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Raumkurven und Schnitte Ein Plädoyer für Funktionales Denken in der Raumgeometrie Matthias Ludwig PH Weingarten.

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Präsentation zum Thema: "Raumkurven und Schnitte Ein Plädoyer für Funktionales Denken in der Raumgeometrie Matthias Ludwig PH Weingarten."—  Präsentation transkript:

1 Raumkurven und Schnitte Ein Plädoyer für Funktionales Denken in der Raumgeometrie Matthias Ludwig PH Weingarten

2 Matthias Ludwig Bestandsaufnahme Funktionen fast nur eindimensional Formeln als Funktionen in der Raumgeometrie Kaum dynamische Prozesse Keine Bewegungen in der Raumgeometrie Viel Potential vorhanden

3 PH Weingarten Matthias Ludwig Einführung Funktionales Denken => Algebra Bekannte Beispiele aus der Raumgeometrie Die Füllkurven

4 PH Weingarten Matthias Ludwig Füllkurven

5 PH Weingarten Matthias Ludwig Füllkurven V V h h

6 PH Weingarten Matthias Ludwig Füllkurven V V h h

7 PH Weingarten Matthias Ludwig Sektglas und Eiskugel Wie voll muss ein kegelförmiges Sektglas gefüllt werden, damit es halb voll ist? (50%, 66%, 73%, 79%, 85%) Um wie viel Prozent muss der Radius der Eiskugel zunehmen, damit ein fairer Eisverkäufer den doppelten Preis verlangen kann? (16%, 26%, 36%, 41%, 50%, 100%)

8 PH Weingarten Matthias Ludwig Sektglas und Eiskugel Erstaunen!? Beide Volumenformeln kann man in Abhängigkeit einer Größe (Höhe oder Radius) darstellen.

9 PH Weingarten Matthias Ludwig Sektglas und Eiskugel Eiskugel Sektglas Funktionales Argumentieren Vollrath 1989

10 PH Weingarten Matthias Ludwig TRaumkurven

11 PH Weingarten Matthias Ludwig TRaumkurven

12 PH Weingarten Matthias Ludwig TRaumkurven

13 PH Weingarten Matthias Ludwig TRaumkurven

14 PH Weingarten Matthias Ludwig TRaumkurven

15 PH Weingarten Matthias Ludwig TRaumkurven

16 PH Weingarten Matthias Ludwig TRaumkurven Für jeden Punkt auf der Rotationsfläche gilt: x 2 +y 2 =r(z) 2 Der Radius r hängt also von der Höhe z ab. Der Graph von r(z) beschreibt die Kurve welche die Rotationsfläche erzeugt. Im Falle der Parabel ist es eine Wurzel.

17 PH Weingarten Matthias Ludwig TRaumkurven Der Kehrwert von a gibt die Anzahl der Umschlingungen pro Periode an.

18 PH Weingarten Matthias Ludwig TRaumkurven

19 PH Weingarten Matthias Ludwig TRaumkurven Erzeugungsweise durch Überlagerung Es bewegt sich ein Punkt auf der Kurve welche die Rotationsfläche erzeugt. Durch Superposition der beiden Bewegungen erhält man die Raumkurve.

20 PH Weingarten Matthias Ludwig TRaumkurven

21 PH Weingarten Matthias Ludwig TRaumkurven

22 PH Weingarten Matthias Ludwig TRaumkurven

23 PH Weingarten Matthias Ludwig Formen als Funktionswerte Idee des Beweglichen Denkens (Roth 2002) Im zweidimensionalen Raum erhält man Ortslinien oder neue Kurven (Weth 1997) Im dreidimensionalen Raum kann man Ebenen durch Körper drehen und gleiten lassen. Je nach Schnittwinkel erhält man unterschiedlich geformte Schnittflächen.

24 PH Weingarten Matthias Ludwig Die Kegelschnitte Sicher das berühmteste Beispiel Als Funktionswerte in Abhängigkeit des Schnittwinkels erhält man geoemtrische Formen bzw. algebraische Kurven.

25 PH Weingarten Matthias Ludwig Die Kegelschnitte

26 PH Weingarten Matthias Ludwig Die Würfelschnitte von Max Bill Ein Würfel wird durch Schnitte mit einer Ebene in kongruente Teilkörper zerlegt bzw. halbiert. Je nach Schnittwinkel erhält man verschiedene Schnittflächen. Welche?

27 PH Weingarten Matthias Ludwig Die Würfelschnitte von Max Bill

28 PH Weingarten Matthias Ludwig Die Würfelschnitte von Max Bill

29 PH Weingarten Matthias Ludwig Stetige Würfelschnitte

30 PH Weingarten Matthias Ludwig Stetige Würfelschnitte

31 PH Weingarten Matthias Ludwig Eine Würfelschnittfunktion

32 PH Weingarten Matthias Ludwig Eine Würfelschnittfunktion

33 PH Weingarten Matthias Ludwig Eine Würfelschnittfunktion

34 PH Weingarten Matthias Ludwig Eine Würfelschnittfunktion

35 PH Weingarten Matthias Ludwig Tetraederschnitte über funktionales Denken zu einer genialen Verpackung Welche Schnittflächen können bei einem Tetraeder auftreten? –Dreiecke –Spezielle Vierecke

36 PH Weingarten Matthias Ludwig Tetraederschnitte

37 PH Weingarten Matthias Ludwig Tetraederschnitte

38 PH Weingarten Matthias Ludwig Tetraederschnitte Mögliche Fragestellungen: –Wie verändert sich der Flächeninhalt der Schnittfläche in Abhängigkeit der Schnitthöhe? –Wie verändert sich der Umfang des Rechtecks in Abhängigkeit der Schnitthöhe?

39 PH Weingarten Matthias Ludwig Tetraederschnitte Wie verändert sich der Umfang des Rechtecks in Abhängigkeit der Schnitthöhe? Antwort: Er ändert sich gar nicht. Der Umfang ist eine Konstante. U=2s

40 PH Weingarten Matthias Ludwig Tetraederschnitte

41 PH Weingarten Matthias Ludwig Tetraederschnitte

42 PH Weingarten Matthias Ludwig Tetraederschnitte 2s

43 PH Weingarten Matthias Ludwig Anwendung im Alltag

44 PH Weingarten Matthias Ludwig Anwendung im Alltag

45 PH Weingarten Matthias Ludwig Anwendung im Alltag

46 PH Weingarten Matthias Ludwig Vorläufiger Abschluss Durch Funktionen Situationen erfassen und beherrschen ist nach Vollrath ein wichtiges Ziel auf dem Weg zum Funktionalen Denken. Ein letztes Beispiel:

47 PH Weingarten Matthias Ludwig Traumschnitte vom Dodekaeder zum großen Dodekaeder

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61 PH Weingarten Matthias Ludwig Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit Für weitere Fragen und Informationen mathematik.ph-weingarten.de/~ludwig


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