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IMTEK Lehrstuhl Konstruktion von Mikrosystemen Technische Mechanik SS 2010 - Vorlesung Biegelinie / Folie 1 Der Biegebalken Der Biegebalken stellt eines.

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Präsentation zum Thema: "IMTEK Lehrstuhl Konstruktion von Mikrosystemen Technische Mechanik SS 2010 - Vorlesung Biegelinie / Folie 1 Der Biegebalken Der Biegebalken stellt eines."—  Präsentation transkript:

1 IMTEK Lehrstuhl Konstruktion von Mikrosystemen Technische Mechanik SS Vorlesung Biegelinie / Folie 1 Der Biegebalken Der Biegebalken stellt eines der grundlegenden Konstruktionselemente der Mikrotechnik dar, z.B. als: Gelenk und Federelement in Mikroventilen, Beschleunigungssensoren, Drehratensensoren..., Kontaktzunge in Mikrorelais, Ventilklappe in Rückschlagventilen, Aktorstruktur in Piezo- und Thermobimetallwandlern,..... Grundlegende Fragen zur konstruktiven Auslegung sind: Wie ist die Verformung abhängig von der Belastung ? Wie ist der Einfluß innerer Spannungen ? Wie verhalten sich Mehrschichtstrukturen ? © IZM München

2 IMTEK Lehrstuhl Konstruktion von Mikrosystemen Technische Mechanik SS Vorlesung Biegelinie / Folie 2 Der Biegebalken Die Biegelinie des geraden Balkens Frage: Wie ist die Verformung eines geraden Balkens bei reiner Biegebelastung ? Wir verwenden wiederum geometrische Beziehungen... Diese Beziehung gilt streng für beliebige Verformungen !

3 IMTEK Lehrstuhl Konstruktion von Mikrosystemen Technische Mechanik SS Vorlesung Biegelinie / Folie 3 Der Biegebalken Die Differentialgleichung für die elastische Linie Wir haben für beliebige Verformungen bereits eine Bezie- hung zwischen Krümmungsradius und Belastung herge- stellt. Die Frage ist nun: Wie ist für kleine Verformungen die Beziehung zwischen Durchsenkung w und Belastung ? Dies ist die Differentialgleichung der elastischen Linie des Biegebalkens für kleine Verformungen.

4 IMTEK Lehrstuhl Konstruktion von Mikrosystemen Technische Mechanik SS Vorlesung Biegelinie / Folie 4 Der Biegebalken Weitere Differentialgleichungen der Biegelinie Mit Hilfe der bekannten Zusammenhänge zwischen Moment, Querkraft und Linienlast lassen sich wei- tere Differentialgleichungen für die Biegelinie ableiten: Anmerkungen: Die letztgenannte Gleichung enthält keine Schnittgrößen, sondern nur die Flächenlast q(x). Sie erlaubt die Bestimmung der Biegelinie bei statisch unbestimmten Problemen (!). Bei nicht konstantem Querschnitt (d.h. I y const.) muß streng nach der Produktregel differenziert werden !

5 IMTEK Lehrstuhl Konstruktion von Mikrosystemen Technische Mechanik SS Vorlesung Biegelinie / Folie 5 Der Biegebalken Randbedingungen für die Berechnung der Biegelinie Die Berechnung der Biegelinie erfordert Randbedingungen an den Balkenenden. Man unterscheidet: geometrische Randbedingungen (d.h. Art der Einspannung) statische Randbedingungen (d.h. Art der Belastung) EinspannungSymbolgeometrische Randbedingungstatische Randbedingung w w MQ Gelenklager= 0 0= 0 0 Parallelführung 0= 0 0= 0 Einspannung= 0= freies Ende 0 0= 0= 0

6 IMTEK Lehrstuhl Konstruktion von Mikrosystemen Technische Mechanik SS Vorlesung Biegelinie / Folie 6 Der Biegebalken Die Biegelinie bei statisch bestimmter Lagerung Wie ist die Biegelinie eines statisch bestimmt gelagerten Balkens mit konstanter Querlast ?

7 IMTEK Lehrstuhl Konstruktion von Mikrosystemen Technische Mechanik SS Vorlesung Biegelinie / Folie 7 Der Biegebalken Die Biegelinie bei statisch unbestimmter Lagerung Wie ist die Biegelinie eines statisch unbestimmt gelagerten Balkens mit konstanter Querlast ?

8 IMTEK Lehrstuhl Konstruktion von Mikrosystemen Technische Mechanik SS Vorlesung Biegelinie / Folie 8 Der Biegebalken Die Biegelinie bei Balken mit mehreren Feldern Häufig lassen sich Belastungen (q, F, M), Schnittgrößen (Q, M), oder Verformungsgrößen (w, w) nicht durch eine einzige Funktion darstellen. In diesen Fällen ist abschnittsweise zu integrieren. Vorgehensweise: Balken so in Felder unterteilen, daß innerhalb eines Feldes alle o.g. Größen stetig sind, Schnittgrößen abschnittsweise bestimmen, Randbedingungen aufstellen, Übergangsbedingungen an den Bereichsgrenzen der Felder aufstellen, Differentialgleichung abschnittsweise integrieren.

9 IMTEK Lehrstuhl Konstruktion von Mikrosystemen Technische Mechanik SS Vorlesung Biegelinie / Folie 9 Der Biegebalken Übergangsbedingungen der Biegelinie Bei den gezeigten Lastwechseln gilt für die Biegelinie w(x) und ihre Ableitung w(x) an der Feldgrenze...

10 IMTEK Lehrstuhl Konstruktion von Mikrosystemen Technische Mechanik SS Vorlesung Biegelinie / Folie 10 Der Biegebalken Ein Beispiel für die abschnittsweise Integration der Biegelinie Wir kennen bereits den Momentenverlauf am Balken mit Einzellast: Abschnittsweises Integrieren liefert für... Bereich IBereich II

11 IMTEK Lehrstuhl Konstruktion von Mikrosystemen Technische Mechanik SS Vorlesung Biegelinie / Folie 11 Der Biegebalken Ein Beispiel für die abschnittsweise Integration der Biegelinie Randbedingungen in... Bereich IBereich II Übergangsbedingungen:

12 IMTEK Lehrstuhl Konstruktion von Mikrosystemen Technische Mechanik SS Vorlesung Biegelinie / Folie 12 Der Biegebalken Föppl-Symbole bei Mehrfeldproblemen Die abschnittsweise Definition von Belastungsgrößen bedingt einen hohen numerischen Aufwand bei der Integration der Biegelinie (Übergangsbedingungen etc.). Die sog. Föppl-Symbole ermöglichen, abschnittsweise definierte Größen in geschlossener Form darzustellen:

13 IMTEK Lehrstuhl Konstruktion von Mikrosystemen Technische Mechanik SS Vorlesung Biegelinie / Folie 13 Der Biegebalken Ein Beispiel für den Einsatz von Föppl-Symbolen Frage: Wie verläuft die Biegelinie für den dargestellten Balken mit abschnittsweise anlegender Streckenlast ? Am dargestellten, relativ simplen Balken benötigt man bereits... 2 Biegelinien, abschnittsweise zu integrieren, 2 Randbedingungen für x = 0, 2 Übergangsbedingungen für x = a, d.h. die Rechnung wird zwar nicht kompliziert, aber unübersichtlich und aufwendig !

14 IMTEK Lehrstuhl Konstruktion von Mikrosystemen Technische Mechanik SS Vorlesung Biegelinie / Folie 14 Der Biegebalken Ein Beispiel für den Einsatz von Föppl-Symbolen Frage: Wie verläuft die Biegelinie für den dargestellten Balken mit abschnittsweise anlegender Streckenlast ?

15 IMTEK Lehrstuhl Konstruktion von Mikrosystemen Technische Mechanik SS Vorlesung Biegelinie / Folie 15 Der Biegebalken Das Superpositionsprinzip Die Differentialgleichung der Biegelinie ist linear, d.h. Lastfälle und deren Lösungen können generell überlagert werden. Dieser Umstand hilft bei der Lösung statisch unbestimmter Probleme. Vorgehensweise bei unbestimmten Systemen: Das unbestimmte System in statisch bestimmte Teilsysteme zerlegen, die allgemeinen Lösungen der Biegelinie für die Teilsysteme berechnen, Kompatibilitätsbedingungen für die Teilsysteme aufstellen und das Gesamtsystem lösen. Was sind Kompatibilitätsbedingungen ? Kompatibilitätsbedingungen sind wahlweise Bedingungen für... Belastungen (F, M e, q), Schnittgrößen (M b, Q) und Durchsenkungen (w und w), die lokal, d.h. an bestimmten Stellen Beziehungen zwischen den einzelnen Teilsystemen herstellen.

16 IMTEK Lehrstuhl Konstruktion von Mikrosystemen Technische Mechanik SS Vorlesung Biegelinie / Folie 16 Der Biegebalken Ein Beispiel für die Anwendung des Superpositionsprinzips Frage:Wie groß ist das Einspannmoment M A für den gezeigten Balken ? Das System ist einfach statisch überbestimmt, d.h. wir können das Moment bei A nicht ohne weiteres berechnen. Lösung durch Superposition: Wir zerlegen das System in zwei statisch bestimmte Teilsysteme: System 0: Kragbalken mit LinienlastSystem 1: Kragbalken mit Einzellast X als Ersatz für Lager B +

17 IMTEK Lehrstuhl Konstruktion von Mikrosystemen Technische Mechanik SS Vorlesung Biegelinie / Folie 17 Der Biegebalken Ein Beispiel für die Anwendung des Superpositionsprinzips Die Berechnung der Biegelinien ergibt für... System 0: System 1: Kompatibilitätsbedingung: Am Lager B muß die Auslenkung des Gesamtsystems Null sein:

18 IMTEK Lehrstuhl Konstruktion von Mikrosystemen Technische Mechanik SS Vorlesung Biegelinie / Folie 18 Der Biegebalken Eine Alternativlösung für unser Problem In der Wahl der Teilsysteme ist man bei überbestimmten Systemen prinzipiell frei, solange die Teilsysteme für sich statisch bestimmt sind. Eine Alternative wäre hier... System 0: Gelenkbalken mit LinienlastSystem 1: Gelenkbalken mit eingeprägtem Moment M e als Ersatz für Lager A +


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