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Bézier und NURBS Kurven & Flächen Vortrag von Stefan Endler 06.01.2005 Computergraphik Seminar WS 2004/05 Prof. Elmar Schömer.

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1 Bézier und NURBS Kurven & Flächen Vortrag von Stefan Endler Computergraphik Seminar WS 2004/05 Prof. Elmar Schömer

2 Inhalt Historie Kurven Flächen

3 Vortrag über Kurven und Flächen3 Historie Römerzeitalter: Benutzung eines Templates um Schiffsrippen herzustellen 13. – 16. Jh.: Weiterentwicklung durch die Venezianer 1752: Erstes auftreten eines splines.

4 Vortrag über Kurven und Flächen4 Historie Mathematik: –1959: Paul de Faget de Casteljau wird bei Citröen angestellt und beginnt seine Forschung. –1960: P. Bézier beginnt seine Forschung bei Peugeot –1960: C. de Boor angestellt bei General Motors entdeckt B- spline Kurven Generalisierung zu NURBS (NonUniform Rational B- splineS)

5 Vortrag über Kurven und Flächen5 Historie 1971: Erste Konferenz in Paris mit u.a. P.Bézier 1974: Erste Schritte in CAGD (Computer Aided Geometric Design) von R.Barnhill und R.Riesenfeld an der Universität von Utah 1979: Erstes Buch von I.Faux und M.Pratt. Computational Geometry for Design and Manufacture

6 Vortrag über Kurven und Flächen6 Kurven Nicht Rationale Bézier Kurven Rationale Bézier Kurven Eigenschaften von Kurven NURBS

7 Vortrag über Kurven und Flächen7 Nicht Rationale Bézier Kurven Bernstein Polynome Definition De Casteljau Algorithmus Degree Elevation

8 Vortrag über Kurven und Flächen8 Bernstein Polynom Allgemeine Darstellung von Bernstein Polynomen: Rekursiv:

9 Vortrag über Kurven und Flächen9 Bézier Kurve Definition einer Bézier Kurve: b i sind hierbei die Punkte n gibt den Grad der Kurve an

10 Vortrag über Kurven und Flächen10 Bézier Kurve Der de Casteljau Algorithmus: Gegeben sind die Kontrollpunkte Gesucht sind die Punkte der Kurve an der Stelle t. Formel: In jedem Schritt wird aus 2 Punkten, ein neuer definiert in Relation t : (1-t)

11 Vortrag über Kurven und Flächen11 Bézier Kurve Beispiel: Kurve mit Grad 4Subdivision:

12 Vortrag über Kurven und Flächen12 Bézier Kurve Degree Elevation Technik zum Erhöhen des Grades einer Kurve Formel: wobei b -1 = b n+1 = 0 BezierKurve.exe

13 Vortrag über Kurven und Flächen13 Rationale Bézier Kurve Definition De Casteljau Weight Points Anwendungsbeispiel

14 Vortrag über Kurven und Flächen14 Rationale Bézier Kurve Definition einer rationalen Bézier Kurve: w i ist das Gewicht für den b i -ten Punkt Sind alle w i = 1, so erhält man die bekannte nicht rationale Bézier Kurve

15 Vortrag über Kurven und Flächen15 Rationale Bézier Kurve Der de Casteljau Algorithmus: Es gibt 2 Varianten des Algorithmus: –Alle Punkte werden umgewandelt zu homogenen Koordinaten –Formel: wobei

16 Vortrag über Kurven und Flächen16 Rationale Bézier Kurve Weight Points ist eine Möglichkeit der Geometrischen Umsetzung von Gewichten Definition von Weigth Points: Umrechnung zu Gewichten: RationalBezierCurve.exe

17 Vortrag über Kurven und Flächen17 Rationale Bézier Kurve Anwendungsbeispiel Conics werden durch 3 Punkte und einem Gewicht repräsentiert w 0 = w 2 = 1 Es ergeben sich 3 Fälle von Kurven: w 1 < 1 Ellipse w 1 > 1 Hyperbel w 1 = 1 Parabel

18 Vortrag über Kurven und Flächen18 Eigenschaften Endpoint interpolation: x(0) = b 0 x(1) = b n Symmetrie: b o,…,b n und b n,…,b 0 beschreiben die gleiche Kurve Konvexe Hülle Die Kurve liegt auf jeden Fall im Kontrollpolygon, welches die Punkte b i bilden. …

19 Vortrag über Kurven und Flächen19 NURBS Definition B-Spline Basic Function

20 Vortrag über Kurven und Flächen20 NURBS Definition einer NURBS Kurve m gibt den Grad der Kurve an d i sind die de Boor Punkte (i = 0,…,n) w i sind die Gewichte Knot Sequence:

21 Vortrag über Kurven und Flächen21 B-Spline Basic Function Wichtige Funktion für die Darstellung von NURBS Rekursive Formel: wobei

22 Vortrag über Kurven und Flächen22 B-Spline Basic Function

23 Vortrag über Kurven und Flächen23 Flächen Viereckige Bézier Flächen Dreieckige Bézier Flächen

24 Vortrag über Kurven und Flächen24 Viereckige Bézier Flächen Hyperbolic Paraboloid Einfachste Form von Bézier Flächen dargestellt durch 4 Punkte Verallgemeinerung: oder umgeschrieben

25 Vortrag über Kurven und Flächen25 Viereckige Bézier Flächen

26 Vortrag über Kurven und Flächen26 Dreieckige Bézier Flächen Definition: Bivariate Bernstein Polynomials:

27 Vortrag über Kurven und Flächen27 Dreieckige Bézier Flächen

28 Vielen Dank für ihre Aufmerksamkeit


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