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Kapitel 2 Kodierung 2.3 Kodierung von Zeichen 2.4 Kodierung von Zahlen.

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Präsentation zum Thema: "Kapitel 2 Kodierung 2.3 Kodierung von Zeichen 2.4 Kodierung von Zahlen."—  Präsentation transkript:

1 Kapitel 2 Kodierung 2.3 Kodierung von Zeichen 2.4 Kodierung von Zahlen

2 RW-SystemarchitekturKap Kodierung von Zahlen Neue Begriffe Festkommadarstellungen Zahlendarstellung durch Betrag und Vorzeichen Einer-/Zweierkomplement-Darstellung

3 RW-SystemarchitekturKap. 2 3 Zahlensysteme Definition Ein Stellenwertsystem (Zahlensystem) ist ein Tripel S = (b, Z, ) mit den folgenden Eigenschaften: b 2 ist eine natürliche Zahl, die Basis des Stellenwertsystems. Z ist eine b - elementige Menge von Symbolen, den Ziffern. : Z {0, 1,..., b -1} ist eine Abbildung, die jeder Ziffer umkehrbar eindeutig eine natürliche Zahl zwischen 0 und b -1 zuordnet.

4 RW-SystemarchitekturKap. 2 4 Zahlensysteme Beispiele Dualsystemb=2,Z = {0,1} Oktalsystem b=8,Z = {0,1,2,3,4,5,6,7} Dezimalsystemb=10,Z = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} Hexadezimalsystem: b=16Z = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}

5 RW-SystemarchitekturKap. 2 5 FestkommazahlenDefinition: Eine Festkommazahl ist eine endliche Folge von Ziffern aus einem Zahlensystem zur Basis b mit Ziffernmenge Z. Sie besteht aus n+1 Vorkommastellen (n 0) und k 0 Nachkommastellen. Der Wert einer nicht-negativen Festkommazahl d = d n d n d 1 d 0 d d -k mit d i Z ist gegeben durch

6 RW-SystemarchitekturKap. 2 6 Festkommazahlen Schreibweise. Vorkomma- und Nachkommastellen werden zur Verdeutlichung durch ein Komma oder einen Punkt getrennt: d = d n d n d 1 d 0. d d -k Um anzudeuten, welches Zahlensystem zugrunde liegt, wird gelegentlich die Basis als Index an die Ziffernfolge angehängt. Bsp.:

7 RW-SystemarchitekturKap. 2 7 Festkommazahlen Beispiele n, = Seien n = 3, k = 0, d = 0110 b = 2 = 6 b = 8 = 72 b = 10 = 110 b = 16 = 272

8 Negative ganze Zahlen (Im folgenden b = 2.) Bei der Darstellung negativer ganzer Zahlen nimmt die höchstwertige Stelle d n eine Sonderrolle ein: Ist d n = 0, so handelt es sich um eine nichtnegative Zahl. Bei der Darstellung negativer Zahlen gibt es folgende Alternativen: Darstellung durch Betrag und Vorzeichen d n,d n-1,...,d 0 ] BV := (-1) d n i= 0,...,n-1 d i 2 i (1- ) 2 n -1 -Komplement Darstellung (1- Komplement Darstellung ) [d n,d n-1,...,d 0 ] 1 := i= 0,...,n-1 d i 2 i - d n (2 n -1) 2 n -Komplement Darstellung (2-Komplement Darstellung) [d n,d n-1,...,d 0 ] 2 := i= 0,...,n-1 d i 2 i - d n 2 n

9 RW-SystemarchitekturKap. 2 Negative Festkommazahlen Bei der Darstellung negativer Zahlen gibt es folgende Alternativen: Darstellung durch Betrag und Vorzeichen d n,d n-1,...,d 0,d -1,...,d -k ] BV := (-1) d n i= -k,...,n-1 d i 2 i 1-Komplement Darstellung [d n,d n-1,...,d 0,d -1,...,d -k ] 1 := i= -k,...,n-1 d i 2 i - d n (2 n -2 -k ) 2-Komplement Darstellung [d n,d n-1,...,d 0,d -1,...,d -k ] 2 := i= -k,...,n-1 d i 2 i - d n 2 n

10 Betrag und Vorzeichen d n,d n-1,...,d 0,d -1,...,d -k ] BV := (-1) d n i= -k,...,n-1 d i 2 i Eigenschaften: - Der Zahlenbereich ist symmetrisch: - Kleinste Zahl: -(2 n -2 -k ) - Größte Zahl: 2 n -2 -k - Man erhält zu a die inverse Zahl, indem man das erste Bit komplementiert. - Zwei Darstellungen für die Null (000 und 100 bei n = 2, k = 0). - Benachbarte Zahlen haben gleichen Abstand 2 -k. Beispiel: n = 2, k = 0 a [a] BV

11 Einer-Komplement [d n,d n-1,...,d 0,d -1,...,d -k ] 1 := i= -k,...,n-1 d i 2 i - d n (2 n -2 -k ) Beispiel: n = 2, k = 0 a [a] Eigenschaften: -Der Zahlenbereich ist symmetrisch: -Kleinste Zahl: -(2 n -2 -k ) -Größte Zahl: 2 n -2 -k -Zwei Darstellungen für die Null (000 und 111 bei n = 2, k = 0). -Benachbarte Zahlen haben gleichen Abstand 2 -k. -Lemma: Sei a eine Festkommazahl, a´ die Festkommazahl, die aus a durch Komplementieren aller Bits (0 1, 1 0) hervorgeht. Dann gilt [a´] 1 = - [a] 1. -Man erhält die Negation von a, indem man alle Bits komplementiert.

12 Eigenschaften: -Der Zahlenbereich ist unsymmetrisch: -Kleinste Zahl: -2 n -Größte Zahl: 2 n -2 -k -Die Zahlendarstellung ist eindeutig. -Benachbarte Zahlen haben gleichen Abstand 2 -k. -Lemma: Sei a eine Festkommazahl, a´ die Festkommazahl, die aus a durch Komplementieren aller Bits (0 1, 1 0) hervorgeht. Dann gilt [a´] k = - [a] 2. -Man erhält zu a die inverse Zahl, indem man alle Bits komplementiert und an der niederwertigsten Stelle 1 addiert. Zweier-Komplement [d n,d n-1,...,d 0,d -1,...,d -k ] 2 := i= -k,...,n-1 d i 2 i - d n 2 n Beispiel: n = 2, k = 0 a [a] Vorteil des 2-Komplements: Schaltkreise zur Realisierung der Addition / Subtraktion zweier vorzeichenbehafteter Festkommazahlen werden einfach. ( später)

13 RW-SystemarchitekturKap Probleme bei Festkommazahlen Betrachte die Menge aller Zahlen, die eine 1-Komplement- Darstellung mit n Vorkommastellen und k Nachkommastellen haben. keine ganz großen bzw. kleinen Zahlen darstellbar ! Zahlen mit größtem Absolutbetrag: -2 n und 2 n -2 -k Zahlen mit kleinstem Absolutbetrag: -2 -k und 2 -k Operationen sind nicht abgeschlossen ! 2 n-1 +2 n-1 ist nicht darstellbar, obwohl die Operanden darstellbar sind. Assoziativgesetz und Distributivgesetz gelten nicht, da bei Anwendung der Gesetze evtl. der darstellbare Zahlenbereich verlassen wird! Bsp.: (2 n-1 +2 n-1 )-2 n-1 2 n-1 +(2 n-1 -2 n-1 )

14 RW-SystemarchitekturKap Gleitkommadarstellung doppelter Genauigkeit: (-1) S M 2 E Gleitkommadarstellung Position des Kommas liegt nicht fest ! Abdeckung eines größeren Zahlenbereichs bei gegebener Stellenanzahl Gleitkommadarstellung einfacher Genauigkeit: (-1) S M 2 E Es bleibt festzulegen, wie die Mantissenbits bzw. Exponentenbits als Zahlen M bzw. E interpretiert werden sollen. Das wird z. B. durch den IEEE754 Standard definiert.


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