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Institut für Erziehungswissenschaft Mathematics meets Snowsports Schruns, 17. Februar bis 22. Februar 2008.

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Präsentation zum Thema: "Institut für Erziehungswissenschaft Mathematics meets Snowsports Schruns, 17. Februar bis 22. Februar 2008."—  Präsentation transkript:

1 Institut für Erziehungswissenschaft Mathematics meets Snowsports Schruns, 17. Februar bis 22. Februar 2008

2 Übersicht Funktionen, Extremstellen, Wendepunkte Steigung Parabeln und Kurven Kräftewirkung Geschwindigkeit Impressum

3 Mathematics meets Snowsports Funktionen, Extremstellen, Wendepunkte

4 Gliederung Lineare Funktion Lineare Funktion Quadratische Funktion Quadratische Funktion Funktion n-ten Grades Funktion n-ten Grades Rechenbeispiel Rechenbeispiel Betragsfunktion Betragsfunktion

5 Lineare Funktion Konstante Steigung, Proportionalität der Funktionswerte f(x)=-1/2x+3

6 Quadratische Funktion Parabelförmig f(x)=-1/3*x^2+2*x+1

7 Funktion n-ten Grades Wendepunkte, Extrempunkte

8 Rechenbeispiel f(x)= x³+2x²-4x+6 f(x)= x³+2x²-4x+6 f´(x)= 3x²+4x-4 f´(x)= 3x²+4x-4 f´´(x)=12x+4 f´´(x)=12x+4Extremstellen: f´(x)=01.Fall: x=-2 2.Fall: x= 0,66 Wendepunkte: f´´(x)=0 x=-0,33

9 Betragsfunktion Funktion aus mehreren Einzelfunktionen f(x)=-|x+1|

10 Vielen Dank Für Ihre Aufmerksamkeit

11 Steigung Mathematics meets Snowsports

12 Inhalt I.Die Straße I.Umrechnung von % in Grad II.Mathematische Herleitung II.Der Berg I.Mathematische Herleitung II.Wann rutscht man vom Berg? III.Die Seilbahn I.Mathematische Herleitung II.Momentane Steigung (Ableitung) IV.Die Buckelpiste I.Mathematische Herleitung

13 Die Straße Umrechnung von % in Grad: α=arctan(33%) α=18,26° arctan (tan -1 ) = Umkehrfunktion von tan = Gegenkathete dividiert durch Ankathete

14 Mathematische Herleitung Die Steigung einer Straße entspricht der Steigung der Strecke b (in diesem Beispiel) eines rechtwinkligen Dreiecks α a b c

15 Der Berg

16 Mathematische Herleitung f(x)=mx+bm=Δy/Δx f(x)

17 Wann rutscht man vom Berg?

18 Aufgabe: Ein Bergsteiger trägt Schuhe mit Gummisohle und steigt auf einen mit Schnee bedeckten Berg. Ab welcher Steigung des Berges rutscht er vom Berg, wenn er keine weitere Ausrüstung besitzt? (f R =0,3 Reibungszahl von Gummi auf Schnee)

19 Wann rutscht man vom Berg? F H >F R (Ansatz) F H =F G ·sin(α) F N =F G ·cos(α) F R =F N ·f R F G =m·g g9,81m/s²

20 Wann rutscht man vom Berg? Lösung: F H >F R m·g·sin(α) > m·g·cos(α)·f R sin(α)/cos(α) > f R tan(α) > f R α > arctan(0,3) α > 16,7° = 30%

21 Die Seilbahn

22 Mathematische Herleitung f(x)=ax²+bx+c Ø Steigung f(x)=2ax+b

23 Die Buckelpiste

24 Mathematische Herleitung f(x)=sin(x) f(x)=cos(x)

25 Fazit Mathematik stellt die Grundlage für viele technische Errungenschaften dar, welche nicht nur in heutigen Trendsportarten zum Tragen kommen. Die allgegenwärtige Mathematik erscheint uns jedoch nicht von bemerkenswerter Bedeutung.

26 Ende Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit

27 Parabeln & Kurven

28 Inhaltsangabe Kurven Ebene Kurven Raumkurven Trigonometrische Funktionen Sinus Kosinus Tangens Parabeln

29 Kurven Ebene Kurven Raumkurven

30 Ebene Kurven Ebene Kurven: eindimensionales Objekt besitzt im allgemeinen eine Krümmung kann sich nur in eine Richtung bewegen kann durch eine Gleichung in Koordinaten beschrieben werden man kann sie ohne abzusetzen durchlaufen Beispiele für ebene Kurven: Gerade Kreis Parabel haben nur Krümmungen

31 Raumkurve haben Krümmungen und Windungen sind dreidimensional

32 Trigonometrische Funktionen Sinus Kosinus Tangens

33 Sinuskurve

34 Kosinuskurve -Komplementärwinkel von Sinus -Steht im 90° Winkel zu Sinus

35 Tangenskurve

36 Parabel Ist ein Kegelschnitt, der entsteht wenn man den Kegel mit einer Ebene schneidet Beispiel für eine Parabel: Quadratische Funktionen Kann als Punktmenge in einem kartesischen Koordinatensystem beschrieben werden

37 Ende Wir bedanken uns für Ihre Aufmerksamkeit Orhan Karatas, Sebastian Bothe, Marc Keggenhoff

38 Mathematics meet Snowsports Kräftewirkung

39 Inhaltsverzeichnis Zentrifugal- & Zentripetalkraft Zentrifugal- & Zentripetalkraft Gewichtskraft Gewichtskraft Hangabtriebskraft Hangabtriebskraft Potentielle Energie Potentielle Energie 1.Definition 2.Beispiel 3.Formeln

40 Zentrifugal- und Zentripetalkraft Definition Zentrifugalkraft (Fliehkraft) Zentrifugalkraft (Fliehkraft) Tritt in Drehbewegungen auf Tritt in Drehbewegungen auf Wirkt nach außen Wirkt nach außen Zentripetalkraft Zentripetalkraft Wirkt nach innen Wirkt nach innen Hält das Objekt in der Kreisbahn Hält das Objekt in der Kreisbahn |Zentripetalkraft|=|Zentrifugalkraft| |Zentripetalkraft|=|Zentrifugalkraft|

41 Zentrifugal- und Zentripetalkraft Beispiel rM F ZP F ZF

42 Zentrifugal- und Zentripetalkraft Formeln F Z = (m * v²)/ r

43 Gewichtskraft Definition Gewichtskraft Definition Wirkt in Richtung des Erdkerns Wirkt in Richtung des Erdkerns Ist dafür verantwortlich, dass Objekte auf der Erde bleiben und nicht wegfliegen Ist dafür verantwortlich, dass Objekte auf der Erde bleiben und nicht wegfliegen Die Durchschnittliche Schwerebeschleunigung g beträgt 9,81m/s² Die Durchschnittliche Schwerebeschleunigung g beträgt 9,81m/s²

44 44 Gewichtskraft Beispiel G F Auftrieb

45 Gewichtskraft Formeln F G = m * g g = 9,81 m/s²

46 Hangabtriebskraft Definition Eine Komponente der Gewichtskraft (Hangabtriebskraft + Normalkraft = Gewichtskraft) Eine Komponente der Gewichtskraft (Hangabtriebskraft + Normalkraft = Gewichtskraft) Ist auf einer schiefen Ebene hangabwärts gerichtet Ist auf einer schiefen Ebene hangabwärts gerichtet

47 Hangabtriebskraft Beispiel Hangabtriebskraft F H Gewichtskraft F G Normalkraft F N

48 Hangabtriebskraft Formeln F H = F G * sin(α) F N = F G * cos(α) F G = m * g

49 Potenzielle Energie Definition Energie, die ein Objekt durch seine Position oder Lage in z.B. einem Gravitationsfeld erhält. Energie, die ein Objekt durch seine Position oder Lage in z.B. einem Gravitationsfeld erhält. Bezugspunkt: Erdoberfläche Bezugspunkt: Erdoberfläche

50 50 Potenzielle Energie Beispiel Höhendifferenz

51 Potenzielle Energie Formeln V = m * g * h V = Potenzielle Energie

52 Powered by

53 Geschwindigkeit M. Nocke, A. Rasseck, B. Westerkofort, T. Wunderlich

54 Formelzeichen: [ ] = Geschwindigkeit [s] = Strecke [t]= Zeit Formel:

55 Inhaltsangabe Momentangeschwindigkeit Durchschnittsgeschwindigkeit Beschleunigung Lawinen

56 Momentangeschwindigkeit Beschreibung: Die Momentangeschwindigkeit beschreibt den Grenzwert der mittleren Geschwindigkeit für t gegen 0. Momentangeschwindigkeit Formelzeichen [v] = Geschwindigkeit [s]= Weg [t]= Zeit Formel:

57 Durchschnittsgeschwindigkeit Formelzeichen: [v]= Geschwindigkeit [s]= Weg [t]= Zeit Beschreibung: Die Durchschnittsgeschwindigkeit beschreibt die Mittelgeschwindigkeit aus allen auf einer Strecke gemessenen Geschwindigkeiten. Formel:

58 Beschreibung: Bei der Beschleunigung in einer Bewegung verändert sich vom Punkt v1 auf v2. Diese Änderung geschieht in der Zeit zwischen t1 und t2. Formelzeichen: [a]= Beschleunigung [v]= Geschwindigkeit [t]= Zeit Beschleunigung Formel: Formelzeichen: [a] = Beschleunigung [s] = Weg [t] = Zeit Beschreibung: Wenn wir vom Stillstand des Objektes ausgehen, ist die Zeit t=0. So müssen wir den zurückgelegten Weg durch die benötigte Zeit berechnen.

59 Lawinen Auslaufzone - Hangneigung von ca. 30 – 50° - Punktförmiger Anriss ->Lockerschneelawine -Linienförmiger Anriss ->Schneebrettlawine Ausgangspunkt Bewegungsgebiet -Flächige o. in Runsen konzentriert - Stillstandzone - Unter 20° - Länge d. Auslauf- zone hängt von d. Lawine ab Faktoren f. Lawinen allg. : - Neuschnee - Viel Schneefall in kurzer Zeit - Hangneigung - Bodenbedeckung - Hanglage

60 Lawinenarten Schneebrettlawine Lockerschneelawine

61 Ende Danke für Ihre Aufmerksamkeit

62 Institut für ErziehungswissenschaftErziehungswissenschaft Impressum Die Projektwoche Mathematics meets Snowsports wurde entwickelt von Verena Scharmacher und Daniel Gersmeier Die wissenschaftliche Begleitung dieses Projekts erfolgt durch Prof. Dr. F. Stuber von der Fachhochschule Münster und Dr. C. Keller von der Westfälischen Wilhelms-Universität Münster.Prof. Dr. F. Stuber Dr. C. Keller


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