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[ CHAOS und FRAKTALE ] Steffi Cordier - Paulina Paszkiewicz - Uli Quitsch Stefan Quint - Johannes Horlemann - Achim Boltz.

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Präsentation zum Thema: "[ CHAOS und FRAKTALE ] Steffi Cordier - Paulina Paszkiewicz - Uli Quitsch Stefan Quint - Johannes Horlemann - Achim Boltz."—  Präsentation transkript:

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2 [ CHAOS und FRAKTALE ] Steffi Cordier - Paulina Paszkiewicz - Uli Quitsch Stefan Quint - Johannes Horlemann - Achim Boltz

3 [ Chaos und Fraktale ] I. Chaos?! Chaos Begriff Chaos 1973 von James A. Yorke geprägt Beschreibung komplexer, dynamischer Systeme, die chaotisch wirken, aber durch Formeln beschreibbar sind Laplace bzw. Laplace bzw. Klare Gesetzmäßigkeiten Determinismus: Determinismus: Linearität strenge Vorhersagbarkeit Kausalitätsprinzip

4 [ Chaos und Fraktale ] I. Chaos?! Reduktionismus entspricht nicht der Realität hochkomplexe Systeme mit Rückkopplung nie gleiche Bedingungen in der Praxis Sensititve Abhängigkeit Sensititve Abhängigkeit (bei chaotischen Systemen) kleine und kleinste Veränderungen der Anfangsbedingungen können größte Effekte verursachen Schmetterlingseffekt Beispiele: Wettervorhersage, Billardspiel Schmetterlingseffekt Deterministisches Chaos Ein System folgt streng einer Rechenvorschrift, ist aber nicht vorhersagbar.

5 [ Chaos und Fraktale ] II. Logistische Abbildung X n = c * X a (1 – X a ) X n = c * X a (1 – X a ) Beispiel für Populationsentwicklung Logistische Abbildung Logistische Abbildung X n Populationsdichte X a Vorjahrespopulation c Anzahl der Nachkommen Diskrete Funktionswerte Iteration ( output als input ) sensitive Abhängigkeit Kleinste Abweichung von c wird verstärkt sensitive Abhängigkeit

6 [ Chaos und Fraktale ] II. Logistische Abbildung X n = c * X a (1 – X a ) 1 < c < 3 stabiler Wert zw. 1 und 0 c > 3 zwei-peak-oszillierend c = 3,45 vier-peak-oszillierend c > 3,57 Periode chaotisch, unendlich

7 [ Chaos und Fraktale ] II. Logistische Abbildung X n = c * X a (1 – X a ) Anzahl der Nachkommen Feigenbaumdiagramm

8 [ Chaos und Fraktale ] II. Logistische Abbildung X n = c * X a (1 – X a ) Periodenverdopplung an denBifurkations-StellenBifurkationsweg ins Chaos universell Anzahl der Nachkommen

9 [ Chaos und Fraktale ] III. Attraktoren Für best. c läuft Algorithmus auf festen Wert zu AttraktorSystemzustand, auf den ein System sich einschwingt Grenzzyklus Fixpunkt vorhersehbar Seltsamen Attraktor Seltsamen Attraktorin chaotischen Systemen unendlich viele Werte unendlich stark gefaltetfraktal

10 [ Chaos und Fraktale ] III. Attraktoren Seltsamen Attraktor Seltsamen Attraktorin chaotischen Systemen unendlich viele Werte unendlich stark gefaltetfraktal Lorenz-Attraktor Beispiel: Lorenz-Attraktor

11 [ Chaos und Fraktale ] IV. Fraktale

12 [ Chaos und Fraktale ] IV. Fraktale Fraktal Ein Fraktal ist eine Figur, deren Dimension nicht ganzzahlig ist. gebrochen fraktal = gebrochen fraktale Dimension Die Dimension eines Fraktals nennt man fraktale Dimension. Gehirn: d = 2,79

13 [ Chaos und Fraktale ] IV. Fraktale Schneeflockenkurve: Jede neu entstandene Strecke hat nun die Länge 1/3. Generator Man nennt dieses Gebilde auch Generator, da bei jeder neuen Iteration mit jeder Strecke genauso verfahren wird. Initiator Initiator: Linie der Länge 1 Linie wird gedrittelt und auf das mittlere Drittel wird eine dreieckige Insel der Kantenlänge 1/3 gelegt: 1/3

14 [ Chaos und Fraktale ] IV. Fraktale Schneeflockenkurve Der Vorgang wird unendlich oft wiederholt, dabei entsteht die sogenannte Schneeflockenkurve, die unendlich lang ist. Dimension: d = 1,26

15 [ Chaos und Fraktale ] IV. Fraktale Betrachtet man als Initiator ein Dreieck der Länge 1, erhält man eine Kochsche Insel bzw. Schneeflocke:

16 [ Chaos und Fraktale ] IV. Fraktale Wie lang ist die Küste Britanniens? unendlichendlichen Küste ist unendlich lang, schließt aber einen endlichen Flächeninhalt ein. => d(GB) = 1,26

17 [ Chaos und Fraktale ] IV. Fraktale Das Farnblatt

18 [ Chaos und Fraktale ] IV. Fraktale Juliamenge J(c) = { z 0 C: (z n ) < mit z n+1 = z n 2 + c} mit c C fest. Wiederholung: Komplexe Zahlen R I 1 i 1

19 [ Chaos und Fraktale ] IV. Fraktale

20 [ Chaos und Fraktale ] IV. Fraktale Selbstähnlichkeit Untermengen selbstähnlich Wenn eine Menge Untermengen enthält, die sich durch Rotation, Translation und Skalierung in die Obermenge transformieren lassen, ist sie selbstähnlich.

21 [ Chaos und Fraktale ] IV. Fraktale Mandelbrotmenge M = { c C: (z n ) < mit z n+1 = z n 2 + c} mit z 0 = 0.

22 [ Chaos und Fraktale ] IV. Fraktale

23 [ Chaos und Fraktale ] V. Resumé Revolutionäre Bedeutung der Chaostheorie Gegensatz zum streng wissenschaftlich kontrollierbaren Weltbild Viele Bereiche des Lebens betreffend

24 [ Chaos und Fraktale ] DANKE FÜRS ZUHÖREN! IHR HABT SUPER DURCHGEHALTEN!


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