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1 Unterrichtsgang Mathematik im Leistungskurs der Kursstufe am Gymnasium Papenburg Schuljahre 2001/2002 und 2002/2003 mit OStR A. Langendörfer und Kurs.

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1 1 Unterrichtsgang Mathematik im Leistungskurs der Kursstufe am Gymnasium Papenburg Schuljahre 2001/2002 und 2002/2003 mit OStR A. Langendörfer und Kurs 13.Ma.1

2 2 Wie viel Ableitung braucht der Mensch oder KuDi ist – in mutierter Form – wieder auferstanden.

3 3 Leitlinien Problemorientierte anwendungsbezogene Aufgaben Einsatz eines CAS wo immer möglich Keine Diskussion von 5-6 Funktionstypen Keine Vernachlässigung elementarer mathe- matischer Grundkenntnisse und Grundlagen Beachtung übergreifender Aspekte

4 4 Themenfolge 1.Wie viel Nass passt ins Fass? Polynomfunktionen und Splines 2.Flächeninhalte und Rotationsvolumina 3.Exponentialfunktionen 2.Im Transrapid von A( msterdam ) nach B( erlin ) Problemlösung über Splines (Längen- und Breitengrade in kart. Koordinaten) 2.Das Problem der Krümmung - Krümmungskreise 3.Bogenlänge, Krümmungsfunktion und Gesamtkrümmung bei Funktionen 3.Wie viele Bäume müssen fallen? Parametrisierte Kurven - Grundlagen 2.Parallelkurve 3.Flatterbandkurve 4.Evolute, Zykloide, Neilsche Parabel und Rollkurven

5 5 Themenfolge 2 4.KuDi ist tot - aber er ist wieder auferstanden Ableitung und Diskussion von parametrisierten Kurven Achsenschnittpunkte auf x- und y-Achse Extrema (2 an der gleichen Stelle) und Steigung Singuläre Punkte, Doppelpunkte und Schwenkpunkte 2.Integration von parametrisierten Kurven Flächeninhalte zwischen Kurve und den Achsen Rotationsvolumina 3.Bogenlänge und Krümmung bei parametrisierten Kurven 5.Dreh ich oder dreh ich nicht? oder: auch nach oben kann der Platz beschränkt sein Abstand von windschiefen Geraden differentialgeometrisch betrachtet 2.Hüllkurven Ortskurven 3.Abstände von Kurven und Geraden

6 6 Wie viel Nass passt ins Fass oder Wie viel Weizen darfs denn sein? Funktion Relation Umkehrfunktion, Kehrform

7 7 Wie viel Nass passt ins Fass oder Wie viel Weizen darfs denn sein? Untersuchung und Herleitung der (Rand) Funktion (A) Berechnung des Flächeninhaltes und des Rotationsvolumens (bei gegebener Randfunktion) (B)

8 8 Wie viel Nass passt ins Fass oder Wie viel Weizen darfs denn sein?(A) Randfunktion als Polynom 2. oder 4. oder 5. Grades 1.Über Lösen entsprechender Gleichungssysteme 2.Über den Fit- Befehl (Derive 5) Randfunktion über Splines definieren 1.Was ist ein Spline? 2.Grenzen der Spline-Darstellung Randfunktion als Exponentialfunktion

9 9 Wie viel Weizen..... Randfunktion als Polynom 2. oder 4. oder 5. Grades Bedingungen festlegen (Glas vermessen) Höhe, Radius unten, oben und Taille Koordinaten von 3 Punkten -> 3 Bedingungen g.r.Fu. 2. Gradesg.r.Fu. 4. Grades Steigung am Anfang/Ende = 0 2 zusätzliche Bedingungen g.r.Fu 5. Grades Taillenpunkt als Minimum liefert 6. Bedingung Achtung: Bestimmung von weite- ren Punkten des Glases ist mög- lich. Liefert weitere Bedingungen, die das Ergebnis aber verschlech- tern, da der Graf der Funktion (z.B. 8./9. Grades )ausschlägt und kein befriedigendes Ergebnis liefert.

10 10 Wie viel Weizen..... Randfunktion über Fit-Befehl Der Derive-Befehl Fit verbindet ein vorher festgelegtes Polynom n-ten Grades f mit einem n+1 Punkte umfassenden Feld. z.B. #1 g(x) := ax 5 +bx 4 +cx 3 +dx 2 +ex +f #2 punkte := [[x1,y1],[x2,y2],.....,[x6,y6]] #3 fit ([x,g(x)], punkte) oder #3 fit ([x,g(x)], #2) oder #3 fit ([x,g(x)], [[x1,y1],[x2,y2],.....,[x6,y6]]) Fit kann keine Bedingungen wie f = 0 oder f=0 verarbeiten. Es ist ein eingeschränkter Gleichungslöser

11 11 Wie viel Weizen..... Randfunktion über Splines (1) Es seien x 0 =2, mit x 0

12 12 Wie viel Weizen..... Randfunktion über Splines (2) #1:"Beispiel zur Bearbeitung von Spline-Funktionen" #2:"Festlegung der Stützpunkte" #3:punkte:=[[0,2],[2,4],[5,3],[8,4.5],[10,2]] #4:sp1(x):=a*x^3+b*x^2+c*x+d #5:sp2(x):=e*x^3+f*x^2+g*x+h #6:sp3(x):=i*x^3+j*x^2+k*x+l #7:sp4(x):=m*x^3+n*x^2+o*x+p #8:SOLVE([sp1(0)=2,sp1(2)=4,sp2(2)=4,sp2(5)=3,sp3(5)=3,sp3(8)=4.5,sp4(8)= 4.5,sp4(10)=2,sp1''(0)=0,sp4''(10)=0,sp1'(2)=sp2'(2),sp2'(5)=sp3'(5), sp3'(8)=sp4'(8),sp1''(2)=sp2''(2),sp2''(5)=sp3''(5),sp3''(8)=sp4''(8)], [a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p]) #9:Simp(#8) [a=-151/1632 AND b=0 AND c=559/408 AND d=2 AND e=875/7344 AND f=-3109/2448 AND g=2393/612 AND h=563/1836 AND i=-977/7344 AND j=6151/2448 AND k=-4591/306 AND l=29219/918 AND m=185/1632 AND n=-925/272 AND o=3295/102 AND p=-3207/34] #10:Sub(#4) sp1(x):=(-151/1632)*x^3+0*x^2+559/408*x+2 #11:Sub(#5) sp2(x):=875/7344*x^3+(-3109/2448)*x^2+2393/612*x+563/1836 #12:Sub(#6) sp3(x):=(-977/7344)*x^3+6151/2448*x^2+(-4591/306)*x+29219/918 #13:Sub(#7) sp4(x):=185/1632*x^3+(-925/272)*x^2+3295/102*x+(-3207/34) #14:drucksp1(x):=IF(x>=0 AND x<=2,sp1(x)) #15:drucksp2(x):=IF(x>=2 AND x<=5,sp2(x)) #16:drucksp3(x):=IF(x>=5 AND x<=8,sp3(x)) #17:drucksp4(x):=IF(x>=8 AND x<=10,sp4(x))

13 13 Wie viel Nass passt ins Fass oder Wie viel Weizen darfs denn sein?(B) Berechnung des Rotationsvolumens bei bekannter Randfunktion 1.Didaktische Reduktion auf Berechnung des Flächeninhaltes. Untere- und obere Rechtecksfolge bilden Flächeninhalte aufsummieren Grenzwerte bilden Dabei intensive Nutzung eines CAS auf TI oder PC Flächeninhalte unter Graphen Flächeninhalte zwischen Graphen Bestimmtes und unbestimmtes Integral 2.Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 3.Erweiterung auf Rotationsvolumen bei Drehung um x-Achse Untere- und obere Zylinderfolge bilden Volumina aufsummieren Grenzwertbildung Nutzung des CAS bei relativ komplexen Randfunktionen 4.Erweiterung auf Rotation um y-Achse Umkehrbarkeit, Kehrform, Umkehrfunktion 5.Erweiterung auf Grenzwertuntersuchungen für x-> bzw. x->0

14 14 Wie viel Nass passt ins Fass oder Wie viel Weizen darfs denn sein?(C) Exponentialfunktionen als Randfunktion 1.Herleitung einer e-Funktion z.B. über natürliche Zerfallsprozesse aus der Chemie, Biologie oder Physik 2.Untersuchung von Expo.-funktionen mittels Differenzialrechnung 3.Kettenregel und Regeln von LHospital 4.Funktionen des Typs f(x) = k*e -bx^2 als mögliche Randfunktion 5.Anwendungen für Exponential-Funktionen aus NW (auch mit anderen Basen)

15 15 Im Transrapid von A (msterdam) nach B (erlin) 5. Krümmung ist nicht f(x) am Beispiel f(x) = x^2.

16 16

17 17 Im Transrapid von A (msterdam) nach B (erlin) Die Krümmung des Graphen einer Funktion an einer Stelle x 0 entspricht nicht dem Wert der 2. Ableitung der Funktion an dieser Stelle (z.B. ist f(x) = 0 für f(x)=x 2 der Graph von f ist aber nicht konstant gekrümmt), weil bei der Krümmung in einem Intervall (anders als bei der Steigung) die Länge des Graphen (also seine Bogenlänge) berücksichtigt werden muss. Je kürzer der Bogen desto geringer die Krümmung ( also ist die direkte Verbindung – die Gerade – nicht gekrümmt; k=0 ist somit das einzige Krümmungsmaß, das über die 2. Ableitung ermittelt werden kann). Die Krümmung von f an der Stelle x 0 lässt sich aber über den zugehörigen Krümmungskreis definieren; k 1/r. Somit liefert der Radius des Krümmungskreises das Krümmungsmaß von f. k: (x-x m ) 2 + (y-y m ) 2 = r 2 k: x-x m + (y-y m )*y= 0 k: 1 + y 2 + (y-y m )*y = 0 k(x0) = f(x0) 1)(x 0 -x m ) 2 + (f(x 0 )-y m ) 2 = r 2 2)(x 0 -x m ) + ( f(x 0 )-y m )*f(x 0 ) = 0 3)1 + f(x 0 ) 2 + (f(x 0 )-y m )*f(x 0 ) = 0 aus 3) -> y m Einsetzen in 2) ->x m Einsetzen in 1) -> r Integration von k über die Teilbögen liefert die Gesamt- krümmung

18 18 Klassische Mathematik Teil 1 1.Grundlagen der linearen Algebra Gruppe, Körper, Vektorraum, Unterräume, Basis, Dimension... Lineare (Un)Abhängigkeit, Def. des Skalar- und Vektorprodukts Metrik auf dem R 3 2.Grundlagen der Analytischen Geometrie Geraden- und Ebenengleichungen, Schnitt, Winkel, Abstände, Lagebeziehungen, Kugel, Polare Schwerpunkt u.a. Abstand von 2 windschiefen Geraden, Abstandsberechnungen im Allgemeinen oder Parametrisierte KurvenHüllkurven Körper der komlexen Zahlen

19 19 Klassische Mathematik Teil 2 Körper der komplexen Zahlen Geschichte der komplexen Zahlen Isomorpie zwischen C und RxR (a+ib ) Darstellungsformen (Normalform, Polarform, Eulerform) Rechnen und Arbeiten mit komplexen Zahlen

20 20 Wie viele Bäume müssen fallen? Grundlagen parametrisierter Kurven Ein Lastwagen mit einem Eisenträger, der a Meter nach hinten herausragt durchfährt eine b Meter breite Allee auf dem Mittelstreifen, wobei der Verlauf des Streifen in einem Bereich von –c bis +c um den Ursprung in etwa dem Verlauf des Graphen der Funktion f(x) = k*x n genügt. (1LE = 10 Meter) Kann der Laster die Allee durchfahren ohne die Bäume am Rande zu treffen? z.B. f(x) = 0,5*x 4, c=2, a=8 und b = 5 Wie lautet die Terme der inneren und äußeren Begrenzung der Straße? Parallelkurve Da die Straße insgesamt a (a=8) Meter breit sein soll, könnte man annehmen, dass f unten (x)=f(x)-4 und f oben (x)=f(x)+4 ist. Dies ist aber außer an der Stelle O(0;0) falsch. Gesucht ist zunächst ein Punkt Z, der von einem Punkt P auf f einen bestimmten Abstand hat. Dies ist vektoriell kein Problem. Also muss man versuchen, das analytische Problem vektoriell zu bearbeiten. 1. Transfer Gerade

21 21 Wie viele Bäume müssen fallen? Grundlagen parametrisierter Kurven 2. Die Umformung einer Geradengleichung der Form y=m*x+b in die vektorielle Form gelingt immer. Dabei werden Vektoraddition und Skalarprodukt verwendet, was bei einer Einführung in Klasse 11 nicht problematisiert werden muss, zumal es den Schülern völlig logisch und sinnrichtig erscheint. Die Umkehrung ist nicht immer so leicht, insbesondere dann nicht, wenn der Aufpunkt nicht in der Form gegeben ist. Für LK-Schüler aber kein Problem. 2. Transfer Parabel f(x)=y = m*x +b ist also gleichbedeutend mit Jeder Punkt P(x;y) auf dem Graphen von f(x)=k*x n ist darstellbar (erreichbar) über den Vektor f(x)=k*x n Hinweis Beim TI 92 Plus bzw. Voyage 2000 muss unter Mode an erster Stelle Funktion in Parametrisch geändert werden. Im y-Editor wird dann x(t)=t und y(t) = f(t) eingegeben. Unter Windows muss zu- nächst t und dann der Zeichenbereich für x und y eingegeben werden. Variable ist t!! x ist zunächst zu einer Zeichenbereichsgröße degradiert.

22 22 Wie viele Bäume müssen fallen? Parallelkurve 1 Zu einem Punkt Q auf der unteren Parallelkurve gelangt man, indem man zunächst zu einem Punkt P auf f geht und dort den mit dem Abstandsfaktor b multiplizierten Normaleneinheitsvektor ansetzt. Beispiel f(x) = x 2 mit b=2 Die Darstellung der oberen Kurve ergibt sich durch Vertauschung der Vorzeichen im Normalenvektor bzw. in der Parameterdarstellung.

23 23 Wie viele Bäume müssen fallen? Parallelkurve 2 Parallelkurve für b=2 Parallelkurvenschar für b =0,5; 1; 1,5 und 2 Problem!! Die unteren Parallelkurven sind problemlos zu erstellen, bei den oberen kann es aber zu sogenannten Rückläufen kommen. Fragen: Wann und warum? Was hat es mit den Spitzen auf sich? Rückläufe treten auf, wenn die x-Komponente der Parameterdarstellung die Monotonie ändert. Um also zu klären, wie breit eine Straße nach oben sein kann, muss man das Monotonieverhalten für x(t) untersuchen, d.h. man bildet x(t) und be- stimmt die lokalen Extrema von x(t).

24 24 Wie viele Bäume müssen fallen? Parallelkurve 3 Da dieses a aber für jeden Punkt P des Graphen jeweils den Krümmungskreisradius angibt (s. Folie 16), legt der Vektor x s (t) den zugehörigen Krümmungskreismittelpunkt fest. Alle Krümmungskreismittelpunkte liegen also auf einer Kurve, die man die Evolute oder hier Neilsche Parabel der Ausgangskurve nennt.

25 25 Wie viele Bäume müssen fallen? Flatterbandkurve Nachdem nun die Straße mit ihrem(r) oberen und unteren Rand(kurve) durch Parallelkurven festgelegt wurde, muss nun geprüft werden, welche Kurve der hinterste Punkt des Eisenträgers durchläuft, wenn der Lastwagen auf dem Mittelstreifen der Straße die Kurve passiert. Es erfolgt ein neuer vektorieller Ansatz. Ortsvektor zum Parabelpunkt P Tangentenvektor in P Tangenteneinheitsvektor in P Ortsvektor des Flatterbandes mit Länge ldes Tangentenstücks oder Beispiel 1: f(x) = 1/8x 2, a = 2 m und l = 4 m Beispiel 2: f(x) = 1/8x 2, a = 2 m und l = 5 m Die Bäume können stehen bleiben Die Bäume müssen weg

26 26 Wie viele Bäume müssen fallen? Evolute, Neilsche Parabel, Rollkurven 1 Unter der Evolute versteht man die Kurve, die die Mittelpunkte der Krümmungskreise einer zweimal differenzierbaren Funktion f durchlaufen, wenn ein Punkt P den Graphen von f durchläuft. Damit lässt sich die Evolute zu f wie folgt allgemein definieren: Bsp.: f(x) = a*x 2 oder Die Evolute zu f(x)=ax 2 lässt sich also in parametrisierter und funktionaler Form angeben. Diese Evolute nennt man Neilsche Parabel. Dieses Verfahren lässt sich aber nicht immer durchführen. Im Beispiel: f(x)=2x 2 für –1< x < 1 mit Neilscher Parabel Wird der Term von f komplexer, ergeben sich schwierigere Zusammenhänge

27 27 Wie viele Bäume müssen fallen? Evolute, Neilsche Parabel, Rollkurven 2 Evolute zu f(x) = 3*x 4 1) Die Evolute besitzt 2 Äste, da die Krümmung von f im Ursprung 0 ist; k(0)=0. Dort muss somit der Radius des Krümmungskreises unendlich sein. 2) Diese Evolute (keine Neilsche Parabel) kann nicht in funktionaler Form dargestellt werden. Daraus ergibt sich, dass jede funktionale Darstellung einer Kurve in eine parametri- sierte Form umgewandelt werden kann - aber nicht umgekehrt. Der Vorteil der parametrisierten Darstellung von Kurven liegt also darin, dass man auf diese Weise auch Kurven beschreiben kann, die keine Funktion darstellen.

28 28 Wie viele Bäume müssen fallen? Evolute, Neilsche Parabel, Rollkurven 3 Rollkurven Gegeben sei ein Punkt auf dem Rad einer Loko- motive mit dem Radius r. Welche Bahn durch- läuft dieser Punkt wenn sich das Rad dreht? Welche Fläche wird dabei überstrichen? Wie verhält sich ein Punkt, der im Rad liegt? usw. Wenn ein Kreis auf einer Geraden abrollt, dann heißt die Bahnkurve, die ein beliebiger Punkt des Kreises beschreibt, eine Zykloide Bild einer gespitzten (c=r), ver- kürzten (r>c) und geschlunge- nen (r

29 29 KuDi ist gar nicht so tot Diskussion von parametrisierten Kurven Gegeben sei die durch K1: beschriebene Kurve. 1.Ableitung K: 2.Ableitung K: Diskussionspunkte 1.Nullstellen (y(t)=0) 2.Y-A-punkte.... (x(t)=0) 3.Extrema (y(t)=0 ^ x(t) 0) 4.Schwenkpunkte (x(t)=0 ^ y(t) 0) 5.Wendepunkte 6.Singuläre Punkte 7.Doppelpunkte 8.Mehrfachpunkte K1K1 K2K2 K2

30 30 KuDi ist gar nicht so tot Diskussion von parametrisierten Kurven 2 1.y(t)=0 t=0 t= (x=0,x= 4- ) 2.x(t)=0 t=-1 t=0 t=1 (y=5,y=0,y= - 3) 3.y(t)=0 4t 3 -4=0 t=1 ; x(1) 0; K(1)>0; also TP; x(1)=0 und y(1)= -3 TP(0;-3) 4.x(t)=3t 2 -1=0 t= S 1 (0,385 ; 2,421) und S 2 (-0,385 ; -2,198) 5. K(t)=0 t=0 t= - 1,52138 => W 1 (0;0) und W 2 (-2;11,44) 6. Singulärer Punkt: Gilt x(t 0 ) = 0 und y(t 0 )=0, so heißt der Punkt P(x(t 0 );y(t 0 )) singulärer Punkt. Über das Verhalten der Tangente in diesem Punkt kann keine allgemeine Aussage gemacht werden. (Gesonderte Untersuchung bzgl. Steigung). 7. Doppelpunk: (bei K 1 ) Bei K 1 ist für t = 1 und t = -1 x(t) = 0 und gleichzeitig ist y(t)=0; d.h. die Kurve K 1 durchläuft den Ursprung zweimal. Damit liegt im Ursprung ein Doppelpunkt vor. 8. Mehrfachpunkt: Ist ein Doppelpunkt, der nicht im Ursprung liegt. Um ihn zu ermitteln löst man: x(t 1 ) = x(t 2 ) y(t 1 ) = y(t 2 )

31 31 Klassische Mathematik Teil 3 Integrationsverfahren 1.Integration durch Partialbruchzerlegung 2.Partielle Integration 3.Integration durch Substitution 4.Grenzwertuntersuchungen bei Flächeninhalten und Volumina

32 32 KuDi ist gar nicht so tot Integration von parametrisierten Kurven 1.Fläche zwischen Kurve und x-Achse 2.Fläche zwischen Kurve und y-Achse 3.Fläche in einer Schleife 4.Rotation um x-Achse 5.Rotation um y-Achse Integration wie Ableitungen unter Verwendung der Kettenregel Nach 1) oder 2) -> gleiches Ergebnis

33 33 KuDi ist gar nicht so tot Bogenlänge und Krümmung bei parametrisierten Kurven Bogenlänge Krümmung Fläche A1 zwischen K und x-Achse Fläche A2 zwischen K und y-Achse Länge der drei Bögen

34 34 Dreh ich oder dreh ich nicht? oder: auch nach oben kann der Platz beschränkt sein Ein 11 Meter hoher Tannenbaum kann mittels Schwertransport nicht waagerecht transportiert werden (siehe Flatterband). Es wird daher überlegt, ihn senkrecht auf der 1,5 Meter hohen Ladefläche eines Transporters stehend über eine Straße von A (schendorf) nach B (apenburg) zu transportieren. Dabei muss er allerdings eine Überlandleitung unter- queren, die nicht waagerecht verläuft sondern (vereinfacht dargestellt) gemäß einer fallenden Geraden im Raum. Der Straßenverlauf genüge im kritischen Bereich etwa der Verlauf des Graphen der Funktion f mit f(x) = 1/4 x 2 für –2 x 2, mit 1 LE = 10 Meter und die Überlandleitung verläuft durch die Spitzen der beiden Haltemasten mit A(-0,5/1/1,4) und B(0,5/- 1/1,1). Kann der Transport die Leitung unterqueren? 1.Geometrisches Problem, die Gerade wird dreidimensional vektoriell dargestellt, die Parabel aber funktional dreidimensionale parametrisierte Darstellung von f in der Form 2.Reduktion des Problems auf die Berechnung des Abstandes zweier windschiefer Geraden im R 3. 3.Übertragung des Lösungsweges auf das gestellte Problem Der so errechnete minimale Abstand löst nicht das gestellte Problem!!!!

35 35 Abstand windschiefer Geraden differentialgeometrisch betrachtet 1. Es sei P ein Punkt der Geraden g mit Und Q sei ein Punkt der Geraden h mit Daraus ergibt sich: Dies liefert für jedes s (fester Punkt Q von h) eine Parabel in Abhängigkeit von t (jeden Punkt von g), die den Abstandvon Q zu jedem Punkt P beschreibt.

36 36 Abstand windschiefer Geraden differentialgeometrisch betrachtet 2. Alle Parabeln der Schar haben ein lokales Minimum (kleinster Abstand). Gesucht ist das kleinste Minimum in Abhängigkeit von s. Dazu bildet man die 1. Ableitung von f s (t) nach ds, setzt diese Ableitung gleich Null und löst nach s auf. Der gefundene s-Wert wird in f eingesetzt und es ergibt sich eine Funktion g(t), die Hüllkurve der Schar f s. Das lokale Minimum der Hüllkurve (nach t) liefert den gesuchten minimalen Abstand, wenn man den gefundenen t-Wert mit dem oben errechneten s-Wert in f s (t) einsetzt und aus dem Ergebnis die Wurzel zieht. Am obigen Beispiel ergibt sich:

37 37 Hüllkurven Die oben nach Einsetzen von s in den Term der Kurvenschar gewonnenen Funktion beschreibt eine Parabel, die alle Parabeln der Parabelschar f s (t) einhüllt; die Hüllkurve. Die Aufgabe, den kleinsten Abstand von zwei windschiefen Geraden zu ermitteln, führt also auf den Lösungsansatz, von einer Kurvenschar das lokale Minimum (Maximum) der zugehöri- gen Hüllkurve zu bestimmen. (I) Hüllkurven Beispiele (II) Abstand von Geraden zu Kurven

38 38 (I) Hüllkurve Ortskurve 1 An weiteren z.T. schwereren Beispielen können weitere Hüllkurven bestimmt werden. Dazu bietet sich z.B. eine Handreichung 9) von FB Müller- Sommer vom an. Springbrunnen, Neilsche Parabel als Hüllkurve aller Normalen einer Normalparabel, Astroide, Kreishüllkurven und Parametervariationen können besprochen werden. Normalen an eine Normal- parabel werden von der Orts- kurve der Krümmungs- kreismittel- punkte einge- hüllt.

39 39 (I) Hüllkurve Ortskurve 2 Vergleich von Ortskurve mit Hüllkurve (insbesondere die Unterschiede bei der Herleitung) Gegeben ist die Funktionenschar Untersuchen Sie, in welchem Zusam- menhang die Funktionenschar f a mit folgenden Kurven steht Lösung: k2 ist Ortskurve der Extrema k3 und k4 sind Ortskurven der Wendepunkte und k1 ist die Hüllkurve.

40 40 Abstand von Geraden zu Kurven Die Vorgehensweise ist prinzipiell die gleiche wie bei 2 Geraden. Allerdings wird der Term für f s (t) erheblich komplexer und schwieriger. Darüber hinaus kann es sowohl für s als folgend für t mehrere Lösungen geben, die auf Minimum/Maximum und dann bei eventuell zwei Minima auf das gesuchte Minimum untersucht werden müssen. Wird der Grad der Kurvenfunktion 3 oder gar 4 oder wird die Kurve über einen Exponentialterm angegeben, kann es sein, dass selbst der TI Voyage aussteigt und keine Lösung liefert (auch Derive ist dann am Ende). Für die gestellte Aufgabe von oben ergibt sich folgende Lösung. P sei ein Punkt der Straße und Q einer der Überlandleitung. Dies ist aber nicht die Lösung des Problems!!!!

41 41 Ente gut- Gans noch besser (frei nach Bernd Stelter) 12,365 Meter ist zwar des geringste Abstand der Überlandleitung von der Straße, aber es ist nicht der Abstand senkrecht oberhalb der Straße, da der Vektor PQ min ja senkrecht auf der Straße aber auch senkrecht auf der Leitung steht; und das ist nicht genau oberhalb der Straße der Fall. Um das obige Problem zu lösen, bedarf es dieser aufwendigen Abstandsberechnung nicht. Man projeziert die Überlandleitung auf die x-y-Ebene in der die Straße verläuft, bringt Gerade mit Kurve zum Schnitt und erhält dabei je einen s- und t-Wert. Diese Werte setzt man dann in f s (t) ein und erhält den gesuchten Abstand. Im Beispiel ergibt sich: Der Transporter passt also gerade - mit Berührung - unter der Leitung durch. (muss das Bäumchen halt etwas gekappt werden)

42 42 Literaturverzeichnis 1.Kroll / Vaupel, Analysis Band 2 Dümmler-Verlag, 4282 (rot) 2.Kroll / Vaupel, Analysis Band 1 Dümmler-Verlag, 4281 (grün) 3.Steinberg/Ebenhöh, Aufgaben zur Analysis, Schroedel, Baumann, Analysis 1, Klett, Baumann, Analysis 2, Klett, Kayser, Analysis mit Derive, Dümmler-Verlag, H.-W. Henn, Realitätsnaher Mathe- matikunterricht mit Derive, Dümmler- Verlag, Materialien aus AMMuNT auf CD 9. Materialien Regionale Lehrerfort- bildung Vechta, Müller-Sommer 10. Materialien Regionale Lehrerfort- bildung Vechta, J. Rolfs 11. Facharbeiten 1999 – 2002 am Gym. Papenburg 12. Reidt/Wolf/Athen, Elemente der Mathe- matik Band 3, Schroedel, 1964

43 43 Literaturverzeichnis Knechtel, Weiskirch; Abituraufgaben mit Graphikrechnern +Taschencomputern I; Schroedel-Verlag Knechtel, Weiskirch; Abituraufgaben mit Graphikrechnern +Taschencomputern II; Schroedel-Verlag Röttger, Fulge u.a; Neue Ideen im Mathe- matikunterricht SII Differentialrechnung; Schroedel-Verlag Steinberg; Polarkoordinaten; Schroedel- Verlag Weigand; Neue Materialien für den Mathematikunterricht SII Wie die Mathematik in die Umwelt kommt; Schroedel-Verlag Aufgabensammlung A. Langendörfer in Klausurenmappe.


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