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Matthias Ludwig PH Weingarten

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Präsentation zum Thema: "Matthias Ludwig PH Weingarten"—  Präsentation transkript:

1 Matthias Ludwig PH Weingarten
Raumkurven und Schnitte Ein Plädoyer für Funktionales Denken in der Raumgeometrie Matthias Ludwig PH Weingarten

2 Bestandsaufnahme Funktionen fast nur eindimensional
Formeln als Funktionen in der Raumgeometrie Kaum dynamische Prozesse Keine Bewegungen in der Raumgeometrie Viel Potential vorhanden Matthias Ludwig

3 Einführung Funktionales Denken => Algebra
Bekannte Beispiele aus der Raumgeometrie Die Füllkurven Matthias Ludwig

4 Füllkurven Matthias Ludwig

5 Füllkurven V h V h Matthias Ludwig

6 Füllkurven V h V h Matthias Ludwig

7 Sektglas und Eiskugel Wie voll muss ein kegelförmiges Sektglas gefüllt werden, damit es halb voll ist? (50%, 66%, 73%, 79%, 85%) Um wie viel Prozent muss der Radius der Eiskugel zunehmen, damit ein fairer Eisverkäufer den doppelten Preis verlangen kann? (16%, 26%, 36%, 41%, 50%, 100%) Matthias Ludwig

8 Sektglas und Eiskugel Erstaunen!?
Beide Volumenformeln kann man in Abhängigkeit einer Größe (Höhe oder Radius) darstellen. Matthias Ludwig

9 Sektglas und Eiskugel Funktionales Argumentieren Vollrath 1989
Matthias Ludwig

10 TRaumkurven Matthias Ludwig

11 TRaumkurven Matthias Ludwig

12 TRaumkurven Matthias Ludwig

13 TRaumkurven Matthias Ludwig

14 TRaumkurven Matthias Ludwig

15 TRaumkurven Matthias Ludwig

16 TRaumkurven Für jeden Punkt auf der Rotationsfläche gilt: x2+y2=r(z)2
Der Radius r hängt also von der Höhe z ab. Der Graph von r(z) beschreibt die Kurve welche die Rotationsfläche erzeugt. Im Falle der Parabel ist es eine Wurzel. Matthias Ludwig

17 TRaumkurven Der Kehrwert von a gibt die Anzahl der Umschlingungen pro Periode an. Matthias Ludwig

18 TRaumkurven Matthias Ludwig

19 TRaumkurven Erzeugungsweise durch Überlagerung
Es bewegt sich ein Punkt auf der Kurve welche die Rotationsfläche erzeugt. Durch Superposition der beiden Bewegungen erhält man die Raumkurve. Matthias Ludwig

20 TRaumkurven Matthias Ludwig

21 TRaumkurven Matthias Ludwig

22 TRaumkurven Matthias Ludwig

23 Formen als Funktionswerte
Idee des Beweglichen Denkens (Roth 2002) Im zweidimensionalen Raum erhält man Ortslinien oder „neue Kurven (Weth 1997) Im dreidimensionalen Raum kann man Ebenen durch Körper drehen und gleiten lassen. Je nach Schnittwinkel erhält man unterschiedlich geformte Schnittflächen. Matthias Ludwig

24 Die Kegelschnitte Sicher das berühmteste Beispiel
Als Funktionswerte in Abhängigkeit des Schnittwinkels erhält man geoemtrische Formen bzw. algebraische Kurven. Matthias Ludwig

25 Die Kegelschnitte Matthias Ludwig

26 Die Würfelschnitte von Max Bill
Ein Würfel wird durch Schnitte mit einer Ebene in kongruente Teilkörper zerlegt bzw. halbiert. Je nach Schnittwinkel erhält man verschiedene Schnittflächen. Welche? Matthias Ludwig

27 Die Würfelschnitte von Max Bill
Matthias Ludwig

28 Die Würfelschnitte von Max Bill
Matthias Ludwig

29 Stetige Würfelschnitte
Matthias Ludwig

30 Stetige Würfelschnitte
Matthias Ludwig

31 Eine Würfelschnittfunktion
Matthias Ludwig

32 Eine Würfelschnittfunktion
Matthias Ludwig

33 Eine Würfelschnittfunktion
Matthias Ludwig

34 Eine Würfelschnittfunktion
Matthias Ludwig

35 Tetraederschnitte über funktionales Denken zu einer genialen Verpackung
Welche Schnittflächen können bei einem Tetraeder auftreten? Dreiecke Spezielle Vierecke Matthias Ludwig

36 Tetraederschnitte Matthias Ludwig

37 Tetraederschnitte Matthias Ludwig

38 Tetraederschnitte Mögliche Fragestellungen:
Wie verändert sich der Flächeninhalt der Schnittfläche in Abhängigkeit der Schnitthöhe? Wie verändert sich der Umfang des Rechtecks in Abhängigkeit der Schnitthöhe? Matthias Ludwig

39 Tetraederschnitte Wie verändert sich der Umfang des Rechtecks in Abhängigkeit der Schnitthöhe? Antwort: Er ändert sich gar nicht. Der Umfang ist eine Konstante. U=2s Matthias Ludwig

40 Tetraederschnitte Matthias Ludwig

41 Tetraederschnitte Matthias Ludwig

42 Tetraederschnitte 2s Matthias Ludwig

43 Anwendung im Alltag Matthias Ludwig

44 Anwendung im Alltag Matthias Ludwig

45 Anwendung im Alltag Matthias Ludwig

46 Vorläufiger Abschluss
Durch Funktionen Situationen erfassen und beherrschen ist nach Vollrath ein wichtiges Ziel auf dem Weg zum Funktionalen Denken. Ein letztes Beispiel: Matthias Ludwig

47 Traumschnitte vom Dodekaeder zum großen Dodekaeder
Matthias Ludwig

48 Matthias Ludwig

49 Matthias Ludwig

50 Matthias Ludwig

51 Matthias Ludwig

52 Matthias Ludwig

53 Matthias Ludwig

54 Matthias Ludwig

55 Matthias Ludwig

56 Matthias Ludwig

57 Matthias Ludwig

58 Matthias Ludwig

59 Matthias Ludwig

60 Matthias Ludwig

61 Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit
Für weitere Fragen und Informationen mathematik.ph-weingarten.de/~ludwig Matthias Ludwig


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