scherung: Schub- oder Torsionsmodul G: Beispiele: G al =30 GNm -2, G fe =70 GNm -2, G stahl =84 GNm -2, G Stahl= =150 GNm -2

14 Torsion eines Drahts Die Schubspannung bei einem beliebigen Torsionswinkel beträgt: Flächenelement dA eines Hohlzylinders Die rücktreibende Tangentialkraft ist Entspechend gilt für das rücktreibende Drehmoment Integration liefert das Drehmoment

15 Festkörper und Flüssigkeiten Die atomaren Baugruppen liegen in beiden Aggregatzuständen auf Kontakt – deshalb ist die Dichte eines Materials in beiden Aggregatzuständen praktisch gleich Aber: Flüssigkeiten sind gegen Scherung bzw. Torsion instabil Fest Flüssig

16 Druck in Flüssigkeiten Im Unterschied zum Festkörper kann eine Flüssigkeit keine Scherspannung aufbauen (der Schubmodul ist 0) Flüssigkeiten können Behälter beliebiger Form ausfüllen Taucht man einen Körper in eine Flüssigkeit, so wirken Kräfte auf die Oberfläche des Körpers. Flüssigkeiten üben auch Kräfte auf die Behälterwände aus. Gestaltsänderung

17 1 0,5 0 Druck auf eine Flüssigkeit oder einen Festkörper Kraft F Volumenänderung ΔV Druck p Volumen V

18 Einheit 1 Die relative Ä nderung des Volumens – ΔV/V ist proportional zum Druck p K1/PaKompressionsmodul Kompression: Formveränderung durch Druck auf Festkörper und Flüssigkeiten

19 EinheitKompressionsmodul K Wasser 1 Pa Benzol Kupfer Kompressionsmodul einiger Materialien

20 Kompressibilität: Beispiele

21 Kompressibilität Das Verhältnis von Druck zur relativen Volumenänderung heißt Kompessionsmodul K Der Kehrwert des Kompressionsmoduls heißt Kompressibilität Bei Flüssigkeiten ist die Kompressibilität meist so klein, daß schon geringe Volumenänderungeen eine sehr große Druckänderung bewirken. Einige Werte für Kompressibilitäten: H 2 O: k=5* Pa -1 Benzol: k=1*10 -9 Pa -1

22 Hydraulische Kraftverstärkung Fläche A 2 Kraft F 1 Fläche A 1 Kraft F 2 Der Druck in diesem statischen System ist überall der gleiche 1 0,5 0 Druck p

23 Hydraulische Kraftverstärkung Einheit 1 Pa Konstanter Druck im System 1 N Kraft an der Fläche 2

24 Hydraulische Presse Für masselose Flüssigkeit ist der Druck an jedem Ort in der Flüssigkeit von der gleichen Größe, d.h. p=konst. Werden die Flächen A 1, A 2 um die Strecken a 1, a 2 verschoben, so ist die gegen bzw. mit der Kraft geleistete (W 1 ) bzw. gewonnene (W 2 ) Arbeit und es gilt dh. der Gewinn/Verlust an Arbeit ergibt sich als Produkt von Flüssigkeitsdruck und Volumenänderung. Das gilt für den Fall, daß die Flüssigkeit inkompressibel ist.

25 Flüssigkeiten unter dem Einfluß der Gravitationskraft Die Masse der Flüssigkeits säule mit Grundfläche A und Höhe H ist Die Gewichtskraft beträgt Die Kraft durch die gesamte Säule ist (p 0 =äußerer Druck) Der Druck am Boden der Säule ist Ändert man p 0 so ist die Änderung überall in der Flüssigkeit gleich (Pascalsches Prinzip)

26 Flüssigkeitsmanometer

27 Flüssigkeitsbarometer

28 Bodendruck in Gefäßen

29 Bodendruck in Gefäßen (Erklärung)

30 Auftrieb

31 Die Auftriebskraft h1h1 h2h2 p(h 1 ) p(h 2 ) F(h 1 ) F(h 2 ) Drucke in Höhe der Ober- und Unterseite des Körper Kräfte auf die Ober- und Unterseite des Körpers Die Differenz dieser Kr ä fte ist die Auftriebskraft

32 Einheit 1 N Druckkraft auf die obere Fläche A in Tiefe h 1 Druckkraft auf die untere Fläche A in Tiefe h 2 1 N Die Auftriebskraft ist gleich dem Gewicht der Flüssigkeit, die dem Volumen des eingetauchten Körpers entspricht Die Auftriebskraft

33 Bedingung fürs Schwimmen: ρ K < ρ Fl ρKρK ρ Fl Die Dichte des Körpers ist kleiner als die des Mediums: Die Auftriebskraft minus der Gewichtskraft beschleunigt den Körper nach oben

34 Bedingung fürs Schweben: ρ K = ρ Fl ρKρK ρ Fl Die Dichte des Körpers ist gleich der des Mediums: Die Auftriebskraft ist gleich der Gewichtskraft – es gibt keine beschleunigende Kraft

35 Bedingung fürs Sinken: ρ K > ρ Fl ρKρK ρ Fl Die Dichte des Körpers ist größer als die des Mediums: Die Gewichtskraft minus der Auftriebskraft beschleunigt den Körper nach unten

36 Kräfte an einem Körper

37 Auftriebsmethode nach Archimedes Goldene Krone ??? Hiero II, König von Syrakus BC Wiegen in Luft Wiegen in Wasser ??? Archimedes BC Heureka

38 Problem des Archimedes

39 Gesetz des Archimedes

40 Ideale stationäre Strömungen

41 Die Volumenstromstärke Zeit dt Volumen der Flüssigkeit, das in einer Zeiteinheit ein Rohr mit Querschnittsfläche A durchströmt dV A ds

42 Einheit 1 m 3 /sVolumenstromstärke A1 mQuerschnittsfläche des Rohres v1 m/sStrömungsgeschwindigkeit Die Volumenstromstärke Zeit dt dV A ds

43 Die Kontinuitätsgleichung für ideale Strömungen Eine ideale Flüssigkeit fließe durch ein Rohr mit veränderlichem Querschnitt Die Kontinuitätsgleichung besagt: Die Volumenstromstärke ist konstant – unabhängig vom Querschnitt Zeit dt

44 Die Kontinuitätsgleichung Das in einem Zeitintervall transportierte Volumen ist in beiden Röhren gleich dV

45 Einheit 1 m 3 In gleichen Zeiten werden gleiche Volumina bewegt 1 m 3 /s Division durch die Zeit ergibt die Kontinuitätsgleichung 1 m 3 /s Kontinuitätsgleichung: Die Volumenstromstärke ist konstant – unabhängig vom Querschnitt Die Kontinuitätsgleichung

46 Der menschliche Blutkreislauf Wird die Kontinuitätsgleichung auf den menschlichen Blutkreislauf angewandt, so wird die geringe Fließgeschwindigkeit in den Kapillaren verständlich, ohne die lebensnotwendige Diffusionsvorgänge nicht in ausreichendem Maße stattfinden können. Der Durchmesser der Aorta beträgt ungefähr 2,3cm. In einer Minute strömen ungefähr 5 Liter Blut durch die Aorta strömen, so ergibt sich eine mittlere Strömungsgeschwindigkeit von 20,8 cm · s -1. Geht man von einer Gesamtquerschnittsfläche der Kapillaren von 4800 cm 2 aus, so erhält man eine mittlere Strömungsgeschwindigeit von 0,017 cm ·s -1.

47 Kontinuitätsgleichung

48 Der Bernoulli Effekt Eine ideale Flüssigkeit fließe durch ein Rohr mit veränderlichem Querschnitt Im Bereich des kleineren Querschnitts nimmt die Strömungsgeschwindigkeit zu, der Druck aber ab

49 Der Bernoulli-Effekt Bei Anstieg der Strömungsgeschwindigkeit fällt der Druck

50 Versuch zur Bernoulli-Gleichung Drucke in Abhängigkeit von der Strömungsgeschwindigkeit einer Flüssigkeit: Niederer Druck in den Rohren mit kleinem Querschnitt, also hoher Strömungsgeschwindigkeit Hoher Druck im Rohr mit großem Querschnitt und kleiner Strömungsgeschwindigkeit

51 Arbeit zur Bewegung eines Volumens dV des Mediums: Kraft mal Weg Die Wege ds 1 und ds 2 werden in der Zeit dt zurückgelegt

52 Volumen linksVolumen rechts 1 JKraft mal Weg 1 J Arbeit gegen den Druck Arbeit in beiden Rohren, um ein Volumen dV zu versetzen A1A1 A2A2 Die Kraft wird durch Druck mal Fläche ersetzt

53 Einheit 1 m 3 /s Kontinuitätsgleichung, v 1, v 2 unterschiedliche Fließgeschwindigkeiten 1 m 3 Konstante Volumina Kontinuitätsgleichung beim Übergang A1A1 A2A2 Das Volumen, das um sich selbst versetzt wird, ist zu beiden Seiten gleich Zeit dt

54 Volumen linksVolumen rechts 1 J Arbeit gegen den Druck in beiden Rohren 1J Arbeit in beiden Rohren, um ein Volumen dV zu versetzen A1A1 A2A2 Zur Beachtung: Das Volumen im kleinerer Rohr bewegt sich schneller

55 Die Überraschung der Bernoulli Gleichung Die in einer Zeiteinheit versetzten Volumina sind in beiden Röhren gleich Aber: Die dazu benötigte Arbeit ist unterschiedlich, wenn sich der Druck in beiden Röhren unterscheidet Q: Weshalb ist in den Rohren unterschiedliche Arbeit zum Versetzen zu erwarten? A: Weil die Flüssigkeit beim Übergang in das Rohr mit kleinerem Querschnitt beschleunigt wird

56 Volumen linksVolumen rechts 1 J Arbeit gegen den Druck und zur Beschleunigung 1J Energieerhaltung …und um ein Volumen dV zu beschleunigen dV Bei Übergang vom großen zum kleinen Rohr wird das Medium beschleunigt

57 1 J Die Masse wird durch m=ρ·dV ersetzt 1 Pa Bernoulli Gleichung: Bei Erhöhung der Strömungsgeschwindigkeit fällt der Druck ab p 1, p 2 1 PaDrucke in beiden Bereichen v 1, v 2 1m/s Geschwindigkeiten in beiden Bereichen ρ 1 kg/m 3 Dichte des strömenden Mediums Die Bernoulli-Gleichung

58 Druckverteilung in Rohren

59 Zur Messung der Durchflussmenge in einem Rohr wird eine Verengungsstelle eingebaut und der Druckabfall gegenüber dem freien Rohr gemessen (Venturirohr) Wie groß ist der Wasserstrom (ρ = 1000 kg/m 3 ), wenn bei einer Verengung von d 1 = 80 mm auf d 2 = 60 mm der Druck um mbar absinkt?

60 Druckverteilung in Rohren Aus der Kontinuitätsgleichung folgt: Der Volumenstrom ist somit Damit erhält man aus der Bernoulli-Gleichung

61 Bernoulli-Gleichung

62 Energieänderungen

63

64 Energiebilanz

65 Bernoulli-Gleichung

66 Gesetz von Torricelli

67 Loch im Wassertank

68 Fragen zu deformierbaren Medien 1.An einem 1m langen Stahldraht (E=10 11 N/m 2 ) der Querschnittsfläche 1mm 2 wird ein 1kg schweres Gewicht aufgehängt. Wie groß ist die Längenänderung? 2.Welche Masse könnte man maximal an ein Stahlseil (R m =520MNm -2 ) mit einem Durchmesser von 6mm hängen? 3.Eine Kugel (V kugel =10 -7 m 3 ) wird in eine mit Wasser (k=5* Pa -1 ) gefüllte Kiste (V kiste =10 -3 m 3 ) geschossen. Wie groß ist die Druckänderung?


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