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1 Polynome und mehrfache Nullstellen Polynome sind Gefangene ihrer leicht durchschaubaren Eigenschaften. Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität.

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1 1 Polynome und mehrfache Nullstellen Polynome sind Gefangene ihrer leicht durchschaubaren Eigenschaften. Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Stichwort: Polynome im Affenkasten

2 2 Polynome und mehrfache Nullstellen Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, gerade schräg

3 3 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, doppelte Nullstelle x= -1 einfache Nullstelle x= 2 Nullstellen Linearfaktoren

4 4 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, doppelte Nullstelle x= -1 einfache Nullstelle x= 2

5 5 Welche Gleichung kann dieses Polynom haben? Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013

6 Modul Wissenschaft nutzt Methoden Klausur am von 10:30 bis 12:30 Klausuranmeldung: vom 7. bis Matrikelnummer auswendig lernen!

7 7 Welche Gleichung kann dieses Polynom haben? Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Diese Funktion Vieta Vieta, mehr

8 8 Was ist eigentlich ein Polynom? Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Ein Polynom ist eine Summe von Potenzfunktionen. Der höchste Exponent, der vorkommt, heißt Grad des Polynoms. Polynome 1. Grades sind die Geraden Polynome 2. Grades sind die Parabeln Polynome 3. Grades haben immer eine symmetrische s-Form. Polynome 4. Grades haben höchstens 3 Extrema. Je höher der Grad, desto vielfältigere Formen sind möglich.

9 9 Polynome und ihre Linearfaktoren Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Jede reelle Nullstelle erzeugt einen Linearfaktor. Wenn das Restpolynom auch noch die Nullstelle enthält, kann man den Linearfaktor mehrfach herausziehen. Geht das maximal k-mal, dann heißt k-fache Nullstelle, oder Nullstelle der Vielfachheit k

10 10 Polynome und ihre Linearfaktoren Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, In der Nähe eine k-fachen Nullstelle verhält sich das Polynom wie sich die k-Potenzfunktion im Ursprung verhält. Ein Polynom n-ten Grades hat höchsten n Nullstellen, mit ihrer Vielfachheit gezählt. Fundamentalsatz der Algebra (reell) Grad 10Gesamtverlauf

11 11 Polynome und ihre Linearfaktoren Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Qualitativer Graph eines durch Linearfaktoren gegeben Polynoms Vorzei- chen GradGes. Verlauf gerade ungerade

12 12 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Übung 2 mit Polynomen

13 13 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Übung 2 mit Polynomen

14 14 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Übung 3 mit Polynomen

15 15 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Übung 3 mit Polynomen

16 16 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Übung 4 mit Polynomen

17 17 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Übung 4 mit Polynomen

18 18 Funktionen als zentrales Werkzeug Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Potenzfunktionen Polynome Trigonometrische Funktionen Exponentialfunktionen Davon so manche Umkehrfunktionen Wurzelfunktionen Arkusfunktionen Logarithmusfunktionen Und das noch koppeln mit und Verkettung. Das wars dann aber auch

19 19 Funktionen als zentrales Werkzeug Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Sinusfunktion

20 20 Die Winkel-Funktionen Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, x wird Argument einer Funktion Einheitskreis Der Punkt Q läuft im Einheitskreis vom Start (1/0). (mathematisch positiv = gegen die Uhr) Den von Q zurückgelegten Weg x nennt man auch das Bogenmaß des Winkels, um den sich Q gedreht hat. Kurz: x ist der Winkel im Bogenmaß

21 21 Die Sinus-Funktion Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Sinusfunktion Einheitskreis x = Winkel im Bogenmaß = Länge des Bogens im Einheitskreis Dem Winkel x wird nun die Ordinate von Q zugeordnet. Die Funktion, die das leistet, heißt Sinus-Funktion.

22 22 Die Sinus-Funktion Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Sinusfunktion Einheitskreis x = Winkel im Bogenmaß = Länge des Bogens im Einheitskreis

23 23 Eigenschaften der Sinus-Funktion Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Die Sinus-Funktion ist periodisch. Die Periode ist. Die Sinuswerte liegen zwischen -1 und + 1. Die Sinusbögen sind symmetrisch. Die Sinuskurve ist punktsymmetrisch zum Ursprung

24 24 Die Sinus-Funktion Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Sinusfunktion Einheitskreis x = Winkel im Bogenmaß = Länge des Bogens im Einheitskreis Dem Winkel x wird nun die Ordinate von Q zugeordnet. Die Funktion, die das leistet, heißt Sinus-Funktion.

25 25 Die Kosinus-Funktion Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Sinusfunktion Einheitskreis x = Winkel im Bogenmaß = Länge des Bogens im Einheitskreis Dem Winkel x wird nun die Ordinate von Q zugeordnet. Die Funktion, die das leistet, heißt Sinus-Funktion. Tangens Kosinus

26 26 Eigenschaften der Kosinus-Funktion Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Die Kosinus-Funktion ist periodisch. Die Periode ist. Die Kosinuswerte liegen zwischen -1 und + 1. Die Kosinusbögen sind symmetrisch. Die Kosinuskurve ist symmetrisch zur y-Achse

27 27 Sinus strecken und stauchen Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013

28 28 Funktionen strecken und stauchen Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Ein Faktor direkt beim x sorgt für waagerechtes Strecken und Stauchen.

29 29 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Ein Faktor vor dem Funktionsterm sorgt für senkrechtes Strecken und Stauchen. Funktionen strecken und stauchen

30 30 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Funktionen variieren Fkt-Vari-Sin Sin-Ueb

31 31 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Übung mit Funktionsgraphen Sin-Ueb

32 32 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Welle

33 33 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Übung mit Funktionsgraphen

34 34 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Parabeln

35 35 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Übung mit Funktionsgraphen


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