Die Präsentation wird geladen. Bitte warten

Die Präsentation wird geladen. Bitte warten

Helwig Hauser Teil 2: Kurven und Flächen Parametrische Objekte.

Ähnliche Präsentationen


Präsentation zum Thema: "Helwig Hauser Teil 2: Kurven und Flächen Parametrische Objekte."—  Präsentation transkript:

1 Helwig Hauser Teil 2: Kurven und Flächen Parametrische Objekte

2 Helwig Hauser Teil 2: Kurven und Flächen Kurven und Flächen Kurven: 1D-Objekte Flächen: 2D-Objekte, basierend auf Kurven

3 Helwig Hauser Teil 2: Kurven und Flächen Kurven Welche Form der Darstellung? Beispiel: 2D-Linie Explizit:y = k·x + d x = (x, y) T Implzit:a·x + b·y + c = 0 auch:x·n = p·n n = (a, b) T p·n = – c Parametrisch:x(t) = p + t·v v·n = 0

4 Helwig Hauser Teil 2: Kurven und Flächen Definition: x(t) – Punktdef. in Abh. von kontinuierlichen Parameter t x(t) & t [a,b] parametrische Kurve Startpunkt x(a), Endpunkt x(b) Beispiel: x(t) = p + t·v (Linie) Tangente in x(t): x(t) = d x(t) / d t = Ableitung von x nach t Beispiel: x(t) = v (Tangentenvektor) Parametrische Kurven (1)..

5 Helwig Hauser Teil 2: Kurven und Flächen Parametrische Kurven (2) 2 Stetigkeitsqualitäten: mathematisch: x(t) restriktiver geometrisch: x(t) / | x(t) |schwächer Attribute höherer Ordnung: Krümmung Torsion...

6 Helwig Hauser Teil 2: Kurven und Flächen Arten von Kurven Interpolierende Kurven: Kurve geht durch vorgegebene Punkte p i Approximierende Kurven: Kurve wird von Punkten p i beeinflußt

7 Helwig Hauser Teil 2: Kurven und Flächen Attribute von Kurven Kurvenpunkte: Startpunkt, Endpunkt Kurvenevaluation Tangenten: Startrichtung, Endrichtung Tangenten an beliebigen Kurvenpunkt Stetigkeit: geometrisch, mathematisch Grad: Differenzierbarkeit, smoothness

8 Helwig Hauser Teil 2: Kurven und Flächen Spline-Kurven: Stetigkeiten (a) C 0 -Stetigkeit (b) C 1 -Stetigkeit (c) C 2 -Stetigkeit

9 Helwig Hauser Teil 2: Kurven und Flächen Polynominterpolation Gegeben: Anzahl von Punkten Gesucht: Interpolierendes Polynom p(x) = a + b·x + c·x 2 + … + q·x n 2 Punkte – Linie: n = 1 3 Punkte – Quadratisch Kurve: n = 2 Berechung: Lösung eines linearen Gleichungssystems Beurteilung: Überschwingen ( ), nur gut, wenn n klein

10 Helwig Hauser Teil 2: Kurven und Flächen Spline-Kurven (1) Kombination aus Teilkurven Kontrollpunkte werden: approximiert interpoliert Einfluß der Kontrollpunkte: global: Bézier-Kurve lokal: B-Spline-Kurve Unterschiedlicher Grad

11 Helwig Hauser Teil 2: Kurven und Flächen Spline-Kurven: Beispiele 2 Bsp. f. kubische Spline- Kurven

12 Helwig Hauser Teil 2: Kurven und Flächen Spline-Kurven (2) Ansatz: Zusätzlich zu Kontrollpunkten b i auch: Einflußfunktionen: Basis-Funktionen B i,n Definition: b(t) = 0 i n b i ·B i,n (t) Beispiel: Bernstein-Polynome (Bézier-Kurve)

13 Helwig Hauser Teil 2: Kurven und Flächen Spline - convex hull property Kurve bleibt i. d. konvexen Hülle

14 Helwig Hauser Teil 2: Kurven und Flächen Bézier-Kurven (1) Spline-Approximation: Bernstein Polynome: b(t) = 0 i n b i B i,n (t) 0 t 1

15 Helwig Hauser Teil 2: Kurven und Flächen Kubische Bézier-Kurven – Bernsteinpolynome

16 Helwig Hauser Teil 2: Kurven und Flächen Bézier-Kurven: Beispiel

17 Helwig Hauser Teil 2: Kurven und Flächen Bézier-Kurven (2) Design mit Bézier-Kurven: closed Bézier curves multiple control points

18 Helwig Hauser Teil 2: Kurven und Flächen Bézier-Kurven (3) Design mit Bézier-Kurven Bézier verbinden (C 0, C 1 Stetigkeit)

19 Helwig Hauser Teil 2: Kurven und Flächen Bézier-Kurve: Algorithmen De Casteljau-Algorithmus: Evaluation bei Parameter t Rekursiver Ansatz Degree elevation: Mehr Kontrollpunkte, selbe Kurve Subdivision: Teilung der Kurve, bzw. Kurvenevaluation

20 Helwig Hauser Teil 2: Kurven und Flächen Nächste Stufe: B-Spline Kurven Bézier-Kurven: globaler Einfluß Brauchbarer: B-Spline Kurven: Jeder Kontrollpunkt hat nur lokalen Einfluß Grad unabhängig von Anzahl der Pkte. Rationale Kurven: Erweiterung von Bézier-Kurven und B-Spline Kurven Ein Gewicht pro Kontrollpunkt NURBS = Standard in CAD, CAGD, etc.

21 Helwig Hauser Teil 2: Kurven und Flächen Bézier-Patch (1) Kartesisches Produkt v. Bézier-Kurven (m+1)x(n+1) Kontrollpunkte

22 Helwig Hauser Teil 2: Kurven und Flächen Bézier-Patch (2) Eigenschaften wie Bézier-Kurve

23 Helwig Hauser Teil 2: Kurven und Flächen Quadric Surfaces (1) Definition quadrics: Gleichung 2-ter Ordnung Beispiel: Kugel

24 Helwig Hauser Teil 2: Kurven und Flächen Quadric Surfaces (2) 2. Beispiel: Ellipsoid

25 Helwig Hauser Teil 2: Kurven und Flächen Quadric Surfaces (3) 3. Beispiel: Torus


Herunterladen ppt "Helwig Hauser Teil 2: Kurven und Flächen Parametrische Objekte."

Ähnliche Präsentationen


Google-Anzeigen