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Mathematische Ansätze1 Dynamisches Verhalten Mathematische Ansätze Rechenverfahren.

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Präsentation zum Thema: "Mathematische Ansätze1 Dynamisches Verhalten Mathematische Ansätze Rechenverfahren."—  Präsentation transkript:

1 Mathematische Ansätze1 Dynamisches Verhalten Mathematische Ansätze Rechenverfahren

2 Mathematische Ansätze2 Stoffunabhängige Gleichungen Materialgesetze Kompatibilität Mathematische Ansätze 15 Unbekannte: x y z xy xz yz u v w

3 Mathematische Ansätze3 3stoffunabhängige Gleichgewichtsgleichungen 6 kinematische Gleichgewichtsgleichungen 6 Materialgleichungen

4 Mathematische Ansätze4 Gleichgewichtsgleichungen F F a b Stoffunabhängige Gleichungen Virtueller Schnitt

5 Mathematische Ansätze5 F Spannungsvektor der resultierenden Schnittgrößen Sv=dF/dA Normalspannungen =dFn/dA Tangentialspannungen =dFt/dA dFn dF dFt dA Gleichgewichtsgleichungen Stoffunabhängige Gleichungen

6 Mathematische Ansätze6 x y z yx yz zy zx xy xz Stoffunabhängige Gleichungen Gleichgewichts- gleichungen

7 Mathematische Ansätze7 Stoffunabhängige Gleichungen Gleichgewichtsgleichungen: x / x + yx / y + zx / z + X = 0 y / y + xy / x + zy / z + Y = 0 z / z + yz / y + xz / x + Z = 0

8 Mathematische Ansätze8 G [ u + (1-2 ) –1 ( / x)] +X = 0 G [ v + (1-2 ) –1 ( / y)] +Y = 0 G [ w + (1-2 ) –1 ( / z)] +Z = 0 Mathematische Ansätze Eliminiert man aus den 15 Gleichungen alle Spannungen so resultieren 3 partielle Differentialgleichungen für die unbekannten Verschiebungen: (Navier)

9 Mathematische Ansätze9 u = 2 u/ x u/ y u/ z 2 v = 2 v/ x v/ y v/ z 2 w = 2 w/ x w/ y w/ z 2 Mathematische Ansätze In den Navier Gleichungen sind: (Laplace)

10 Mathematische Ansätze10 x +(1+ ) –1 ( 2 / x 2 )+2 X/ x+ (1- ) –1 ( X/ x + Y/ y + Z/ z) = 0 y +(1+ ) –1 ( 2 / y 2 )+2 Y/ y+ (1- ) –1 ( X/ x + Y/ y + Z/ z) = 0 z +(1+ ) –1 ( 2 / z 2 )+2 Z/ z+ (1- ) –1 ( X/ x + Y/ y + Z/ z) = 0 (Beltrami) Mathematische Ansätze Eliminiert man aus den 15 Gleichungen die Verschiebungen und deren Ableitungen so resultieren 3 partielle Differentialgleichungen für die unbekannten Spannungen:

11 Mathematische Ansätze11 xy +(1+ ) –1 ( 2 / x y) + X/ y + Y/ x = 0 xz +(1+ ) –1 ( 2 / x z) + X/ z + Z/ x = 0 yz +(1+ ) –1 ( 2 / y z) + Y/ z + Z/ y = 0 Mathematische Ansätze (Beltrami)

12 Mathematische Ansätze12 x = 2 x / x x / y x / z 2 y = 2 y / x y / y y / z 2 z = 2 z / x z / y z / z 2 Mathematische Ansätze In den Beltrami-Gleichungen sind: Die Lösung der DGL (Navier + Beltrami) gelingt nur in seltenen Fällen bei einfacher Geometrie und einfacher Belastung

13 Mathematische Ansätze13 Stoffunabhängige Gleichungen S - ü = 0 SpannungstensorBechleunigungsvektor

14 Mathematische Ansätze14 Stoffunabhängige Gleichungen Gleichgewichtsgleichungen: S x = x e x + yx e y + xz e z S y = yx e x + y e y + yz e z S z = zx e x + zy e z + z e z Tensordarstellung: x xy xz S = yx y yz zx zy z S Spannungstensor

15 Mathematische Ansätze15 3 Stoffunabhängige Gleichungen 6 Materialgleichungen 6 Kompatibilitätsgleichungen Mathematische Ansätze 15 Unbekannte: x y z xy xz yz u v w

16 Mathematische Ansätze16 Mathematische Ansätze Kompatibilitäts- bedingung: Benachbarte materielle Teile werden nach Belastung weder auseinanderklaffen noch sich durchdringen Die Verschiebungsvektoren und deren Komponenten sind stetige Funktionen

17 Mathematische Ansätze17 Mathematische Ansätze Kompatibilitäts- bedingung: Benachbarte materielle Teile werden nach Belastung weder auseinanderklaffen noch sich durchdringen u=u(x,y,z,t)=u x (x,y,z,t)e x +u y (x,y,z,t)e y +u z (x,y,z,t)e z

18 Mathematische Ansätze18 Mathematische Ansätze B C A A1B1 D u(x+dx,y,dy,z) u(x+dx,y,z) u(x,y+dy,z) u(x,y,z) u x (x+dx,y,z)=u x (x,y,z)+( u x (x,y,z)/ x)dx

19 Mathematische Ansätze19 Kinematisches Gleichgewicht x = u/ x u v w y = v/ y z = w/ z xy = v/ x + u/ y xz = w/ x + u/ z yz = w/ x + v/ z

20 Mathematische Ansätze20 Mathematische Ansätze Kompatibilitäts- bedingung: iklm = 0 RiemannTensor 4. Stufe

21 Mathematische Ansätze21 Mathematische Ansätze Stoffgesetze: 1-starres Material 2-linear-elastisch 3-nichtlinear-elast. 4-linear-elastisch-ideal- plastisch 5-starr-plastisch 6-viskoses Material: Kriechen 7-viskoses Material: Relaxieren ε σ

22 Mathematische Ansätze22 Mathematische Ansätze Stoffgesetze: Spannungstensor Spannungsgeschwindigkeit Verzerrungstensor Verzerrungsgeschwindigkeit

23 Mathematische Ansätze23 Mathematische Ansätze Elastisches Materialverhalten Stoffe ohne Gedächtnis Spannungstensor Verzerrungstensor

24 Mathematische Ansätze24 Mathematische Ansätze plastisches Materialverhalten Stoffe mit permanentem Gedächtnis Spannungsgeschwindigkeit Verzerrungsgeschwindigkeit

25 Mathematische Ansätze25 Mathematische Ansätze viskoses Materialverhalten Stoffe mit schwindendem Gedächtnis Spannungstensor Verzerrungsgeschwindigkeit

26 Mathematische Ansätze26 3. Schwingkopf 1. Kopf für Zellsuspension 2. Hülse 4. Sockel M6 5. Zylinderschraube 6. Beschleunigungssensor

27 Mathematische Ansätze27 3. Schwingkopf Gesamtansicht

28 Mathematische Ansätze28 3. Schwingkopf FEM - Simulation

29 Mathematische Ansätze29 3. Schwingkopf FEM - Analyse

30 Mathematische Ansätze30 Mathematische Ansätze Näherungsverfahren: Diskretisieren des Zellen und der Zellstrukturen des Materialverhaltens der Belastungsfunktionen der Zeit, direkte Zeitintegration


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