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Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 01Teil.

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Präsentation zum Thema: "Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 01Teil."—  Präsentation transkript:

1 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 01Teil 3 : V12 Systeme12/1 V 12: Systemen partieller Differentialgleichungen Teil 4: Systeme partieller Differentialgleichungen V 12: Systemen partieller Differentialgleichungen Inhalt: Numerik der nichtlinearen Transportgleichung Bedingungen für die Stabilität von Euler-Gleichungen Bedingungen für die Konsistenz der Diskretisierung der Euler-Gleichungen Lösungverhalten Weitere Beispiele von Systemen Experiment: Wellengleichung mit Gaußschem Impuls

2 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 01Teil 3 : V12 Systeme12/2 Das sollten Sie heute lernen Was ist ein System von Differentialgleichung ? Wie kann man es diskretisieren Was ist dabei zu beachten Wie lautet das System der Eulergleichungen Wie findet man stabile Diskretisierungen Was ist numerische Diffusion

3 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 01Teil 3 : V12 Systeme12/3 Systeme allgemein Erhaltungsgleichungen haben die Form Bei Systemen von Erhaltungsgleichungen wird aus den Abhängigen n ein Vektor U und aus f(u) eine Matrix A(U). A kann nichtlinear sein. Dabei gilt 1.Charakteristiken der verschiedenen Ausbreitungsprozesse im System haben verschiedene Geschwindigkeiten. 2.Geschwindigkeiten können von Ort und Zeit abhängen. 3.Koeffizienten der diskretisierten Systeme sind bei Nichtlinearität von A nur iterativ bestimmbar.

4 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 01Teil 3 : V12 Systeme12/4 Analyse am Beispiel der Euler-Gleichung Lösungen nur für Eigenwerte möglich. Bestimmung von aus Für adiabate Zustandsänderungen erhält man als Eigenwerte und entsprechend 3 Stabilitätsbedingungen der Form

5 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 01Teil 3 : V12 Systeme12/5 Diskretisierung Euler-Gleichung Für die Diskretisierung der Euler-Gleichung versucht man den Druck zu eliminieren.

6 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 01Teil 3 : V12 Systeme12/6 Lösung der Euler-Gleichung nach Leap-Frog-Schema Das Leap-Frog-Schema hat folgende Form Diskretisierungsfehler wegen zentraler Differenzen Ordnung 2 (Diffusion) 2-2 Leap-Frog Verbesserung durch Einbinden weiterer Ortspunkte 2-4 Leap-Frog Untersuchung an Experiment.

7 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 01Teil 3 : V12 Systeme12/7 Diese Fragen sollten Sie beantworten können Diskretisierungsmöglichkeiten der Eulergleichungen Eigenschaften hyperbolischer Gleichungen und ihre Auswirkung auf System Stabile Verfahren zur Lösung von Systemen von Dglen Voraussetzungen für Stabilität

8 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 01Teil 3 : V12 Systeme12/8 Wellengleichung mit einem Gaußschen Impuls Die Wellengleichung lautet:. Wir überführen die DGL. 2.Ordnung in 2 DGLn. der 1.Ordnung mit. Die Integrabilitätsbedingung und die Differentialgleichung müssen gelten. Dies führt zu Die Eigenwerte sind charakteristische Geschwindigkeiten die den Abhängigkeitsraum und Totraum abgrenzen. Eigenwerte müssen bei Hyperbolischen DGLs real sein und einen Schnittpunkt besitzen (well posed). Mit den Anfangswerten und deren Ableitungen ist das Problem komplet beschrieben. Die Berechnung erfolgt im Interval. Die Randbedingungen werden extrapoliert und sind von geringerer Genauigkeit als im restlichen Lösungsgebiet. Das Lösungsgebiet ist in 3 äquidistante Bereiche geteilt, in denen unterschiedliche Werte für c angegeben werden können. Der Gaußsche Impuls startet bei t=0, x=0 und bewegt sich nach links in negativer Wegrichtung, wegen dem negativen Vorzeichen der t-Ableitung.

9 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 01Teil 3 : V12 Systeme12/9 Wellengleichung mit einem Gaußschen Impuls Der Versuch wird durch Klick gestartet Beachten Sie das die Dimension 1/Länge hat, also die inverse Impulsbreite darstellt. Das Lösungsgebiet muß bei schmallen Impulsbreiten entsprechent fein diskretisiert werden. Ausserdem geht c in allen Verfahren quadratisch in die Stabilitätsbedingung ein. Die Folge ist, daß die Zeitschritte überproportional wachsen für c>1. Für das Leap Frog 2-2 Verfahren gilt: Der Algorithmus benötigt 2 gespeicherte Zeitebenen und eine Startrechnung mit einem anderen Verfahren (Lax oder Zwischenschrittverfahren). mit Hilfs- größen


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