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Seite 1 IDA, Technische Universität BraunschweigTechnische Informatik II (INF 1211) Quellen: Zum Teil aus den Unterlagen Digitale Systeme, Prof. Michalik.

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1 Seite 1 IDA, Technische Universität BraunschweigTechnische Informatik II (INF 1211) Quellen: Zum Teil aus den Unterlagen Digitale Systeme, Prof. Michalik Technische Informatik II (für Bachelor) Übung 2: Konvertieren von Zahlen , v3 Überarbeitet von T. Çatalkaya INF 1211

2 Seite 2 IDA, Technische Universität BraunschweigTechnische Informatik II (INF 1211) Konvertieren von Zahlen Lösung 1: Zeigen Sie: In jedem B-adischen Zahlensystem mit B 4 ist (1331) B eine Kubikzahl. (1331) B =1 · B · B · B · B 0 =(B+1) 3 =((11) B ) 3

3 Seite 3 IDA, Technische Universität BraunschweigTechnische Informatik II (INF 1211) Konvertieren von Zahlen Lösung 2a:Konvertieren Sie die Zahl (0,1358) 10 ins 2er, 4er, 5er und 8er System. Das Ergebnis soll auf 5 Stellen genau sein. (0,1358) 10 2er System 0,1358 · 2 = 0,2716 => 0 0,2716 · 2 = 0,5432 => 0 0,5432 · 2 = 1,0864 => 1 0,0864 · 2 = 0,1728 => 0 0,1728 · 2 = 0,3456 => 0 0,3456 · 2 = 0,6912 => 0 (0,00100) 2 (0,1358) 10 4er System 0,1358 · 4 = 0,5432 => 0 0,5432 · 4 = 2,1728 => 2 0,1728 · 4 = 0,6912 => 0 0,6912 · 4 = 2,7648 => 2 0,0592 · 4 = 0,2368 => 0 (0,020230) 4

4 Seite 4 IDA, Technische Universität BraunschweigTechnische Informatik II (INF 1211) Konvertieren von Zahlen Lösung 2b:Konvertieren Sie die Zahl (0,1358) 10 ins 2er, 4er, 5er und 8er System. Das Ergebnis soll auf 5 Stellen genau sein. (0,1358) 10 5er System 0,1358 · 5 = 0,679 => 0 0,679 · 5 = 3,395 => 3 0,395 · 5 = 1,975 => 1 0,975 · 5 = 4,875 => 4 0,875 · 5 = 4,375 => 4 0,375 · 5 = 1,875 => 1 (0,031441) 5 (0,1358) 10 8er System 0,1358 · 8 = 1,0864 => 1 0,0865 · 8 = 0,6912 => 0 0,6912 · 8 = 5,5296 => 5 0,5296 · 8 = 4,2368 => 4 0,2368 · 8 = 1,8944 => 1 0,8944 · 8 = 7,1552 => 7 (0,105417) 8

5 Seite 5 IDA, Technische Universität BraunschweigTechnische Informatik II (INF 1211) Konvertieren von Zahlen Lösung 3:Konvertieren Sie die Zahl 468,2 in die Festkommadarstellung zur Basis 2 mit 9 Vorkomma- und 6 Nachkommastellen. 468,2 = (468) 10 + (0,2) 10 Berechnung der b i für -6 i -1: 0,2 · 2 = 0,4 => b -1 = 0 0,4 · 2 = 0,8 => b -2 = 0 0,8 · 2 = 1,6 => b -3 = 1 0,6 · 2 = 1,2 => b -4 = 1 0,2 · 2 = 0,4 => b -5 = 0 0,4 · 2 = 0,8 => b -6 = 0 0,8 · 2 = 1,6 => b -7 = 1 Berechnung der b i für 0 i 9: (in Hex (Basis 16) 468:16 = 29 Rest :16 = 1 Rest D 16 (468) 10 = (1 D 4 ) 16 = ( ) 2 ( , ) 2 Damit ergibt sich nach Rundung (b -6 wird auf 1 gesetzt, da die siebte Nachkommastelle eine 1 ist) das Ergebnis: (b 9 b 8 b 7 b 6 b 5 b 4 b 3 b 2 b 1 b 0,b -1 b -2 b -3 b -4 b -5 b -6 ) 2 = ( , ) 2 1:16 = 0 Rest 1 ( b 9 b 8 b 7 b 6 b 5 b 4 b 3 b 2 b 1 b 0, b -1 b -2 b -3 b -4 b -5 b -6 ) 2 ( 0, ) 2

6 Seite 6 IDA, Technische Universität BraunschweigTechnische Informatik II (INF 1211) Konvertieren von Zahlen Lösung 4a:Wandeln Sie die Zahlen A=(58) 10 und C=(23) 10 ins 4er und ins 6er System um, und führen Sie die Subtraktion A-C mit Hilfe des B-Komplements durch. In 4er System: 58 : 4 = 14 Rest 2 14 : 4 = 3 Rest 2 3 : 4 = 0 Rest 3 (58) 10 = (322) 4 23 : 4 = 5 Rest 3 5 : 4 = 1 Rest 1 1 : 4 = 0 Rest 1 (23) 10 = (113) 4 Komplement bilden: Addieren: Überlauf Kontrolle: = (58-23=35) = 35

7 Seite 7 IDA, Technische Universität BraunschweigTechnische Informatik II (INF 1211) Konvertieren von Zahlen Lösung 4b:Wandeln Sie die Zahlen A=(58) 10 und C=(23) 10 ins 4er und ins 6er System um, und führen Sie die Subtraktion A-C mit Hilfe des B-Komplements durch. 6er System: 58 : 6 = 9 Rest 4 9 : 6 = 1 Rest 3 1 : 6 = 0 Rest 1 (58) 10 = (134) 6 23 : 6 = 3 Rest 5 3 : 6 = 0 Rest 3 (23) 10 = (35) 6 Komplement bilden: Addieren: Kontrolle: =55 6

8 Seite 8 IDA, Technische Universität BraunschweigTechnische Informatik II (INF 1211) Konvertieren von Zahlen Lösung 5:Konvertieren Sie die Zahl (556) 7 ins 3er und ins 8er System. (556) 7 3er System (556) 7 : (3) 7 = 164 Rest 1 (164) 7 : (3) 7 = 43 Rest 2 (43) 7 : (3) 7 = 13 Rest 1 (13) 7 : (3) 7 = 3 Rest 1 (3) 7 : (3) 7 = 1 Rest 0 (1) 7 : (3) 7 = 0 Rest 1 (556) 7 = (101121)3 (556) 7 8er System (556) 7 : (11) 7 = 50 Rest 6 (50) 7 : (11) 7 = 4 Rest 3 (3) 7 : (11) 7 = 0 Rest 4 (556) 7 = (436) 8

9 Seite 9 IDA, Technische Universität BraunschweigTechnische Informatik II (INF 1211) Konvertieren von Zahlen Lösung 6a-1:Bestimmen Sie die Gleitkommadarstellung der Zahlen 10 und 0,3 im IEEE 32-Bit-Format. 10 =(1010) 2 =(-1) 0 · (1,010) 2 · 2 3 =(-1) 0 · (1, ) 2 · Die Gleitkommadarstellung der Zahl 10 im IEEE 32-Bit-Format besteht also aus dem Vorzeichenbit V = 0, der Mantisse M = und dem Exponenten E = (130) 10 =

10 Seite 10 IDA, Technische Universität BraunschweigTechnische Informatik II (INF 1211) Konvertieren von Zahlen Für die Zahl 0,3 gilt: 0,3 · 2 = 0,6 => b -1 = 0 0,6 · 2 = 1,2 => b -2 = 1 0,2 · 2 = 0,4 => b -3 = 0 0,4 · 2 = 0,8 => b -4 = 0 0,8 · 2 = 1,6 => b -5 = 1 0,6 · 2 = 1,2 => b -6 = 1 0,2 · 2 = 0,4 => b -7 = 0 0,4 · 2 = 0,8 => b -8 = 0 0,8 · 2 = 1,6 => b -8 = 1 => 0,3 = (0, ) 2 Nach Rundung auf 23 Nachkommastellen ist 0,3 = (1, )2 · Die Gleitkommadarstellung der Zahl 0,3 im IEEE 32-Bit-Format besteht also aus dem Vorzeichen V = 0, der Mantisse M = und dem Exponenten E = 125 = Lösung 6a-2:Bestimmen Sie die Gleitkommadarstellung der Zahlen 10 und 0,3 im IEEE 32-Bit-Format.

11 Seite 11 IDA, Technische Universität BraunschweigTechnische Informatik II (INF 1211) Konvertieren von Zahlen Lösung 6b:Addieren Sie die beiden Gleitkommazahlen aus 6a-1 und 6a-2. (1, ) 2 · (1, ) 2 · Basendifferenz ausgleichen: Exponentendifferenz: 3-(-2) = 5 Die zweite Binärzahl muss also um 5 Stellen nach rechts geschoben werden, wenn der Exponent der Zweierpotenz von -2 auf 3 geändert wird. 2. Addieren: 1, , , Das Ergebnis der Addition lautet hiermit: (1, ) 2 · 2 3

12 Seite 12 IDA, Technische Universität BraunschweigTechnische Informatik II (INF 1211) Konvertieren von Zahlen Lösung 6c:Multiplizieren Sie die beiden Gleitkommazahlen. Wir multiplizieren (1, ) 2 · 2 -2 mit (1, ) 2 · 2 3 Es werden die Mantissen ergänzt und die führenden Einsen miteinander multipliziert. Die Multiplikation von 2 -2 mit 2 3 wird durch Addition der Exponenten ausgeführt: 2 -2 · 2 3 = = 2 1 Die Multiplikation der 24-Bit Dualzahlen ergibt: 1, · 1, Als Ergebnis erhält man also (1, ) 2 · 2 1 3

13 Seite 13 IDA, Technische Universität BraunschweigTechnische Informatik II (INF 1211) Konvertieren von Zahlen Lösung 7-1:Bestimmen Sie die kleinste und die größte positive Gleitkommazahl im IEEE 32-Bit-Format. Die Gleitkommazahl wird aufgebaut durch Mantisse · Basis Exponent. Das meist benutzte Gleitkommaformat ist in der Norm IEEE 754 spezifiziert. Gesamtlänge n Bit 32 Mantissenlänge n Bit 23 Exponentlänge n Bit 8 x min x max ( ) ·

14 Seite 14 IDA, Technische Universität BraunschweigTechnische Informatik II (INF 1211) Konvertieren von Zahlen Lösung 7-2:Bestimmen Sie die kleinste und die größte positive Gleitkommazahl im IEEE 32-Bit-Format. Die kleinste Gleitkommazahl w k im IEEE 32-Bit-Format ergibt sich wie folgt: w k =(-1) 0 · (0,00…01) 2 · =2 -23 · = Die größte positive Gleitkommazahl w g im IEEE 32-Bit-Format ergibt sich wie folgt: w k =(-1) 0 · (1,1…1) 2 · =1 · (1,1…1) 2 · =1 · (1,1…1) 2 · =(2 24 – 1) · =2 128 – 2 104


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