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3-Färbbarkeit von planaren Graphen mit Maximalgrad 4 ist NP-vollständig Marco Barz Seminar über Algorithmen SoSe2007.

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1 3-Färbbarkeit von planaren Graphen mit Maximalgrad 4 ist NP-vollständig Marco Barz Seminar über Algorithmen SoSe2007

2 Gliederung 1. Einleitung 2. Wiederholung 3. Beweis –3SAT 3C –3C P3C –P3C P3C4

3 1. Wiederholung Was ist ein planarer Graph? Ein Graph, der auf einer Ebene mit Punkten für die Knoten und Linien für die Kanten dargestellt werden kann, ohne dass die Kanten sich kreuzen

4 Wiederholung Was ist 3-Färbbarkeit? G=(N,A) ungerichteter Graph ohne Mehrfachkanten f Abbildung N -> {1,2,3} f ist gültige 3-Färbung von G, falls für je zwei beliebige benachbarte Knoten v1 und v2 von G gilt: –f(v1)f(v2) –für alle v aus N gilt: f(v)3

5 Beweis Beweisführung in 3 Schritten mittels 3er Reduktionen 1. 3SAT 3-Färbbarkeit von Graphen 2. 3-Färbbarkeit von Graphen 3- Färbbarkeit von planaren Graphen 3. 3-Färbbarkeit von planaren Graphen 3- Färbbarkeit von planaren Graphen mit Maximalgrad 4

6 1. 3SAT 3C Konstruktion des Graphen H a b c y1y1 y2y2 y4y4 y5y5 y6y6 y3y3 Wenn die Knoten a,b,c gleich gefärbt sind, muss y 6 bei einer gültigen 3-Färbung von H ebenfalls die gleiche Farbe annehmen

7 Eigenschaften von H 1.1 Jede Färbung der Knoten a,b,c, so dass 1 {f(a),f(b),f(c)} kann zu einer gültigen 3-Färbung erweitert werden, so dass f(y 6 )=1 1.2 wenn f(a)=f(b)=f(c)=i, dann ist auch f(y 6 )=i

8 1. 3SAT 3C Menge C von p Klauseln in n Variablen x 1,x 2,...,x n als Eingabe für 3SAT Annahme: Jede Klausel hat 3 Literale (Beweis siehe Quellen) C i =(a i b i c i ) Ziel: Konstruktion eines Graphen G, der genau dann 3-färbbar ist, wenn C erfüllbar ist

9 1. 3SAT 3C a1a1 b1b1 c1c1 y 11 y 12 y 14 y 15 y 16 y 13 a2a2 b2b2 c2c2 y 21 y 22 y 24 y 25 y 26 y 23 v2v2 v1v1 v3v3 x1x1 x2x2

10 1. 3SAT 3C => –C hat erfüllende Belegung –Definiere f:N->{y ij :1 i p,1 j 6} durch: f(v 1 )=1, f(v 2 )=2, f(v 3 )=3 f(x i )=1, f( )=2 falls x i =true f(x i )=2, f( )=1 falls x i =false f weist benachbarten Knoten verschiedene Werte zu Weil C erfüllt, gilt: 1=f(v 1 ) {f(a i ), f(b i ), f(c i )} für alle i, 1 i p. Nach Eigenschaft 1.1 kann f zu einer gültigen 3-Färbung erweitert werden

11 1. 3SAT 3C <= –f:N->{1,2,3} ist gültige 3-Färbung von G –Kanten in A erzwingen Eigenschaften: {f(x i ),f( ):1 i n}={f(v 1 ),f(v 2 )} {f(y i6 ):1 i p}={f(v 1 )} –Es folgt aus Eigenschaft 1.2 dass f(v 1 ) {f(a i ), f(b i ), f(c i )}, 1 i p –Ausserdem: f(x i )!=f( ) –Setzen von x genau dann auf true (f(x)=1), wenn f(x i )=f(v 1 ), ergibt erfüllende Belegung für C Also ist C dann und nur dann erfüllbar, wenn G 3- färbbar ist.

12 2. 3C P3C vv u u Schlüsselkonstruktion für den 2. Teil des Beweises ist dieser Graph H (Kreuzung) Eigenschaften: 2.1 Jede gültige 3-Färbung von H ergibt die gleichen Farben jeweils für u,u und v,v 2.2 Es existiert immer eine 3-Färbung, bei der u und v verschiedene Farben haben

13 2. 3C P3C Konstruktion des planaren Graphen G=(N,A) aus einem Graphen G=(N,A) 1. Platziere G in der Ebene, mit Kreuzungen, aber so, dass nicht mehr als 2 Kanten sich an einem Punkt treffen (abgesehen von ihrem Endpunkt) und so, dass keine Kante einen anderen Knoten als ihren eigenen Endpunkt berührt. 2. Für jede Kante {x,y} A bezeichne ihre Darstellung in der Ebene: {x,y}-Linie. Füge zu jeder solchen Linie, die von anderen Linien gekreuzt wird, neue Punkte hinzu: einen zwischen jedem Endpunkt und der nächstliegenden Kreuzung und einen zwischen jedem Paar nebeneinander liegender Kreuzungen. x y 3. Ersetze jede Kreuzung im Graphen durch eine Kopie vom Graph H, wobei seine Ausgänge u,u die nächstliegenden neuen Punkte auf der einen an der Kreuzung beteiligten Linie ersetzen und v,v die nächstliegenden neuen Punkte auf der anderen an der Kreuzung beteiligten Linie. 4. Für jedes {x,y} A: wähle einen Endpunkt als besonderen Endpunkt und verschmelze ihn mit dem nächstliegenden neuen Punkt auf der {x,y}-Linie. Die Kante zwischen dem anderen Endpunkt und seinem nächstliegenden neuen Punkt auf der {x,y}-Linie wird operante Kante der {x,y}-Linie genannt.

14 2. 3C P3C Angenommen, G ist 3-färbbar und f:N->{1,2,3} ist gültige 3-Färbung –Dann: f beschränkt auf N N ist gültige 3-Färbung von G –Beweis durch Widerspruch: falls nicht, dann würde ein {x,y} A existieren, so dass f(x)=f(y). Betrachte {x,y}-Linie in G: o.B.d.A x ist besonderer Endpunkt für diese Linie. Nach Eigenschaft 2.2 haben alle neuen Punkte auf der Linie die gleiche Farbe wie x. Also müssen beide Endpunkte der operanten Kante die gleiche Farbe haben. Widerspruch!

15 2. 3C P3C Umgekehrt, f:N->{1,2,3} ist gültige 3-Färbung für G: Erweiterung zu 3-Färbung für G wie folgt: –Für jedes {x,y} A: färbe jeden neuen Punkt auf der {x,y}-Linie mit Farbe f(x) (x=besonderer Endpunkt) -> alle operanten Kanten sind gültig gefärbt –Nach Eigenschaft 2.2 kann diese 3-Färbung auf die inneren Knoten der Kreuzungen erweitert werden -> gültige 3-Färbung für G Also ist G dann und nur dann 3-färbbar, wenn G 3-färbbar ist.

16 3. P3C P3C4 Idee: Verwenden von Knoten-Substituten H K, die Knoten mit Grad>4 ersetzen. Ziel: Konstruktion eines planaren Graphen G aus G, der höchstens Knotengrad 4 hat, und der 3-färbbar genau dann ist, wenn G 3-färbbar ist H3H3 H5H

17 3. P3C P3C4 Eigenschaften von H K –3.1 H K hat 7(k-2)+1 Knoten, inklusive der Ausgänge (Outlets) –3.2 Kein Knoten von H K hat den Grad>4 –3.3 H K ist planar –3.4 H K ist 3-färbbar, aber nicht 2-färbbar, und jede gültige 3-Färbung von H K weist jedem Ausgangsknoten die gleiche Farbe zu

18 3. P3C P3C4 Konstruktion von G –Fixiere planare Einbettung von G und benenne willkürlich die r Knoten mit Grad>4 als v 1,v 2,...,v r –Konstruiere Folge von Graphen G 0,...,G r wie folgt: G i entsteht aus G i-1 Sei d der Grad von v i in G i-1 und {u 1,v i },...,{u r,v i } die zu v i gehörigen Kanten im Uhrzeigersinn: Erstelle G i durch Ersetzen von v i mit H d und ersetze jede Kante {u j,v i } durch eine Kante, die u j mit dem Ausgangsknoten j des Knotensubstituts verbindet.

19 3. P3C P3C4 Es folgt aus den Eigenschaften von H K und der Konstruktion des Graphen G: –G K ist planar für 0 k r –G K hat r-k Knoten mit Grad>4 –G K ist 3-färbbar genau dann, wenn G 3- färbbar ist G erfüllt alle Voraussetzungen ->

20 Danke!


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