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1 Bézier-Bernstein Methoden für Bivariate Polynome Mathias Grieser Murat Deniz 29.09.2011 Lehrstuhl für Mathematik IVApproximationstheorie G. Nürnberger,

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1 1 Bézier-Bernstein Methoden für Bivariate Polynome Mathias Grieser Murat Deniz Lehrstuhl für Mathematik IVApproximationstheorie G. Nürnberger, M. Matt, G. Schneider Seminar HWS 2011

2 2 Bézier-Bernstein Methoden für Bivariate Polynome Inhaltsverzeichnis 1.Baryzentrische Koordinaten 2.Bernstein Basis Polynome 3.Die Bézier-Bernstein Darstellung 4.Stabilität der BB-Darstellung 5.Der deCasteljau Algorithmus 6.Richtungsableitung 7.Ableitung an einem Eckpunkt 8.Kreuzableitung auf einer Kante 9.Stetigkeit und stetige Differenzierbarkeit 10.Unterteilung/Basiswechsel

3 3 1. Baryzentrische Koordinaten Seien v i := (x i ; y i ), i = 1, 2, 3 Punkte in ² und sei T := ein Dreieck mit den Ecken v 1, v 2, v 3 Lemma 1.1: Jeder Punkt v := (x, y) є ² lässt sich in der Form v = b 1 v 1 + b 2 v 2 + b 3 v 3 mit 1 = b 1 + b 2 + b 3 darstellen. b 1, b 2, b 3 werden als baryzentrische Koordinaten des Punkts v bzgl. des Dreiecks T bezeichnet.

4 4 1. Baryzentrische Koordinaten =: M Dies ist gleichbedeutend mit folgender Matrix b 1 1 x 1 x 2 x 3 b 2 = x y 1 y 2 y 3 b 3 y Durch lösen dieses LGS oder durch die Formel (b 2, b 3 analog) det x x 2 x 3 y y 2 y 3 b 1 = det (M) erhält man die baryzentrischen Koordinaten.

5 5 1. Baryzentrische Koordinaten Sei T ein Dreieck mit Eckpunkten v 1, v 2 und v 3. Dann besitzen die baryzentrischen Koordinaten an den Eckpunkten folgende Werte: am Punkt v 1 am Punkt v 2 am Punkt v 3 b 1 = 1 b 1 = 0 b 1 = 0 b 2 = 0 b 2 = 1 b 2 = 0 b 3 = 0 b 3 = 0 b 3 = 1 Abb. 1: baryzentrische Koordinaten an den Punkten v 1, v 2, v 3

6 6 2. Bernstein Basis Polynome Definition 2.1 Die Bernstein Basis Polynome sind B d ijk := wobei i,j,k є 0 Rekursionsformel: B d ijk := b 1 B d-1 i-1,j,k + b 2 B d-1 i,j-1,k + b 3 B d-1 i,j,k-1 i+j+k=d > 0 wobei B = 1 gilt und die Bernstein Polynome gleich 0 sind, falls mindestens eines der Indizes negativ ist. Beispiel: B d d00 := b 1 B d-1 d-1,0,0 + b 2 B d-1 d,-1,k + b 3 B d-1 d,0,-1 = b 1 B d-1 d-1,0,0 d! i! j! k! b i 1 b j 2 b k 3,i+j+k = d

7 7 2. Bernstein Basis Polynome Eigenschaften: Partition der Eins: B d ijk (v) = 1für alle v є ² Nicht-Negativität: B d ijk (v) 0 für alle i+j+k = d v є T Basis: B d := {B d ijk } i+j+k=d Dimension: dim B d = d+2 2 i+j+k = d

8 8 3. Die Bézier-Bernstein Darstellung Bézier - Bernstein Darstellung (BB-Darstellung): p = c ijk B d ijk wobei B d ijk die Bernstein Basis Polynome sind und c ijk als Bézier-Bernstein-Koeffizienten (BB-Koeffizienten) bezeichnet werden. Notation: Sei T := ein Dreieck, wobei v 1, v 2, v 3 die Eckpunkten sind und d sei der Grad des Polynoms p auf diesem Dreieck. Dann korrespondiert der Eckpunkt v 1 mit dem Koeffizient c d00, der Eckpunkt v 2 mit dem Koeffizient c 0d0 und der Eckpunkt v 3 mit dem Koeffizient c 00d i+j+k = d

9 9 Bézier-Bernstein-Punkte (BB-Punkte): Die BB-Punkte ξ ijk є ² lassen sich folgendermaßen bestimmen: D d,T := { ξ ijk := (iv 1 + jv 2 + kv 3 )/ d} i+j+k=d Zusammen mit den Bézier-Bernstein-Koeffizienten c ijk є bilden sie die Kontrollpunkte von p. Wichtig: Die BB-Punkte bilden eine Interpolationslage für das Polynom p 3. Die Bézier-Bernstein Darstellung

10 10 Beispiel für d = 3: Abb. 3: BB-Koeffizienten Abb. 2: BB-Punkte dim B³ = = = 10 Im weiteren Verlauf werden die Koeffizienten aus Abb. 3 so wie in Abb. 4 dargestellt Abb. 4: BB-Koeffizienten(vereinfacht) d Die Bernstein - Bézier Form

11 11 Der Graph eines Polynoms p verläuft innerhalb der konvexen Hülle dieser Kontrollpunkte Abb. 5: konvexe Hülle der Kontrollpunkte im univariaten Fall 4. Stabilität der BB-Darstellung

12 12 Sei c := max |c ijk | dann gilt folgender Satz: Satz 4.1: Sei p ein Polynom in BB-Darstellung mit Koeffizientenvektor c. Dann gilt: p T c Dies bedeutet, dass die Werte des Polynoms p nie größer sein können, als der größte Koeffizient der BB-Darstellung 4. Stabilität der BB-Darstellung i+j+k = d

13 13 5. Der deCasteljau Algorithmus Satz 5.1: Sei p ein Polynom in BB-Darstellung mit Koeffizienten c (0) ijk := c ijk i+j+k = d v besitzt die baryzentrischen Koordinaten b := (b 1. b 2, b 3 ) und für = 1,...,d gilt c () ijk := b 1 c (-1) i+1,j,k + b 2 c (-1) i,j+1,k + b 3 c (-1) i,j,k+1 für i+j+k = d - Dann gilt p(v) = c () ijk B d- ijk (v) für alle 0 d und p(v) = c (d) 000 i+j+k = d -

14 14 Abb. 6: de Casteljau Algorithmus Abbildung 6 zeigt den Algorithmus für d = 2 Beispiel für = 1: c (1) 100 := b 1 c (0) 2,0,0 + b 2 c (0) 1,1,0 + b 3 c (0) 1,0,1 wobei c (0) ijk := c ijk 5. Der deCasteljau Algorithmus = 0 = 1 = 2

15 15 6. Richtungsableitung Wichtige Notationen: Ring R T m (v 1 ): Sei 0 m d. Dann ist der Ring R T m (v 1 ) wie folgt definiert: R T m (v 1 ) := { ξ d-m, j, m-j } m j=0 wobei die ξ die BB-Punkte sind. Der Ring beinhaltet alle Punkte, die auf dem Rand des Radius m um den Punkt v 1 liegen. (R T m (v 2 ), R T m (v 3 ) analog) Scheibe D T m (v 1 ): Sei 0 m d. Dann ist die Scheibe D T m (v) wie folgt definiert: D T m (v 1 ) := m n=0 R T m (v) Sie beinhaltet alle Punkte die auf dem Rand und innerhalb des Radius m um den Punkt v 1 liegen. (D T m (v 2 ), D T m (v 3 ) analog) Achtung: Verwechsel die Notation der Scheibe D T m nicht mit der Notation der Ableitung D u, die auf den folgenden Folien definiert wird!

16 16 Veranschaulichung: Gegeben sei eine Triangulierung der Dreiecke T 1, T 2, T 3, T 4, T 5 mit gemeinsamen Punkt v. R T 1 (v) ist der Ring, der alle Punkte auf dem Radius 1 um v enthält. R T 2 (v) ist der Ring, der alle Punkte auf dem Radius 2 um v enthält. R T 3 (v) ist der Ring, der alle Punkte auf dem Radius 3 um v enthält. Die Scheibe D T 3 (v) enthält alle Punkte von R T 1 (v), R T 2 (v) und R T 3 (v) 6. Richtungsableitung T1T1 T2T2 T3T3 T4T4 T5T5 v Abb. 7: Triangulierung von T 1, T 2, T 3, T 4, T 5

17 17 6. Richtungsableitung In diesem Abschnitt sei v ein Punkt in ² und u ein Vektor. Jeder Punkt v ist eindeutig bestimmt durch seine baryzentrische Koordinaten b 1, b 2 und b 3. Außerdem wird jeder Vektor u := w - ŵ durch ein Tripel (a 1, a 2, a 3 ) bestimmt. Dabei ist a i := α i – β i,i = 1, 2, 3, wobei (α 1, α 2, α 3 ) und (β 1, β 2, β 3 ) die baryzentrischen Koordinaten der zwei Punkte w und ŵ sind. Beachte, dass die Summe des Tripels (a 1, a 2, a 3 ) sich zu 0 summieren. (a 1, a 2, a 3 ) werden als Richtungskoordinaten von u bezeichnet.

18 18 Lemma 6.1: Sei u ein Vektor mit Richtungskoordinaten (a 1, a 2, a 3 ). Dann ist für jedes i+j+k = d D u B d ijk := d [a 1 B d-1 i-1,j,k + a 2 B d-1 i,j-1,k + a 3 B d-1 i,j,k-1 ] die Richtungsableitung der Bernstein-Polynome. Diese hängt nicht nur von der Richtung ab, sondern auch von der Länge des Vektors u. 6. Richtungsableitung

19 19 Satz 6.2: Sei p ein Polynom in BB-Darstellung bzgl. eines Dreiecks T und sei u ein Richtungsvektor, der durch das Tripel (a 1, a 2, a 3 ) beschrieben wird. Dann ist die Richtungsableitung an einem Punkt v von p in Richtung u gegeben durch: D u p(v) = d c (1) ijk (a)B d-1 ijk (v) wobei c (1) ijk (a) die Koeffizienten aus dem 1. Schritt des deCasteljau Algorithmus, basierend auf dem Tripel a, sind. Abb. 8: Richtungsableitung am Punkt v 6. Richtungsableitung i+j+k=d-1

20 20 Satz 6.3: Sei p ein Polynom in BB-Darstellung bzgl. eines Dreiecks T und sei u ein Richtungsvektor, der durch das Tripel (a 1, a 2, a 3 ) beschrieben wird. Dann gilt für 1 m d D m u p(v) = c (m) ijk (a)B d-m ijk (v) wobei c (m) ijk (a) die Koeffizienten aus dem m. Schritt des deCasteljau Algorithmus, basierend auf dem Tripel a, sind. Der Vorteil der BB-Polynome ist, dass wir für die Richtungsableitung mit m < d nicht alle Koeffizienten des deCasteljau-Algorithmus benötigen! 6. Richtungsableitung i+j+k=d-m d! (d-m)!

21 21 7. Ableitung an einem Eckpunkt Sei T wieder ein Dreieck mit den Eckpunkten v 1, v 2, v 3. Die Ableitung an dem Eckpunkt v 1 Richtung Eckpunkt v 2 und Richtung Eckpunkt v 3 ist beispielhaft wie folgt definiert: D m v2-v1 D n v3-v1 p(v 1 ) = (-1) i+j c d-i-j,i,j für beliebige 0 m+n d. Dabei liegen alle dieser Koeffizienten in der Scheibe D T m+n (v 1 ) Die Ableitungen an den Eckpunkten v 2 und v 3 oder die Ableitung in eine Richtung erfolgt analog. (-1) m+n d! (d-m-n)! m i n j i=0j=0 m n

22 22 D m v2-v1 D n v3-v1 p(v 1 ) = (-1) i+j c d-i-j,i,j Veranschaulichung für d = 3 und m, n = 1: D 1 v2-v1 D 1 v3-v1 p(v 1 ) = (-1) i+j c 3-i-j,i,j =6 (c 3,0,0 – c 2,0,1 – c 2,1,0 + c 1,1,1 ) Die benötigten Koeffizienten liegen alle auf der Scheibe D T 1+1 (v 1 ) = D T 2 (v 1 ). Der Vorteil der BB-Polynome ist, dass wir für eine Ableitung an einem Eckpunkt nicht alle Koeffizienten c ijk benötigen! 7. Ableitung an einem Eckpunkt (-1) m+n d! (d-m-n)! mn j=0i=0 m i n j (-1) 2 3! 1! 11 i=0 j=0 1 i 1 j i=0, j=0 i=0, j=1 i=1, j=0i=1, j=1

23 23 7. Ableitung an einem Eckpunkt Abb. 9: Ableitung am Eckpunkt v 1 Richtung v 2 und Richtung v 3 i = 0, j = 0i = 0, j = 1 i = 1, j = 0i = 1, j = 1 D T 2 (v 1 )

24 24 8. Kreuzableitung auf einer Kante Sei T wieder ein Dreieck mit den Eckpunkten v 1, v 2, v 3 und u sei ein Richtungsvektor, der nicht parallel zur Kante e := ist. Das Tripel a := (a 1, a 2, a 3 ) sind die Richtungskoordinaten von u. Dann ist die Kreuzableitung auf der Kante e definiert durch: D m u p(v) = c (m) 0jk (a)B d-m 0jk (v) wobei c (m) 0jk (a) die Koeffizienten aus dem m. Schritt des deCasteljau Algorithmus, basierend auf dem Tripel a, sind. Bei der Kreuzableitung muss mind. eine Komponente des Richtungsvektors parallel zur jeweiligen Kante, auf der abgeleitet wird, sein. j+k=d-m d! (d-m)!

25 25 Veranschaulichung für d = 3: Abb. 10: Kreuzableitung auf Kante für m = 0, 1, 2, 3 Wenn wir den Algorithmus betrachten, erkennen wir, dass wir nur die Koeffizienten c ijk mit 0 i m benötigen. Diese Koeffizienten korrespondieren mit den BB-Punkten, die auf e oder auf den nächsten m Reihen parallel zu e liegen. 8. Kreuzableitung auf einer Kante c 300 c 201 c 102 c 003 c 012 c 021 c 030 c 120 c 210 c 111 c [1] 200 c [1] 101 c [1] 002 c [1] 011 c [1] 020 c [1] 110 c [2] 100 c [2] 001 c [2] 010 c [3] 000 m = 0 m = 1 m = 2m = 3

26 26 9. Stetigkeit und stetige Differenzierbarkeit Satz 9.1: Seien T := und T := Dreiecke mit gleicher Kante e :=. Die Polynome auf den Dreiecken T und T seien p(v) = c ijk B d ijk (v) und p (v) = c ijk B d ijk (v) wobei B d ijk und B d ijk die Bernstein Basispolynome bzgl. T und T sind. Sei u eine beliebige Richtung, die nicht parallel zu e ist. Dann gilt D n u p(v) = D n u p(v) für alle v є e und n = 0, …, r nur wenn folgendes gilt c njk = c v,k+µ,j+K B n vµK (v 4 ),j+k = d-n n = 0, …, r. ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ i+j+k=d v+µ+K=n

27 27 Dies bedeutet, dass für Stetigkeit, also für n = 0, folgendes gilt: c 0jk = c 0,k,j,j+k = d Für stetige Differenzierbarkeit, also für n = 1, muss folgendes gelten: c 1jk = b 1 c 1,k,j + b 2 c 1,k+1,j + b 3 c 1,k,j+1,j+k = d-1 Veranschaulichung für d = 3: Für n = 0 stimmen die Koeffizienten von T mit den Koeffizienten von T auf der gemeinsamen Kante e überein 9. Stetigkeit und stetige Differenzierbarkeit ~ ~ c 300 c 201 c 102 c 003 c 030 c 021 c 012 c 111 c 120 c 210 c 300 c 210 c 120 c 111 c 102 c 201 ~ c 003 c 030 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ c 021 c 012 ~ ~ Abb. 11: Stetigkeit von T und T auf e ~ T T ~

28 28 Für n = 1 (Abb. 12) stehen die c 1jk von T in einer linearen Beziehung zu jeweils 3 Koeffizienten von T, d.h. sie liegen in einer Ebene 9. Stetigkeit und stetige Differenzierbarkeit c 201 c 102 c 003 c 030 c 021 c 012 c 111 c 120 c 210 c 300 c 210 c 120 c 111 c 102 c 201 ~ c 003 c 030 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ c 021 c 012 ~ ~ ~ c 300 Abb. 12: stetige Differenzier- barkeit von T und T auf e ~ c 300 c 201 c 102 c 003 c 030 c 021 c 012 c 111 c 120 c 210 c 300 c 210 c 120 c 111 c 102 c 201 ~ c 003 c 030 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ c 021 c 012 ~ T ~ T T ~ T Abb. 13: 2-fache stetige Differenzierbar- keit von T und T auf e ~ Für n = 2 (Abb. 13) stehen die c 2jk von T in einer quadratischen Beziehung zu jeweils 6 Koeffizienten von T ~ ~

29 29 9. Stetigkeit und stetige Differenzierbarkeit T1T1 T2T2 T3T3 T4T4 T5T5 v Gegeben sei eine Triangulierung der Dreiecke T 1, T 2, T 3, T 4, T 5 mit Polynomen p 1, p 2, p 3, p 4, p 5 und einem gemeinsamen Punkt v. Nur die Koeffizienten von T 1 mit den schwarzen Punkten seien bekannt und die restlichen Koeffizienten (weiße Punkte) seien unbekannt. Außerdem seien die Polynome am Punkt v 2-mal stetig Differenzierbar. Dann lassen sich die Koeffizienten, die sich auf und innerhalb der Scheibe D T 2 (v) befinden, anhand der bekannten Koeffizienten bestimmen. Abb. 14: Triangulierung von T 1, T 2, T 3, T 4, T 5

30 30 Lemma 9.2: Seien p und p Polynome auf den Dreiecken T und T mit C r (r-fache stetige Differenzierbarkeit) auf einer gemeinsamen Kante e := und sei 0 +1 q, q sowie q+q- m d. Außerdem seien die Knoten v 1, v 2 und v 4 nicht kollinear und die Koeffizienten c ijk und c ijk der Polynome p und p korrespondieren mit den BB-Punkten in D T m-1 (v 2 ) D T m-1 (v 2 ). Zusätzlich seien die Koeffizienten von p und p auf dem Ring R m (v 2 ) innerhalb des Abstands q+q- von e, außer den Koeffzienten c v = c v,d-m,m-v,v = +1, …, q c v = c v,m-v,d-m,v = +1, …, q bekannt. Dann sind diese Koeffizienten eindeutig bestimmt durch die C r –Bedingungen c n,m-n,d-m = c i,j+d-m,k+m-n B n ijk (v 4 ), +1 n q+q- 9. Stetigkeit und stetige Differenzierbarkeit i+j+k=n ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

31 31 Beispiel: Sei d = 10, m = r = 8, q = 2, q = 4, = 0 Abbildung 13 zeigt die Koeffizienten der zwei zusammengefügten Dreiecke. Wir nehmen an, dass wir alle mit einem Kreis markierten Koeffizienten kennen und nur die 6 Koeffizienten, die mit einem blauen Viereck markiert sind, unbekannt sind. 9. Stetigkeit und stetige Differenzierbarkeit v2v2 Abb. 15: Anwendung des Lemma 9.2 ~

32 32 Um die 6 unbekannten Koeffizienten zu bestimmen, benötigen wir 6 Gleichungen. Da p und p am Punkt v 2 8-mal stetig differenzierbar ist und diese 6 Koeffizienten auf dem Ring R 8 (v 2 ) liegen, lassen sich diese durch die 6 Bedingungen C 1, …, C 6 bestimmen. Beachte, dass nicht alle Koeffizienten zur Berechnung benötigt werden, sondern nur diejenigen, die in den 6 Bedingungen vorkommen (schwarz markierte Punkte) 9. Stetigkeit und stetige Differenzierbarkeit v2v2 ~

33 33 Die 6 stetige Differenzierbarkeits- Bedingungen: 1.C 1 2.C 2 3.C 3 4.C 4 5.C 5 6.C 6 9. Stetigkeit und stetige Differenzierbarkeit v1v1 v3v3 v2v2 v4v4 Abb. 15: Anwendung des Lemma 9.2

34 Unterteilung/Basiswechsel Sei p ein Polynom in BB-Darstellung bzgl. eines Dreiecks T mit den Eckpunkten v 1, v 2, v 3. Dann unterteilt ein beliebiger Punkt w im inneren von T das Dreieck T in die drei Teildreiecke T 1 :=, T 2 :=, T 3 :=, Der folgende Satz sagt unter anderem aus, dass die Basen der Teildreiecke T 1, T 2, T 3 ebenfalls Basen des Polynomraums P d sind. Dadurch lässt sich ein Basiswechsel durchführen

35 35 Satz 10.1: Gegeben sei das Dreieck T mit den Teildreiecken T 1, T 2, T 3, wie oben beschrieben. Der Punkt w hat die baryzentrischen Koordinaten a := (a 1, a 2, a 3 ) und für = 1, 2, 3 seien B T,d ijk die Bernstein Basis Polynome bzgl. T :=. Dann gilt für beliebige Polynome p mit BB- Koeffizienten c (i) 0jk B T 1,d ijk (v),v є T 1 p(v) = c (j) i0k B T 2,d ijk (v),v є T 2 c (k) iij0 B T 3,d ijk (v),v є T 3 wobei c (v) ijk := c (v) ijk (a) die Koeffizienten aus dem v-ten Schritt des deCasteljau Algorithmus, basierend auf dem Tripel a, sind und der Startwert c (0) ijk := c ijk ist. 10. Unterteilung/Basiswechsel i+j+k = d

36 36 Veranschaulichung für d = 2: Der Koeffizient c (2) 000 korrespondiert hierbei mit dem Punkt w. Man erkennt durch abzählen der Koeffizienten, dass die Dimension der Teildreiecken (= 6) mit der Dimension von T (= 6) übereinstimmt. 10. Unterteilung/Basiswechsel Abb. 16: Koeffizienten der Teildreiecke T1T1 T3T3 T2T2

37 37 Literaturverzeichnis Lai, M. J.; Schumaker, L.L. (2007): Spline functions on triangulations, Cambridge Univ. Press.

38 38 Vielen Dank für Eure Aufmerksamkeit!


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