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Modellierung von Zellstrukturen1 Dynamisches Verhalten Mathematische Ansätze Rechenverfahren.

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Präsentation zum Thema: "Modellierung von Zellstrukturen1 Dynamisches Verhalten Mathematische Ansätze Rechenverfahren."—  Präsentation transkript:

1 Modellierung von Zellstrukturen1 Dynamisches Verhalten Mathematische Ansätze Rechenverfahren

2 Modellierung von Zellstrukturen2 Stoffunabhängige Gleichungen Materialgesetze Kompatibilität Modellierung von Zellstrukturen 15 Unbekannte: x y z xy xz yz u v w

3 Modellierung von Zellstrukturen3 Mathematische Ansätze 3stoffunabhängige Gleichgewichtsgleichungen 6 kinematische Gleichgewichtsgleichungen 6 Materialgleichungen

4 Modellierung von Zellstrukturen4 Gleichgewichtsgleichungen F F a b Stoffunabhängige Gleichungen Virtueller Schnitt

5 Modellierung von Zellstrukturen5 F Spannungsvektor der resultierenden Schnittgrößen Sv=dF/dA Normalspannungen =dFn/dA Tangentialspannungen =dFt/dA dFn dF dFt dA Gleichgewichtsgleichungen Stoffunabhängige Gleichungen

6 Modellierung von Zellstrukturen6 x y z yx yz zy zx xy xz Stoffunabhängige Gleichungen Gleichgewichts- gleichungen

7 Modellierung von Zellstrukturen7 Stoffunabhängige Gleichungen Gleichgewichtsgleichungen: x / x + yx / y + zx / z + X = 0 y / y + xy / x + zy / z + Y = 0 z / z + yz / y + xz / x + Z = 0

8 Modellierung von Zellstrukturen8 G [ u + (1-2 ) –1 ( / x)] +X = 0 G [ v + (1-2 ) –1 ( / y)] +Y = 0 G [ w + (1-2 ) –1 ( / z)] +Z = 0 Modellierung von Zellstrukturen Eliminiert man aus den 15 Gleichungen alle Spannungen so resultieren 3 partielle Differentialgleichungen für die unbekannten Verschiebungen: (Navier)

9 Modellierung von Zellstrukturen9 u = 2 u/ x u/ y u/ z 2 v = 2 v/ x v/ y v/ z 2 w = 2 w/ x w/ y w/ z 2 Modellierung von Zellstrukturen In den Navier Gleichungen sind: (Laplace)

10 Modellierung von Zellstrukturen10 x +(1+ ) –1 ( 2 / x 2 )+2 X/ x+ (1- ) –1 ( X/ x + Y/ y + Z/ z) = 0 y +(1+ ) –1 ( 2 / y 2 )+2 Y/ y+ (1- ) –1 ( X/ x + Y/ y + Z/ z) = 0 z +(1+ ) –1 ( 2 / z 2 )+2 Z/ z+ (1- ) –1 ( X/ x + Y/ y + Z/ z) = 0 (Beltrami) Modellierung von Zellstrukturen Eliminiert man aus den 15 Gleichungen die Verschiebungen und deren Ableitungen so resultieren 3 partielle Differentialgleichungen für die unbekannten Spannungen:

11 Modellierung von Zellstrukturen11 xy +(1+ ) –1 ( 2 / x y) + X/ y + Y/ x = 0 xz +(1+ ) –1 ( 2 / x z) + X/ z + Z/ x = 0 yz +(1+ ) –1 ( 2 / y z) + Y/ z + Z/ y = 0 Modellierung von Zellstrukturen (Beltrami)

12 Modellierung von Zellstrukturen12 x = 2 x / x x / y x / z 2 y = 2 y / x y / y y / z 2 z = 2 z / x z / y z / z 2 Modellierung von Zellstrukturen In den Beltrami-Gleichungen sind: Die Lösung der DGL (Navier + Beltrami) gelingt nur in seltenen Fällen bei einfacher Geometrie und einfacher Belastung

13 Modellierung von Zellstrukturen13 Stoffunabhängige Gleichungen S - ü = 0 SpannungstensorBechleunigungsvektor

14 Modellierung von Zellstrukturen14 Stoffunabhängige Gleichungen Gleichgewichtsgleichungen: S x = x e x + yx e y + xz e z S y = yx e x + y e y + yz e z S z = zx e x + zy e z + z e z Tensordarstellung: x xy xz S = yx y yz zx zy z S Spannungstensor

15 Modellierung von Zellstrukturen15 3 Stoffunabhängige Gleichungen 6 Materialgleichungen 6 Kompatibilitätsgleichungen Modellierung von Zellstrukturen 15 Unbekannte: x y z xy xz yz u v w

16 Modellierung von Zellstrukturen16 Modellierung von Zellstrukturen Kompatibilitäts- bedingung: Benachbarte materielle Teile werden nach Belastung weder auseinanderklaffen noch sich durchdringen Die Verschiebungsvektoren und deren Komponenten sind stetige Funktionen

17 Modellierung von Zellstrukturen17 Modellierung von Zellstrukturen Kompatibilitäts- bedingung: Benachbarte materielle Teile werden nach Belastung weder auseinanderklaffen noch sich durchdringen u=u(x,y,z,t)=u x (x,y,z,t)e x +u y (x,y,z,t)e y +u z (x,y,z,t)e z

18 Modellierung von Zellstrukturen18 Modellierung von Zellstrukturen B C A A1B1 D u(x+dx,y,dy,z) u(x+dx,y,z) u(x,y+dy,z) u(x,y,z) u x (x+dx,y,z)=u x (x,y,z)+( u x (x,y,z)/ x)dx

19 Modellierung von Zellstrukturen19 Kinematisches Gleichgewicht x = u/ x u v w y = v/ y z = w/ z xy = v/ x + u/ y xz = w/ x + u/ z yz = w/ x + v/ z

20 Modellierung von Zellstrukturen20 Modellierung von Zellstrukturen Kompatibilitäts- bedingung: iklm = 0 RiemannTensor 4. Stufe

21 Modellierung von Zellstrukturen21 Modellierung von Zellstrukturen Stoffgesetze: 1-starres Material 2-linear-elastisch 3-nichtlinear-elast. 4-linear-elastisch-ideal- plastisch 5-starr-plastisch 6-viskoses Material: Kriechen 7-viskoses Material: Relaxieren ε σ

22 Modellierung von Zellstrukturen22 Modellierung von Zellstrukturen Stoffgesetze: Spannungstensor Spannungsgeschwindigkeit Verzerrungstensor Verzerrungsgeschwindigkeit

23 Modellierung von Zellstrukturen23 Modellierung von Zellstrukturen Elastisches Materialverhalten Stoffe ohne Gedächtnis Spannungstensor Verzerrungstensor

24 Modellierung von Zellstrukturen24 Modellierung von Zellstrukturen plastisches Materialverhalten Stoffe mit permanentem Gedächtnis Spannungsgeschwindigkeit Verzerrungsgeschwindigkeit

25 Modellierung von Zellstrukturen25 Modellierung von Zellstrukturen viskoses Materialverhalten Stoffe mit schwindendem Gedächtnis Spannungstensor Verzerrungsgeschwindigkeit

26 Modellierung von Zellstrukturen26 Modellierung von Zellstrukturen Biologische Systeme und Zellstrukturen sind in der Regel: Nichtlinear, anisotrop, inhomogen Zylindrische Anisotropie – Blutgefäße Biologische Systeme zeigen ein elastisch bis viskoses Verhalten und können alle Zwischenstadien einnehmen Zellen sind dynamische Systeme Aggregationsprozesse Dis

27 Modellierung von Zellstrukturen27 Modellierung von Zellstrukturen Zellen, Zellstrukturen dynamische Strukturen Spontane Aggregationsprozesse Skelettfilamente Spontane Abbauprozesse extrazelluläre Matrix Frequenzabhängige Materialeigenschaften Versuche zwingend erforderlich

28 Modellierung von Zellstrukturen28 Modellierung von Zellstrukturen Näherungsverfahren: Diskretisieren des Zellen und der Zellstrukturen des Materialverhaltens der Belastungsfunktionen der Zeit, direkte Zeitintegration


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