Modellierung von Zellstrukturen

Präsentation zum Thema: "Modellierung von Zellstrukturen"—  Präsentation transkript:

1 Modellierung von Zellstrukturen
Dynamisches Verhalten Mathematische Ansätze Rechenverfahren Modellierung von Zellstrukturen

2 Modellierung von Zellstrukturen
Stoffunabhängige Gleichungen Materialgesetze Kompatibilität 15 Unbekannte: x y z xy xz yz x y z xy xz yz u v w Modellierung von Zellstrukturen

3 Modellierung von Zellstrukturen
Mathematische Ansätze stoffunabhängige Gleichgewichtsgleichungen 6 kinematische Gleichgewichtsgleichungen 6 Materialgleichungen Modellierung von Zellstrukturen

4 Gleichgewichtsgleichungen
Stoffunabhängige Gleichungen Gleichgewichtsgleichungen F a b Virtueller Schnitt Modellierung von Zellstrukturen

5 Stoffunabhängige Gleichungen
Gleichgewichtsgleichungen F Normalspannungen =dFn/dA dFn dA dFt dF Spannungsvektor der resultierenden Schnittgrößen Sv=dF/dA Tangentialspannungen =dFt/dA Modellierung von Zellstrukturen

6 Stoffunabhängige Gleichungen
z Gleichgewichts- gleichungen zy zx yx yz xy xz y x Modellierung von Zellstrukturen

7 Stoffunabhängige Gleichungen
Gleichgewichtsgleichungen: x/x + yx/y + zx/z + X = 0 y/y + xy/x + zy/z + Y = 0 z/z + yz/y + xz/x + Z = 0 Modellierung von Zellstrukturen

8 Modellierung von Zellstrukturen
Eliminiert man aus den 15 Gleichungen alle Spannungen so resultieren 3 partielle Differentialgleichungen für die unbekannten Verschiebungen: G [u + (1-2) –1 (/x)] +X = 0 G [v + (1-2) –1 (/y)] +Y = 0 G [w + (1-2) –1 (/z)] +Z = 0 (Navier) Modellierung von Zellstrukturen

9 Modellierung von Zellstrukturen
In den Navier Gleichungen sind: u = 2u/x2+ 2u/y2 + 2u/z2 v = 2v/x2+ 2v/y2 + 2v/z2 w = 2w/x2+ 2w/y2 + 2w/z2 (Laplace) Modellierung von Zellstrukturen

10 Modellierung von Zellstrukturen
Eliminiert man aus den 15 Gleichungen die Verschiebungen und deren Ableitungen so resultieren 3 partielle Differentialgleichungen für die unbekannten Spannungen:  x+(1+)–1(2/x2)+2X/x+(1-)–1(X/x +Y/y +Z/z) = 0  y+(1+)–1(2/y2)+2Y/y+(1-)–1(X/x +Y/y +Z/z) = 0  z+(1+)–1(2/z2)+2Z/z+(1-)–1(X/x +Y/y +Z/z) = 0 (Beltrami) Modellierung von Zellstrukturen

11 Modellierung von Zellstrukturen
 xy+(1+)–1 (2/xy) + X/y + Y/x = 0  xz+(1+)–1 (2/xz) + X/z + Z/x = 0  yz+(1+)–1 (2/yz) + Y/z + Z/y = 0 (Beltrami) Modellierung von Zellstrukturen

12 Modellierung von Zellstrukturen
In den Beltrami-Gleichungen sind:  x= 2x/x2+ 2x/y2 + 2x/z2  y= 2y/x2+2y/y2 + 2y/z2  z = 2z/x2+ 2z/y2 +2z/z2 Die Lösung der DGL (Navier + Beltrami) gelingt nur in seltenen Fällen bei einfacher Geometrie und einfacher Belastung Modellierung von Zellstrukturen

13 Stoffunabhängige Gleichungen
Spannungstensor Bechleunigungsvektor Modellierung von Zellstrukturen

14 Stoffunabhängige Gleichungen
Gleichgewichtsgleichungen: Sx= xex + yxey+ xzez Sy= yxex + yey + yzez Sz= zxex + zyez + zez Tensordarstellung: x xy xz S = yx y yz zx zy z S Spannungstensor Modellierung von Zellstrukturen

15 Modellierung von Zellstrukturen
15 Unbekannte: x y z xy xz yz x y z xy xz yz u v w 3 Stoffunabhängige Gleichungen 6 Materialgleichungen 6 Kompatibilitätsgleichungen Modellierung von Zellstrukturen

16 Modellierung von Zellstrukturen
Kompatibilitäts- bedingung: Benachbarte materielle Teile werden nach Belastung weder auseinanderklaffen noch sich durchdringen Die Verschiebungsvektoren und deren Komponenten sind stetige Funktionen Modellierung von Zellstrukturen

17 Modellierung von Zellstrukturen
Kompatibilitäts- bedingung: Benachbarte materielle Teile werden nach Belastung weder auseinanderklaffen noch sich durchdringen u=u(x,y,z,t)=ux(x,y,z,t)ex+uy(x,y,z,t)ey+uz(x,y,z,t)ez Modellierung von Zellstrukturen

18 Modellierung von Zellstrukturen
A A1 B1 D u(x+dx,y,dy,z) u(x+dx,y,z) u(x,y+dy,z) u(x,y,z) C B ux(x+dx,y,z)=ux(x,y,z)+(ux(x,y,z)/ x)dx Modellierung von Zellstrukturen

19 Kinematisches Gleichgewicht
x = u/x u v w y = v/y z = w/z xy = v/x + u/y xz = w/x + u/z yz = w/x + v/z Modellierung von Zellstrukturen

20 Modellierung von Zellstrukturen
iklm= 0 Kompatibilitäts- bedingung: Riemann Tensor 4. Stufe Modellierung von Zellstrukturen

21 Modellierung von Zellstrukturen
σ Stoffgesetze: 1-starres Material 2-linear-elastisch 3-nichtlinear-elast. 4-linear-elastisch-ideal- plastisch 5-starr-plastisch 6-viskoses Material: Kriechen 7-viskoses Material: Relaxieren 5 4 3 2 1 6 7 ε Modellierung von Zellstrukturen

22 Modellierung von Zellstrukturen
Stoffgesetze: Verzerrungstensor Verzerrungsgeschwindigkeit Spannungstensor Spannungsgeschwindigkeit Modellierung von Zellstrukturen

23 Modellierung von Zellstrukturen
Elastisches Materialverhalten Stoffe ohne Gedächtnis Verzerrungstensor Spannungstensor Modellierung von Zellstrukturen

24 Modellierung von Zellstrukturen
plastisches Materialverhalten Stoffe mit permanentem Gedächtnis Verzerrungsgeschwindigkeit Spannungsgeschwindigkeit Modellierung von Zellstrukturen

25 Modellierung von Zellstrukturen
viskoses Materialverhalten Stoffe mit schwindendem Gedächtnis Verzerrungsgeschwindigkeit Spannungstensor Modellierung von Zellstrukturen

26 Modellierung von Zellstrukturen
Zellen sind dynamische Systeme Aggregationsprozesse Dis Biologische Systeme und Zellstrukturen sind in der Regel: Nichtlinear, anisotrop, inhomogen Zylindrische Anisotropie – Blutgefäße Biologische Systeme zeigen ein elastisch bis viskoses Verhalten und können alle Zwischenstadien einnehmen Modellierung von Zellstrukturen

27 Modellierung von Zellstrukturen
Zellen, Zellstrukturen  dynamische Strukturen Spontane Aggregationsprozesse Skelettfilamente Spontane Abbauprozesse extrazelluläre Matrix Frequenzabhängige Materialeigenschaften Versuche zwingend erforderlich Modellierung von Zellstrukturen

28 Modellierung von Zellstrukturen
Näherungsverfahren: Diskretisieren des Zellen und der Zellstrukturen des Materialverhaltens der Belastungsfunktionen der Zeit, direkte Zeitintegration Modellierung von Zellstrukturen