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G.Heyer Digitale Informationsverarbeitung 1 6. Digitale Datendarstellung Daten repräsentieren Informationen über die reale Welt im Rechner Sie sind die.

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Präsentation zum Thema: "G.Heyer Digitale Informationsverarbeitung 1 6. Digitale Datendarstellung Daten repräsentieren Informationen über die reale Welt im Rechner Sie sind die."—  Präsentation transkript:

1 G.Heyer Digitale Informationsverarbeitung 1 6. Digitale Datendarstellung Daten repräsentieren Informationen über die reale Welt im Rechner Sie sind die fundamentalen Objekte, die im Rechner gespeichert, verarbeitet und wieder ausgegeben werden können Unterschiedliche Typen von Daten werden in unterschiedlichen Datenstrukturen repräsentiert: Einfache Datenstrukturen: -numerisch: natürliche Zahlen, ganze Zahlen, rationale Zahlen,... -symbolisch: Zeichenketten (strings), Zusammengesetzte Datenstrukturen: -Mengen, Listen, Bäume,... -Sammlungen von Datensätzen (Dateien)

2 G.Heyer Digitale Informationsverarbeitung 2 Codierung Daten werden als Zeichenketten (Wörter) dargestellt. Die Menge der in den Zeichenketten vorkommenden Symbole heißt Alphabet. bekannte Beispiele: {a,b,c,...,A,B,C,...}, {0,1,...,9}, {0,1} Sei ein Alphabet. * bezeichnet die Menge aller endlichen Zeichenketten, die aus gebildet werden können (einschließlich der leeren Kette). Mit k-elementigem Alphabet lassen sich k Wörter der Länge n erzeugen. Seien und Alphabete. Eine Codierung (von in ist eine injektive Abbildung c: * --> *. Eine Binärcodierung ist eine Codierung, bei der | | = 2 ist (oft = {0,1}). Vorteil: einfache physikalische Realisierungsmöglichkeit (Spannung ja/nein, Magnetisierung positiv/negativ, Loch ja/nein,...) Für analoge Daten Diskretisierung (Rasterung) erforderlich n

3 G.Heyer Digitale Informationsverarbeitung 3 Binärcodierung von Texten Codiert werden Groß-, Kleinbuchstaben, Ziffern, Satzzeichen, Sonderzeichen Verbreitetster Standard: ASCII (American Standard Code for Information Interchange) bzw. erweiterter ASCII (8 Bits) Auszug aus Code-Tabelle: 019ABZ[abz019ABZ[abz SymboldezimalASCII

4 G.Heyer Digitale Informationsverarbeitung 4 Natürliche Zahlen Stellenwertcodierung: zu jeder natürlichen Zahl n und jeder Basis b gibt es genau eine Folge x k x k^-1... x 2 x 1, so daß x k 0 und n = x i b i=0 k i Beispiele: Bemerkung: falls Ziffern 0,...,9 nicht für Basis ausreichen, weitere Symbole nötig, üblicherweise A,B,C, = = F = 47 =

5 G.Heyer Digitale Informationsverarbeitung 5 Konvertierungen von n in Basis b Methode 1: identifiziere größte Potenz b von b, die kleiner als n ist. Dividiere n durch b, den Rest durch b usw. bis b. Die Divisionsergebnisse ergeben die gesuchte Ziffernfolge von links nach rechts. i i i-10 Methode 2: dividiere n sowie die jeweils entstehenden Ergebnisse fortlaufend durch Basis b. Die dabei entstehenden Reste ergeben die gesuchte Ziffernfolge von rechts nach links.

6 G.Heyer Digitale Informationsverarbeitung 6 Rechnen mit Dualzahlen = = = = 0 (Ü = 1) 0 0 = = = = Subtraktion durch stellenweise Komplementbildung und Addition: Beispiele = = = 0110 x - y = x - [ y] = x + y = = = 6 Warum funktioniert das? Sei x n-stellig. Zu berechnen x - y. Sei y das Komplement von y. y + y = = Also: n n n

7 G.Heyer Digitale Informationsverarbeitung 7 Darstellung ganzer Zahlen (Datentyp Integer) 0000 = = = = = = = = = = = = = = = = -7 positive und negative Zahlen durch Vorzeichenbit unterschieden (0 = +, 1 = -) darstellbar: - (2 ) + 1 bis Beispiel: n = 4 n-1 Nachteile: 0 zweimal repräsentiert, Rechenoperationen komplizierter ==> (Zweier-) Komplementdarstellung

8 G.Heyer Digitale Informationsverarbeitung 8 Komplementdarstellung -z repräsentiert durch 2 - z (entspricht Stellenkomplement + 1). Vorzeichen durch erstes Bit bestimmt. Binäre Ziffernfolge x n-1 x n-2... x 1 x 0 repräsentiert: x n-1 (- 2 ) + x n x x 0 n-1n = = = = = = = = = = = = = = = = -1 Beispiel: n = 4 darstellbar: - (2 ) bis n-1 Vorteil: Addition negativer Zahlen wie für natürliche Zahlen n

9 G.Heyer Digitale Informationsverarbeitung 9 Rationale Zahlen Mit n Bits nur 2 Werte exakt darstellbar, daher müssen alle anderen rationalen Zahlen durch benachbarten Wert approximiert werden. Jede nichtnegative rationale Zahl kann eindeutig in einen ganzzahligen Anteil z1 1 und gebrochenen Anteil 0 z2 < 1 zerlegt werden, so daß z = z1 + z2. Festpunktdarstellung für z im Stellenwertsystem mit n = k + m Stellen und Basis b: x k-1 x k-2... x 1 x 0. y 1... y m steht für Konversion analog zu ganzen Zahlen: z = x i b + i=0 k-1 i y i b i=1 m -i = 1 + 1/2 + 1/8 + 1/16 2 n

10 G.Heyer Digitale Informationsverarbeitung 10 Gleit- oder Fließpunktdarstellung: Datentyp REAL Halblogarithmische Zahlendarstellung sinnvoll vor allem bei sehr großen und sehr kleinen Zahlen. Gleitpunktzahl besteht aus Mantisse und Exponent Darstellung im IEEE-Standard (Short Real): 1823 vc m x = (-1) 2 1.m v c-127 Darstellung der 0: c = 0, m = 0 kleinste positive Zahl: 2 (ca ) größte positive Zahl: (2 - 2 ) 2 (ca ) Genauigkeit etwa 7 Dezimalstellen

11 G.Heyer Digitale Informationsverarbeitung 11 Ein Beispiel Mantisse: = Exponent: = 6 Vorzeichen 0: positive Zahl Wert der Gleitkommazahl in Dezimaldarstellung: =

12 G.Heyer Digitale Informationsverarbeitung 12 Bemerkungen Es ist einer Bitfolge nicht anzusehen, ob sie ASCII-Zeichen, ganze Zahl, Gleitpunktzahl, Programmbefehl oder etwas anderes ist Interpretation abhängig vom Kontext Auch Graphiken, Bilder, Filme, Töne etc. lassen sich digitalisieren Dazu meist Diskretisierung analoger Daten erforderlich Rasterung für Praxis wohl etwas zu grob :-) 00


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