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Zahlensysteme Wesen und Unwesen der binären, dezimalen und hexadezimalen Zahlen.

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Präsentation zum Thema: "Zahlensysteme Wesen und Unwesen der binären, dezimalen und hexadezimalen Zahlen."—  Präsentation transkript:

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2 Zahlensysteme Wesen und Unwesen der binären, dezimalen und hexadezimalen Zahlen

3 Grundlagen der Zahlensysteme Mit Ausnahme der römischen und ostasiatischen Zahlenzeichen basieren die Zahlensysteme auf einem Stellensystem, d.h. jede Stelle wird durch eine darstellbare Ziffer mit definiertem Wert dargestellt. Beispiel: DezimalsystemZiffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Jede Stelle einer Zahl repräsentiert eine Zehnerpotenz: 1024 1*10 3 0*10 2 2*10 1 4*10 0

4 Dezimalzahl-System Jede Stelle einer Dezimalzahl wird durch eine Ziffer von 0 – 9 dargestellt. Der Wert ergibt sich aus dem Ziffernwert multipliziert mit der Zehnerpotenz der betreffenden Stelle. Die letzte Stelle (rechts = 1. Stelle) beginnt mit der Potenz 10 0. Die 2. Stelle repräsentiert die Potenz 10 1 usw. Die n. Stelle repräsentiert die Potenz 10 (n-1). Basis:10

5 Dezimalzahl-System Beispiel: 1 2 8 1 * 10 2 2 * 10 1 8 * 10 0 Ziffer Zehnerpotenz d.h.: 128 = 8*10 0 + 2*10 1 + 1*10 2

6 Binärzahl-System Jede Stelle einer Dezimalzahl wird durch eine Ziffer von 0 – 1 dargestellt. Der Wert ergibt sich aus dem Ziffernwert multipliziert mit der Zweierpotenz der betreffenden Stelle. Die letzte Stelle (rechts = 1. Stelle) beginnt mit der Potenz 2 0. Die 2. Stelle repräsentiert die Potenz 2 1 usw. Die n. Stelle repräsentiert die Potenz 2 (n-1). Basis:2

7 Binärzahl -System Beispiel: 1 0 1 1 1 * 2 3 0 * 2 2 1 * 2 0 Ziffer Zweierpotenz d.h.: 1011 = 1*2 0 + 1*2 1 + 0*2 2 + 1*2 3 = 1 + 2 + 0 + 8 = 11 1 * 2 1 Ziffer Zweierpotenz

8 Hexadezimalzahl-System Jede Stelle einer Dezimalzahl wird durch eine Ziffer von 0 – 9 sowie der Buchstaben A, B, C, D, E und F dargestellt. Der Wert ergibt sich aus dem Ziffernwert multipliziert mit der Sechzehnerpotenz der betreffenden Stelle. Die letzte Stelle (rechts = 1. Stelle) beginnt mit der Potenz 16 0. Die 2. Stelle repräsentiert die Potenz 16 1 usw. Die n. Stelle repräsentiert die Potenz 16 (n-1). Basis:16

9 Hexadezimalzahl -System Beispiel: 8 A 8 * 16 1 Ziffer 16erpotenz d.h.: 8A = 10*16 0 + 8*16 1 = 10 + 128 = 138 10 * 16 0 Ziffer 16erpotenz

10 Vor- und Nachteile Mit höherem Basiswert lassen sich die Zahlen in kürzerer Schreibweise darstellen. Beim Hexadezimalsystem müssen die Ziffern des Dezimalsystems um Buchstaben ergänzt werden. Bei gleichem Zahlenwert ist die Darstellung der Binärzahlen sehr lang. Binärzahlen kommen der Arbeitsweise elektro- nischer Schaltkreise (ein/aus = 1/0) entgegen. Mit zweistelligen Hexadezimalzahlen lassen sich die 256 Zeichen des ASCII-Codes vollständig darstellen (16*16 1 = 256).

11 Rechnen mit Binär- und Hex-Zahlen BinärzahlHex-ZahlDezimalzahl 0000 0001011 0000 0010022 0000 0100044 0000 1000088 0001 00001016 0010 00002032 0100 00004064 1000 000080128 0000 0001 0000 000001 00256 0000 0010 0000 000002 00512 0000 0100 0000 000004 001024 0000 1000 0000 000008 002048 0001 0000 0000 000010 004096 0010 0000 0000 000020 008192 0100 0000 0000 000040 0016384 1000 0000 0000 000080 0032768

12 Rechnen mit Binär- und Hex-Zahlen BinärzahlHex-ZahlDezimalzahl 0000 0001011 0000 0010022 0000 0011033 0000 0100044 0000 0101055 0000 0110066 0000 0111077 0000 1000088 0000 1001099 0000 1010 0A10 0000 10110B11 0000 11000C12 0000 11110F15 0101 10105A90 1010 0000A0160 1111 FF255

13 Rechnen mit Binär- und Hex-Zahlen Der ASCII-Code von 0-255 lässt sich mit einer 2- stelligen Hex-Zahl und einer 8-stelligen Binärzahl (= 8 Bit bzw. 1 Byte) darstellen. Dies entspricht der ursprünglichen Wort-Länge eines DV-Gerätes. Bei einer Busbreite von 16, 32 64 oder 128 Bit lassen sich also mehrere Zeichen gleichzeitig verarbeiten!

14 Rechnen mit Binär- und Hex-Zahlen Addition 0000 1010 +0001 0110 0010 0000 Subtraktion 0010 0000 -0000 1010 0001 0110 Wie im Dezimalsystem beginnt man mit der kleinsten Stelle ganz rechts. 0+0=0, 0+1=1, 1+1=10. Auch hier gelten die gleichen Regeln wie im Dezimalsystem. 0-0=0, 1-0=1, 1-1=0, 0- 1=-1 (Übertrag von 1 auf die nächsthöhere Stelle).

15 Umrechnen von Binärzahlen in Hex-Zahlen Das Umrechnen von Binärzahlen in Hex-Zahlen kann bequem über Zahlentabellen geschehen, da die höchste zweistellige Hex-Zahl (FF) der Binärzahl 1111 entspricht. 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 0123456789ABCDEF0123456789ABCDEF


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