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WS 03/04 Algorithmentheorie 02 – Polynomprodukt und Fast Fourier Transformation Prof. Dr. S. Albers Prof. Dr. Th. Ottmann.

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1 WS 03/04 Algorithmentheorie 02 – Polynomprodukt und Fast Fourier Transformation Prof. Dr. S. Albers Prof. Dr. Th. Ottmann

2 2WS 03/04 Polynomprodukt Berechnung des Produkts zweier Polynome p, q vom Grade < n p,q Grad n-1, n Koeffizienten Auswertung: 2 n Punkt/Wertpaare und Punktweise Multiplikation 2 n Punkt/Wertpaare Interpolation pq Grad 2 n -2, 2 n -1 Koeffizienten

3 3WS 03/04 Diskrete Fourier Transformation n-te komplexe Haupteinheitswurzel: Fast Fourier Transformation: Berechung von DFT n (p) mittels eines Divide-and Conquer Ansatzes

4 4WS 03/04 Diskrete Fourier Transformation Ansatz: (n sei gerade)

5 5WS 03/04 Diskrete Fourier Transformation Auswertung für k = 0,..., n – 1

6 6WS 03/04 6. Fast Fourier Transformation Algorithmus FFT Input: Ein Array a mit den n Koeffizienten eines Polynoms p und n = 2 k Output: DFT n (p) 1.if n = 1 then /* p ist konstant */ 2.return a 3.d [0] = FFT([a 0, a 2,..., a n-2 ], n/2) 4.d [1] = FFT([a 1, a 3,..., a n-1 ], n/2) 5. n = e 2 i/n 6. = 1 7. for k = 0 to n/2 – 1 do /* = n k */ return d

7 7WS 03/04 FFT : Beispiel a = [0, 18,-15, 3 ] a [0] = [0, -15] a [1] = [18, 3] FFT([0, -15], 2) = (FFT([0],1) + FFT([-15],1), FFT([0],1) - FFT([-15],1)) = (-15,15) FFT([18, 3],2) = (FFT([18],1) + FFT([3],1), FFT([18],1) - FFT([3],1)) = (21,15) k = 0 ; = 1 d 0 = * 21 = 6 d 2 = -15 – 1 * 21 = -36 k = 1 ; = i d 1 = 15 + i*15 d 3 = 15 – i*15 FFT(a, 4) = (6, 15+15i, -36, 15 –15i)

8 8WS 03/04 7. Analyse T(n) = Zeit um ein Polynom vom Grad < n an den Stellen auszuwerten. T(1) = O(1) T(n) = 2 T(n/2) + O(n) = O(n log n)

9 9WS 03/04 Polynomprodukt Berechnung des Produkts zweier Polynome p, q vom Grade < n p,q Grad n-1, n Koeffizienten Auswertung durch FFT: 2 n Punkt/Wertpaare und Punktweise Multiplikation 2 n Punkt/Wertpaare Interpolation pq Grad 2 n -2, 2 n -1 Koeffizienten

10 10WS 03/04 Interpolation Umrechnung der Punkt/Wert-Darstellung in die Koeffizientendarstellung Gegeben: (x 0, y 0 ),..., (x n-1, y n-1 ) mit x i x j, für alle i j Gesucht: Polynom p mit Koeffizienten a 0,..., a n-1, so dass

11 11WS 03/04 Interpolation Matrixschreibweise

12 12WS 03/04 Interpolation Spezialfall (hier) : Definition:

13 13WS 03/04 Interpolation Satz Für alle 0 i, j n – 1 gilt: Beweis zu zeigen:

14 14WS 03/04 Interpolation

15 15WS 03/04 Interpolation Fall 1: i = j Fall 2: i j,

16 16WS 03/04 Interpolation Summationslemma

17 17WS 03/04 Interpolation

18 18WS 03/04 Interpolation

19 19WS 03/04 Interpolation und DFT denn

20 20WS 03/04 Polynomprodukt durch FFT Berechnung des Produkts zweier Polynome p, q vom Grade < n p,q Grad n-1, n Koeffizienten Auswertung durch FFT: 2 n Punkt/Wertpaare und Punktweise Multiplikation 2 n Punkt/Wertpaare Interpolation durch FFT pq Grad 2 n -2, 2 n -1 Koeffizienten


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