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Matthias Ludwig PH Weingarten
Raumkurven und Schnitte Ein Plädoyer für Funktionales Denken in der Raumgeometrie Matthias Ludwig PH Weingarten
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Bestandsaufnahme Funktionen fast nur eindimensional
Formeln als Funktionen in der Raumgeometrie Kaum dynamische Prozesse Keine Bewegungen in der Raumgeometrie Viel Potential vorhanden Matthias Ludwig
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Einführung Funktionales Denken => Algebra
Bekannte Beispiele aus der Raumgeometrie Die Füllkurven Matthias Ludwig
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Füllkurven Matthias Ludwig
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Füllkurven V h V h Matthias Ludwig
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Füllkurven V h V h Matthias Ludwig
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Sektglas und Eiskugel Wie voll muss ein kegelförmiges Sektglas gefüllt werden, damit es halb voll ist? (50%, 66%, 73%, 79%, 85%) Um wie viel Prozent muss der Radius der Eiskugel zunehmen, damit ein fairer Eisverkäufer den doppelten Preis verlangen kann? (16%, 26%, 36%, 41%, 50%, 100%) Matthias Ludwig
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Sektglas und Eiskugel Erstaunen!?
Beide Volumenformeln kann man in Abhängigkeit einer Größe (Höhe oder Radius) darstellen. Matthias Ludwig
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Sektglas und Eiskugel Funktionales Argumentieren Vollrath 1989
Matthias Ludwig
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TRaumkurven Matthias Ludwig
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TRaumkurven Matthias Ludwig
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TRaumkurven Matthias Ludwig
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TRaumkurven Matthias Ludwig
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TRaumkurven Matthias Ludwig
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TRaumkurven Matthias Ludwig
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TRaumkurven Für jeden Punkt auf der Rotationsfläche gilt: x2+y2=r(z)2
Der Radius r hängt also von der Höhe z ab. Der Graph von r(z) beschreibt die Kurve welche die Rotationsfläche erzeugt. Im Falle der Parabel ist es eine Wurzel. Matthias Ludwig
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TRaumkurven Der Kehrwert von a gibt die Anzahl der Umschlingungen pro Periode an. Matthias Ludwig
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TRaumkurven Matthias Ludwig
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TRaumkurven Erzeugungsweise durch Überlagerung
Es bewegt sich ein Punkt auf der Kurve welche die Rotationsfläche erzeugt. Durch Superposition der beiden Bewegungen erhält man die Raumkurve. Matthias Ludwig
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TRaumkurven Matthias Ludwig
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TRaumkurven Matthias Ludwig
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TRaumkurven Matthias Ludwig
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Formen als Funktionswerte
Idee des Beweglichen Denkens (Roth 2002) Im zweidimensionalen Raum erhält man Ortslinien oder „neue Kurven (Weth 1997) Im dreidimensionalen Raum kann man Ebenen durch Körper drehen und gleiten lassen. Je nach Schnittwinkel erhält man unterschiedlich geformte Schnittflächen. Matthias Ludwig
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Die Kegelschnitte Sicher das berühmteste Beispiel
Als Funktionswerte in Abhängigkeit des Schnittwinkels erhält man geoemtrische Formen bzw. algebraische Kurven. Matthias Ludwig
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Die Kegelschnitte Matthias Ludwig
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Die Würfelschnitte von Max Bill
Ein Würfel wird durch Schnitte mit einer Ebene in kongruente Teilkörper zerlegt bzw. halbiert. Je nach Schnittwinkel erhält man verschiedene Schnittflächen. Welche? Matthias Ludwig
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Die Würfelschnitte von Max Bill
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Die Würfelschnitte von Max Bill
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Stetige Würfelschnitte
Matthias Ludwig
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Stetige Würfelschnitte
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Eine Würfelschnittfunktion
Matthias Ludwig
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Eine Würfelschnittfunktion
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Eine Würfelschnittfunktion
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Eine Würfelschnittfunktion
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Tetraederschnitte über funktionales Denken zu einer genialen Verpackung
Welche Schnittflächen können bei einem Tetraeder auftreten? Dreiecke Spezielle Vierecke Matthias Ludwig
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Tetraederschnitte Matthias Ludwig
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Tetraederschnitte Matthias Ludwig
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Tetraederschnitte Mögliche Fragestellungen:
Wie verändert sich der Flächeninhalt der Schnittfläche in Abhängigkeit der Schnitthöhe? Wie verändert sich der Umfang des Rechtecks in Abhängigkeit der Schnitthöhe? Matthias Ludwig
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Tetraederschnitte Wie verändert sich der Umfang des Rechtecks in Abhängigkeit der Schnitthöhe? Antwort: Er ändert sich gar nicht. Der Umfang ist eine Konstante. U=2s Matthias Ludwig
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Tetraederschnitte Matthias Ludwig
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Tetraederschnitte Matthias Ludwig
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Tetraederschnitte 2s Matthias Ludwig
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Anwendung im Alltag Matthias Ludwig
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Anwendung im Alltag Matthias Ludwig
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Anwendung im Alltag Matthias Ludwig
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Vorläufiger Abschluss
Durch Funktionen Situationen erfassen und beherrschen ist nach Vollrath ein wichtiges Ziel auf dem Weg zum Funktionalen Denken. Ein letztes Beispiel: Matthias Ludwig
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Traumschnitte vom Dodekaeder zum großen Dodekaeder
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Matthias Ludwig
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Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit
Für weitere Fragen und Informationen mathematik.ph-weingarten.de/~ludwig Matthias Ludwig
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