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Einstieg in die Integralrechnung. Frage: Wie groß ist der Flächeninhalt der markierten Fläche ? A = ?

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Präsentation zum Thema: "Einstieg in die Integralrechnung. Frage: Wie groß ist der Flächeninhalt der markierten Fläche ? A = ?"—  Präsentation transkript:

1 Einstieg in die Integralrechnung

2 Frage: Wie groß ist der Flächeninhalt der markierten Fläche ? A = ?

3 Wodurch ist die Größe der Fläche festgelegt ? A = ? Graph der Funktionx-Achse Intervalllänge

4 A (x) = ? Gesucht ist eine Funktionsvorschrift A(x), die den Inhalt der Fläche liefert, die vom Graphen einer Funktion mit der x–Achse im Intervall [0;x] eingeschlossen wird. x0 Präzisierung der Aufgabe :

5 Betrachten wir zunächst einfache Beispiele: x 0 Durch elementare Rechnung erhält man: A(x) = 3·x

6 Beispiel 2: Die Fläche des entstehenden Dreiecks berechnet sich zu: 0 x

7 Beispiel 3: Die Fläche des Trapezes berechnet sich zu: 0x

8 Zusammenstellung A(x) = 3·x Lässt sich ein Zusammenhang zwischen Flächenfunktion und Ausgangsfunktion finden ?

9 Zusammenstellung Feststellung: Leitet man die Flächenfunktion ab, so erhält man die Ausgangsfunktion A(x) = 3·x

10 Zusammenstellung A(x) = 3·x Falls dies richtig sein sollte, wie könnte dann die Funktionsvorschrift der Flächenfunktion zu f mit lauten ?

11 Zusammenstellung A(x) = 3·x Falls dies richtig sein sollte, wie könnte dann die Funktionsvorschrift der Flächenfunktion zu f mit lauten ?

12 Zusammenstellung A(x) = 3·x Nur eine Vermutung !! Doch Grund genug, sich den Differenzenquotienten der Flächenfunktion einmal anzuschauen

13 Betrachten wir also den Term: Bzw. zunächst mal nur den Zähler : Wir verdeutlichen am Einstiegsbeispiel, was durch diese Differenz ausgedrückt wird

14 A (x 0 ) 0x0x0 A(x 0 ) ist der Inhalt der Fläche, die vom Graphen einer Funktion mit der x–Achse im Intervall [0;x 0 ] eingeschlossen wird.

15 A (x 0 +h) 0x 0 +h A(x 0 +h) ist der Inhalt der Fläche, die vom Graphen einer Funktion mit der x–Achse im Intervall [0;x 0 +h] eingeschlossen wird.

16 0x 0 +h Obíge Differenz drückt also den Flächeninhalt der grün markierten Fläche aus. x0x0

17 0x 0 +h Obíge Differenz drückt also den Flächeninhalt der grün markierten Fläche aus. x0x0

18 0x 0 +h Wir versuchen, die Größe der Fläche nach oben und nach unten abzuschätzen: x0x0 Sicherlich ist der Flächeninhalt größer als der Flächeninhalt der folgenden Rechteckfläche:

19 0x 0 +h Diese hat den Flächeninhalt: x0x0 f(x 0 ) h

20 0 Diese hat den Flächeninhalt: f(x 0 ) h

21 0 Diese hat den Flächeninhalt: f(x 0 ) h Es gilt also:

22 0 Schätzen wir nun die grüne Fläche durch folgendes Rechteck nach oben hin ab: h f(x 0 +h)

23 0 Das Rechteck hat den Flächeninhalt: h f(x 0 +h) Es folgt:

24 0 Damit ist der obige Term sinnvoll nach oben und unten abgeschätzt

25 Dividiert man die gesamte Ungleichung durch h, erhält man in der Mitte den Differenzenquotienten der Flächenfunktion ! : h

26 Bildet man den Limes aller Terme für h gegen Null, erhält man:

27 : h Bzw.:

28 : h Diese Ungleichung ist nur erfüllbar, wenn gilt: Liefert der Term A(x) also den Inhalt der betrachteten Fläche, so gilt: A(x) = f(x)

29 Man beachte die in dieser Herleitung enthaltenen Vereinfachungen: -Die Fläche liegt gänzlich oberhalb der x – Achse -In den Beweis geht ein, dass f im betrachteten Intervall monoton wachsend ist - f ist im betrachteten Intervall stetig


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