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Hydro- und Aerodynamik Die Volumenstromdichte Die Kontinuitätsgleichung Die Bernoulli-Gleichung.

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Präsentation zum Thema: "Hydro- und Aerodynamik Die Volumenstromdichte Die Kontinuitätsgleichung Die Bernoulli-Gleichung."—  Präsentation transkript:

1 Hydro- und Aerodynamik Die Volumenstromdichte Die Kontinuitätsgleichung Die Bernoulli-Gleichung

2 So fliegen die Vögel! …und die Flugzeuge

3 Inhalt Strömung idealer Flüssigkeiten –Die Volumenstromstärke –Die Kontinuitätsgleichung –Die Gleichung von Daniel Bernoulli Strömung realer Flüssigkeiten –Laminare Strömung, Newtonsche Gleichung –Das Hagen-Poiseuillesche Gesetz –Reibungskraft auf eine Kugel: Das Gesetz von Stokes Die Grenzschicht und die Reynoldssche Zahl, Turbulenz

4 Ideale Flüssigkeit Inkompressibel Keine Reibung –innerhalb des Mediums –zwischen Medium und Wänden Auch ein Gas kann -in diesem Sinne- eine ideale Flüssigkeit sein

5 Ideale Strömung Strömung eines Mediums konstanter Dichte (Inkompressibel) Strömung ohne Reibungskräfte –innerhalb des Mediums –zwischen dem Medium und den Wänden

6 Die Volumenstromstärke Zeit dt Volumen der Flüssigkeit, das in einer Zeiteinheit ein Rohr mit Querschnittsfläche A durchströmt dV A ds

7 Einheit 1 m 3 /sVolumenstromstärke A1 mQuerschnittsfläche des Rohres v1 m/sStrömungsgeschwindigkeit Die Volumenstromstärke Zeit dt dV A ds

8 Die Kontinuitätsgleichung für ideale Strömungen Eine ideale Flüssigkeit fließe durch ein Rohr mit veränderlichem Querschnitt Die Kontinuitätsgleichung besagt: Die Volumenstromstärke ist konstant – unabhängig vom Querschnitt Zeit dt

9 Die Kontinuitätsgleichung Das in einem Zeitintervall transportierte Volumen ist in beiden Röhren gleich dV

10 Einheit 1 m 3 In gleichen Zeiten werden gleiche Volumina bewegt 1 m 3 /s Division durch die Zeit ergibt die Kontinuitätsgleichung 1 m 3 /s Kontinuitätsgleichung: Die Volumenstromstärke ist konstant – unabhängig vom Querschnitt Die Kontinuitätsgleichung

11 Der Bernoulli Effekt Eine ideale Flüssigkeit fließe durch ein Rohr mit veränderlichem Querschnitt Im Bereich des kleineren Querschnitts nimmt die Strömungsgeschwindigkeit zu, der Druck aber ab

12 Der Bernoulli-Effekt Bei Anstieg der Strömungsgeschwindigkeit fällt der Druck

13 Versuch zur Bernoulli-Gleichung Drucke in Abhängigkeit von der Strömungsgeschwindigkeit einer Flüssigkeit: Niederer Druck in den Rohren mit kleinem Querschnitt, also hoher Strömungsgeschwindigkeit Hoher Druck im Rohr mit großem Querschnitt und kleiner Strömungsgeschwindigkeit

14 Arbeit zur Bewegung eines Volumens dV des Mediums: Kraft mal Weg Die Wege ds 1 und ds 2 werden in der Zeit dt zurückgelegt

15 Volumen linksVolumen rechts 1 JKraft mal Weg 1 J Arbeit gegen den Druck Arbeit in beiden Rohren, um ein Volumen dV zu versetzen A1A1 A2A2 Die Kraft wird durch Druck mal Fläche ersetzt

16 Einheit 1 m 3 /s Kontinuitätsgleichung, v 1, v 2 unterschiedliche Fließgeschwindigkeiten 1 m 3 Konstante Volumina Kontinuitätsgleichung beim Übergang A1A1 A2A2 Das Volumen, das um sich selbst versetzt wird, ist zu beiden Seiten gleich Zeit dt

17 Volumen linksVolumen rechts 1 J Arbeit gegen den Druck in beiden Rohren 1J Arbeit in beiden Rohren, um ein Volumen dV zu versetzen A1A1 A2A2 Zur Beachtung: Das Volumen im kleinerer Rohr bewegt sich schneller

18 Die Überraschung der Bernoulli Gleichung Die in einer Zeiteinheit versetzten Volumina sind in beiden Röhren gleich Aber: Die dazu benötigte Arbeit ist unterschiedlich, wenn sich der Druck in beiden Röhren unterscheidet Q: Weshalb ist in den Rohren unterschiedliche Arbeit zum Versetzen zu erwarten? A: Weil die Flüssigkeit beim Übergang in das Rohr mit kleinerem Querschnitt beschleunigt wird

19 Volumen linksVolumen rechts 1 J Arbeit gegen den Druck und zur Beschleunigung 1J Energieerhaltung …und um ein Volumen dV zu beschleunigen dV Bei Übergang vom großen zum kleinen Rohr wird das Medium beschleunigt

20 1 J Die Masse wird durch m=ρ·dV ersetzt 1 Pa Bernoulli Gleichung: Bei Erhöhung der Strömungsgeschwindigkeit fällt der Druck ab p 1, p 2 1 PaDrucke in beiden Bereichen v 1, v 2 1m/s Geschwindigkeiten in beiden Bereichen ρ 1 kg/m 3 Dichte des strömenden Mediums Die Bernoulli-Gleichung

21 Versuche zum Bernoulli-Effekt Das hydrodynamische Paradoxon

22 Eine Anwendung: Druckmessung in bewegten Objekten Barometrischer Luftdruck in ruhender Luft

23 Anwendung: Druckmessung in Flugzeugen

24 Druckmessung in Flugzeugen Dynamischer Druck, Pitot- Druck Statischer Druck

25 Messung des dynamischen und statischen Drucks in einem Gerät: Das Prandtlsche Staurohr Statischer Druck Dynamischer Druck im Staupunkt des Körpers, Pitot-Druck Versuch

26 Druckunterschied an einem in einer Strömung rotierenden Körper In welcher Richtung wirkt die Kraft? Versuch: Magnus Effekt Unterschiedliche Strömungs- geschwindigkeiten an der Oberfläche!

27 Die schnell austretenden, versprühenden Wasserteilchen reißen die Luft mit: Die Geschwindigkeit der umgebenden Luft steigt, der Druck fällt Versuch: Wasserstrahlpumpe

28 Auftrieb am Flügel Durch die Form des Flügels ergibt sich ein größerer Weg und deshalb eine höhere Geschwindigkeit an seiner Oberseite Höherer Druck an der Unterseite Auftrieb

29 Zusammenfassung Ideale Flüssigkeiten, ideale Strömung –Bewegung ohne Reibung –Inkompressibel, d.h. überall konstante Dichte Die Volumenstromstärke –Produkt aus Querschnitt und Fließ-Geschwindigkeit Die Kontinuitätsgleichung: Erhaltung der Massen bei der Strömung inkompressibler Flüssigkeiten –Die Volumenstromstärken bei Ein- und Austritt sind gleich Was reinfließt, fließt auch wieder raus Die Gleichung von Daniel Bernoulli für ideale Strömungen: –In Bereichen großer Strömungsgeschwindigkeit ist der Druck kleiner als in Bereichen kleiner Strömungsgeschwindigkeit

30 So fliegen die Vögel! …und die Flugzeuge finis


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