Mathematics meets Snowsports

Präsentation zum Thema: "Mathematics meets Snowsports"—  Präsentation transkript:

1 Mathematics meets Snowsports
Schruns, 17. Februar bis 22. Februar 2008 Institut für Erziehungswissenschaft

2 Übersicht Funktionen, Extremstellen, Wendepunkte Steigung
Parabeln und Kurven Kräftewirkung Geschwindigkeit Impressum

3 Mathematics meets Snowsports
Funktionen, Extremstellen, Wendepunkte

4 Gliederung Lineare Funktion Quadratische Funktion
Funktion n-ten Grades Rechenbeispiel Betragsfunktion

5 Konstante Steigung, Proportionalität
Lineare Funktion f(x)=-1/2x+3 Konstante Steigung, Proportionalität der Funktionswerte

6 Quadratische Funktion
f(x)=-1/3*x^2+2*x+1 Parabelförmig

7 Wendepunkte, Extrempunkte
Funktion n-ten Grades Wendepunkte, Extrempunkte

8 Rechenbeispiel f(x)= x³+2x²-4x+6 f´(x)= 3x²+4x-4 f´´(x)=12x+4
Extremstellen: f´(x)=0 1.Fall: x=-2 2.Fall: x= 0,66 Wendepunkte: f´´(x)=0 x=-0,33

9 Funktion aus mehreren Einzelfunktionen
Betragsfunktion f(x)=-|x+1| Funktion aus mehreren Einzelfunktionen

10 Vielen Dank Für Ihre Aufmerksamkeit

11 Mathematics meets Snowsports
Steigung

12 Inhalt Die Straße Der Berg Die Seilbahn Die Buckelpiste
Umrechnung von % in Grad Mathematische Herleitung Der Berg Wann rutscht man vom Berg? Die Seilbahn Momentane Steigung (Ableitung) Die Buckelpiste

13 Die Straße Umrechnung von % in Grad: α=arctan(33%) α=18,26°
arctan (tan-1) = Umkehrfunktion von tan = Gegenkathete dividiert durch Ankathete

14 Mathematische Herleitung
Die Steigung einer Straße entspricht der Steigung der Strecke b (in diesem Beispiel) eines rechtwinkligen Dreiecks b a α c

15 Der Berg

16 Mathematische Herleitung
f(x)=mx+b m=Δy/Δx f(x)

17 Wann rutscht man vom Berg?

18 Wann rutscht man vom Berg?
Aufgabe: Ein Bergsteiger trägt Schuhe mit Gummisohle und steigt auf einen mit Schnee bedeckten Berg. Ab welcher Steigung des Berges rutscht er vom Berg, wenn er keine weitere Ausrüstung besitzt? (fR=0,3  Reibungszahl von Gummi auf Schnee)

19 Wann rutscht man vom Berg?
FH>FR (Ansatz) FH=FG·sin(α) FN=FG·cos(α) FR=FN·fR FG=m·g g≈9,81m/s²

20 Wann rutscht man vom Berg?
Lösung: FH>FR m·g·sin(α) > m·g·cos(α)·fR sin(α)/cos(α) > fR tan(α) > fR α > arctan(0,3) α > 16,7° = 30%

21 Die Seilbahn

22 Mathematische Herleitung
Ø Steigung f(x)=ax²+bx+c f‘(x)=2ax+b

23 Die Buckelpiste

24 Mathematische Herleitung
f(x)=sin(x) f‘(x)=cos(x)

25 Fazit Mathematik stellt die Grundlage für viele technische Errungenschaften dar, welche nicht nur in heutigen Trendsportarten zum Tragen kommen. Die allgegenwärtige Mathematik erscheint uns jedoch nicht von bemerkenswerter Bedeutung.

26 Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit
Ende Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit

27 Mathematik meets snow sports
Parabeln & Kurven Mathematik meets snow sports

28 Inhaltsangabe Kurven Trigonometrische Funktionen Parabeln Ebene Kurven
Raumkurven Trigonometrische Funktionen Sinus Kosinus Tangens Parabeln

29 Kurven Ebene Kurven Raumkurven

30 Ebene Kurven Ebene Kurven: haben nur Krümmungen
eindimensionales Objekt besitzt im allgemeinen eine Krümmung kann sich nur in eine Richtung bewegen kann durch eine Gleichung in Koordinaten beschrieben werden man kann sie ohne abzusetzen durchlaufen Beispiele für ebene Kurven: Gerade Kreis Parabel haben nur Krümmungen

31 Raumkurve haben Krümmungen und Windungen sind dreidimensional

32 Trigonometrische Funktionen
Sinus Kosinus Tangens

33 Sinuskurve

34 Kosinuskurve Komplementärwinkel von Sinus Steht im 90° Winkel zu Sinus

35 Tangenskurve

36 Parabel Ist ein Kegelschnitt, der entsteht wenn man den Kegel mit einer Ebene schneidet Beispiel für eine Parabel: Quadratische Funktionen Kann als Punktmenge in einem kartesischen Koordinatensystem beschrieben werden

37 Orhan Karatas, Sebastian Bothe, Marc Keggenhoff
Ende Wir bedanken uns für Ihre Aufmerksamkeit Orhan Karatas, Sebastian Bothe, Marc Keggenhoff

38 Mathematics meet Snowsports
Kräftewirkung

39 Inhaltsverzeichnis Zentrifugal- & Zentripetalkraft Definition
Gewichtskraft Hangabtriebskraft Potentielle Energie Definition Beispiel Formeln

40 Zentrifugal- und Zentripetalkraft Definition
Zentrifugalkraft (Fliehkraft) Tritt in Drehbewegungen auf Wirkt nach außen Zentripetalkraft Wirkt nach innen Hält das Objekt in der Kreisbahn |Zentripetalkraft|=|Zentrifugalkraft|

41 Zentrifugal- und Zentripetalkraft Beispiel
FZF FZP M r

42 Zentrifugal- und Zentripetalkraft Formeln
FZ = (m * v²)/ r

43 Gewichtskraft Definition
Wirkt in Richtung des Erdkerns Ist dafür verantwortlich, dass Objekte auf der Erde bleiben und nicht wegfliegen Die Durchschnittliche Schwerebeschleunigung g beträgt 9,81m/s²

44 Gewichtskraft Beispiel
FAuftrieb G

45 Gewichtskraft Formeln
FG = m * g g = 9,81 m/s²

46 Hangabtriebskraft Definition
Eine Komponente der Gewichtskraft (Hangabtriebskraft + Normalkraft = Gewichtskraft) Ist auf einer schiefen Ebene hangabwärts gerichtet

47 Hangabtriebskraft Beispiel
Normalkraft FN Hangabtriebskraft FH Gewichtskraft FG

48 Hangabtriebskraft Formeln
FH = FG * sin(α) FN = FG * cos(α) FG = m * g

49 Potenzielle Energie Definition
Energie, die ein Objekt durch seine Position oder Lage in z.B. einem Gravitationsfeld erhält. Bezugspunkt: Erdoberfläche

50 Potenzielle Energie Beispiel
Höhendifferenz

51 Potenzielle Energie Formeln
V = m * g * h V = Potenzielle Energie

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53 M. Nocke, A. Rasseck, B. Westerkofort, T. Wunderlich
Geschwindigkeit M. Nocke, A. Rasseck, B. Westerkofort, T. Wunderlich

54 Formelzeichen: [n] = Geschwindigkeit [s] = Strecke [t] = Zeit Formel:

55 Inhaltsangabe Momentangeschwindigkeit Durchschnittsgeschwindigkeit
Beschleunigung Lawinen

56 Momentangeschwindigkeit
Formelzeichen [v] = Geschwindigkeit [s] = Weg [t] = Zeit Momentangeschwindigkeit Formel: Beschreibung: Die Momentangeschwindigkeit beschreibt den Grenzwert der mittleren Geschwindigkeit für Dt gegen 0.

57 Durchschnittsgeschwindigkeit
Formelzeichen: [v] = Geschwindigkeit [s] = Weg [t] = Zeit Formel: Beschreibung: Die Durchschnittsgeschwindigkeit beschreibt die Mittelgeschwindigkeit aus allen auf einer Strecke gemessenen Geschwindigkeiten.

58 Beschleunigung Beschleunigung Formel: Formelzeichen:
[a] = Beschleunigung [s] = Weg [t] = Zeit Formelzeichen: [a] = Beschleunigung [v] = Geschwindigkeit [t] = Zeit Formel: Beschreibung: Wenn wir vom Stillstand des Objektes ausgehen, ist die Zeit t=0. So müssen wir den zurückgelegten Weg durch die benötigte Zeit berechnen. Beschreibung: Bei der Beschleunigung in einer Bewegung verändert sich vom Punkt v1 auf v2. Diese Änderung geschieht in der Zeit zwischen t1 und t2.

59 Lawinen Ausgangspunkt Bewegungsgebiet Flächige o. in
- Hangneigung von ca. 30 – 50° Punktförmiger Anriss ->Lockerschneelawine Linienförmiger Anriss ->Schneebrettlawine Bewegungsgebiet Flächige o. in Runsen konzentriert Faktoren f. Lawinen allg. : - Neuschnee - Viel Schneefall in kurzer Zeit - Hangneigung - Bodenbedeckung - Hanglage Auslaufzone - Stillstandzone - Unter 20° - Länge d. Auslauf- zone hängt von d. Lawine ab

60 Lawinenarten Schneebrettlawine Lockerschneelawine

61 Ende Danke für Ihre Aufmerksamkeit

62 Institut für Erziehungswissenschaft
Impressum Die Projektwoche „Mathematics meets Snowsports“ wurde entwickelt von Verena Scharmacher und Daniel Gersmeier Die wissenschaftliche Begleitung dieses Projekts erfolgt durch Prof. Dr. F. Stuber von der Fachhochschule Münster und Dr. C. Keller von der Westfälischen Wilhelms-Universität Münster. Institut für Erziehungswissenschaft