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Das virtuelle Physiklabor im Computer: Vom Experiment zur Simulation

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Präsentation zum Thema: "Das virtuelle Physiklabor im Computer: Vom Experiment zur Simulation"—  Präsentation transkript:

1 Das virtuelle Physiklabor im Computer: Vom Experiment zur Simulation
SIMULAB Das virtuelle Physiklabor im Computer: Vom Experiment zur Simulation

2 Funktionen Funktion:

3 Ableitung Steigung: Ableitung Steigungsdreieck lokal:
für jedes feste x

4 Infinitesimal und diskret
Differential Differenz 2 Richtungen: Grenzwertbildung Diskretisierung d.h. erzeuge ein Gitter, betrachte f nur in Gitterpunkten Näherung:

5 Beispiel für Ableitung und Differenzen-Näherung
Differenzenl: MATLAB: Diskretisiere mittels Differenzenverfahren (diff) die Funktion in (0,pi) für verschieden feine Gitter n=10,20,40,80 Studiere den Fehler im Punkt pi/2.

6 Differentialgleichung
Lineare Gleichung: ax=b, a,b gegebene Zahlen, unbekannte Zahl Lösung: x=b/a, wenn a nicht 0 Statt b, x Zahlen nun Funktionen, statt a Zahl nun lineare Kombinationen aus Funktionen und diversen Ableitungen der unbekannten Funktion u(x) => Diverse Differentialgleichungen

7 Ein Beispiel a(x) u´´(x) = b(x) in Definitionsbereich I=(0,1)
Lösung u(x) -> u(x) + mx + b ist auch Lösung. Deshalb nötig: Randbedingungen für eindeutige Lösung z.B.: Gebe u(0) und u(1) vor (Dirichlet-Bedingungen)

8 Beispiel u´´(x) = 0 in (0,1) Randbedingung: u(0)=0, u(1)=1 FEMLAB
Lösung muß lineare Funktion sein, die durch die beiden Randwerte geht. Interessanter: u´´(x) = f(x), d.h. mit nicht-Null als rechte Seite. FEMLAB

9 Was passiert? Diskretisierung: 2. Lösung des Gleichungssystems
Wahl eines Gitters Aufstellen eines diskreten Gleichungssystems mit Werten von u an inneren Gitterpunkten als Unbekannte 2. Lösung des Gleichungssystems -> genäherte Werte von u an den Gitterpunkten sind bekannt 3. Lösung zwischen den Punkten durch gewichteten Mittelwert: Streckenzug (lineare Interpolation)

10 Beispiel u´´= -sin(x) in I=(0,pi), mit u(0)=u(pi)=0
Rückwärtsdifferenz Vorwärtsdifferenz Gleichungssystem, je 3 Punktwerte koppeln

11 Einfachster Fall Gitter mit nur drei Punkten (x0,x1,x2) = (0,pi/2,pi)
RB Lösung zwischen den Punkten Streckenzug:

12 N Gitterpunkte: h=1/N Lineares Gleichungssystem, mit Hand aufwendig Lösung mit Computerprogrammen in MATLAB

13 Allgemeine Differentialgleichung 2. Ordnung:
A(x) u´´(x) + b(x) u´(x) +c(x) u(x) = f(x) Diffusion Konvektion Reaktion Nun zweidimensional: Definitionsgebiet Gebiet kann allgemeine Form haben Randbedingungen auf der Randlinie

14 Aufgabe Baue eine 2D-Tasse und heize sie am Boden.
Wie ist die Temperatur-Verteilung ?

15 Lineare Elastizität Auslenkung einer Feder/Balken unter Kraft:
Hooksches Gesetz: Federkonstante Bruch plastischer Bereich, überdehnte Feder keine Rückkehr in die Ausgangslage ohne F linearer, elastischer Bereich Rückkehr in die Ausgangslage ohne F

16 Aufgabe Deformiere einen links eingespannten Balken
der Breite 1 und Höhe 0.2 durch Anbringen der Kräfte 1e10, 3e10, 5e10, 7e10, 9e10. Messe die erzielte Auslenkung Bestimme daraus die Federkonstante K.

17 Aufgabe Baue einen Kran aus Rechtecken, fixiere die
Auslenkung am Boden und bringe eine Last an der Spitze an. Rechne mit uniformem Gitter und mit adaptivem Gitter und vergleiche die Ergebnisse Runde die einspringende Ecke ab und vergleiche die Ergebnisse.

18 Wettbewerb Baue ein hohles Viereck aus Balken und bringe
eine Kraft nach unten an. Nun stehen 4 weitere Balken gleicher Dicke und Länge zur Verfügung. Wo müssen diese angebracht werden, um eine möglichst geringe Auslenkung zu bewerkstelligen ?


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