STATISIK LV Nr.: 1852 WS 2005/06 13. Dezember 2005

Theorie Wahrscheinlichkeitsrechnung Kombinatorik Verteilungen Einführung, Begriffe, … Zufallsvariable Wahrscheinlichkeits- Vt. Kombinatorik Verteilungen Diskrete Verteilungen Stetige Verteilunge

Wahrscheinlichkeitsrechung Betrachte Ereignisse die nicht deterministisch (vorherbestimmbar) sind, Ereignisse mit Zufallscharakter. Bsp. Werfen eines idealen Würfels, Werfen einer fairen Münze, … Oder Ereignisse, die von so vielen Einflussfaktoren abhängen, dass das Ergebnis nicht sicher bestimmt werden kann.

Wahrscheinlichkeitsrechung Grundbegriffe: Zufallsexperiment: Vorgang nach einer bestimmten Vorschrift ausgeführt, beliebig oft wiederholbar, Ergebnis hängt vom Zufall ab, bei mehrmaligen Durchführung des Experiments beeinflussen die Ergebnisse einander nicht – unabhängig voneinander. (z.B. Münzwurf, Werfen eines Würfels, …)

Wahrscheinlichkeitsrechung Elementarereignisse (Realisationen) Zufallsexperiment: Reihe aller möglichen elementarer Ereignisse {e1},…,{en} Ereignisraum S: Menge der Elementarereignisse S={e1,…,en} Ereignis: Jede beliebige Teilmenge des Ereignisraumes (setzt sich aus einem od. mehreren Elementarereignissen zusammen)

Wahrscheinlichkeitsrechung Vereinigung Vereinigung von 2 Ereignissen A und B: AUB Menge aller Elementarereignisse, die zu A oder B gehören Durchschnitt Durchschnitt von 2 Ereignissen A und B: A∩B Menge aller Elementarereignisse, die zu A und B gehören Disjunkte Ereignisse 2 Ereignisse A und B schließen einander aus, A∩B=Ø (Ø unmögliches Ereignis) Komplementärereignis Menge aller Elementarereignisse des Ereignisraumes S, die nicht in Ereignis A enthalten sind

Wahrscheinlichkeitsrechung Wahrscheinlichkeit ist ein Maß zur Quantifizierung der Sicherheit bzw. Unsicherheit des Eintretens eines bestimmten Ereignisses im Rahmen eines Zufallsexperiments.

Wahrscheinlichkeitsrechung Klassischer Wahrscheinlichkeitsbegriff: Bsp. Urne mit 10 Kugeln (8 rot, 2 schwarz) Gesucht: Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gezogene Kugel rot ist (Ereignis A) Ereignisraum 10 mögl. Elementarereignisse, 8 günstige Fälle W(A) = 8 / 10 = 0,8

Wahrscheinlichkeitsrechung Statistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff: Grenzwert der relativen Häufigkeiten des Auftretens von A

Wahrscheinlichkeitsrechung Subjektiver Wahrscheinlichkeitsbegriff: Ereignissen werden „Wettchancen“ zugeordnet. Quote für A ist a:b, dann ergibt sich die Wahrscheinlichkeiten

Wahrscheinlichkeitsrechung Axiomatischer Wahrscheinlichkeitsbegriff: Definition von mathematischen Eigenschaften 1. 0 ≤ W(A) ≤ 1 2. W(S) = 1 3. A und B disjunkt: W(A U B) = W(A) + W(B)

Zufallsvariable Zufallsvariable: Variable deren Wert vom Zufall abhängt (z.B. X, Y, Z) Bsp. Zufallsexperiment: 2-maliges Werfen einer Münze. Frage: Wie oft erscheint „Zahl“? Mögliche Werte: 0, 1, 2. Variable „Anzahl Zahl“ hängt vom Zufall ab – Zufallsvariable. Realisation (Ausprägung): Wert, den eine Zufallsvariable X annimmt (z.B. x, y, z). Bsp. 2-maliges Werfen einer Münze, ZV X „Anzahl Zahl“, Ausprägungen: x1=0, x2=1, x3=2.

Zufallsvariable Zufallsvariable: Funktion, die jedem Elementarereignis eine bestimmt reelle Zahl zuordnet, z.B. X(ej)=xi Definitionsbereich einer ZV: Ereignisraum S des zugrundeliegenden Zufallsexperiments. Wertebereich einer ZV: Menge der reellen Zahlen.

Zufallsvariable Diskrete Zufallsvariable: ZV mit endlich vielen oder abzählbar unendlich vielen Ausprägungen Stetige Zufallsvariable: können (zumindest in einem bestimmten Bereich der reellen Zahlen) jeden beliebigen Zahlenwert annehmen.

Wahrscheinlichkeit Diskrete Zufallsvariable: Wahrscheinlichkeit, mit der eine diskrete ZV X eine spezielle Ausprägung xi annimmt, W(X=xi): Summe der Wahrscheinlichkeiten derjenigen Elementarereignisse ej, denen Ausprägung xi zugeordnet ist:

Wahrscheinlichkeitsfunktion Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten ZV: Funktion f(xi), die für jede Ausprägung der ZV (unterschiedliche Ausprägungen xi einer ZV X) die Wahrscheinlichkeit ihres Auftretens angibt: f(xi) = W(X=xi) Eigenschaften: f(xi) ≥ 0 i=1,2,… Σi f(xi) = 1

Verteilungsfunktion Verteilungsfunktion einer diskreten ZV: Funktion F(x), die die Wahrscheinlichkeit dafür angibt, dass die ZV X höchstens den Wert x annimmt. F(x) = W(X ≤ x) Es gilt: Treppenfunktion

Verteilungsfunktion Verteilungsfunktion einer stetigen ZV (kann in einem bestimmten Intervall jeden beliebigen Wert annehmen): Funktion F(x), die die Wahrscheinlichkeit dafür angibt, dass die ZV X höchstens den Wert x annimmt. F(x) = W(X ≤ x) Stetige Funktion

Verteilungsfunktion Eigenschaften einer stetigen Vt-Funktion: 1. 0 ≤ F(x) ≤ 1 2. F(x) ist monoton wachsend (d.h. für x1 < x2 gilt F(x1) ≤ F(x2) 3. lim x→-∞ F(x) = 0 4. lim x→∞ F(x) = 1 5. F(x) ist überall stetig

Wahrscheinlichkeitsdichte Wahrscheinlichkeitsdichte (Dichtefunktion) f(x) einer stetigen ZV: Ableitung der Verteilungsfunktion. Es gilt:

Wahrscheinlichkeitsdichte Eigenschaften: 1. f(x) ≥ 0 2. 3. 4. W(X=x) = 0 5. W(a ≤ X ≤ b) = W(a < X < b) 6. W(X ≤ a) = F(a) W(X ≤ b) = F(b) W(a ≤ X ≤ b) = F(b) – F(a)

Parameter Charakterisierung der Wahrscheinlichkeits-verteilung von Zufallsvariablen durch Parameter (Maßzahlen) Erwartungswert E(X) = Lageparameter (Entspricht dem arithm. Mittel) Varianz Var(X) = Streuungsparameter

Erwartungswert Diskrete ZV: Stetige ZV:

Varianz Diskrete ZV: Stetige ZV: Standardabweichung:

Standardisierung Lineare Transformation: Y = a + bX Spezialfall Standardisierung: a = – E(X) / σX b = 1 / σX Standardisierte Variable Z: Es gilt: E(Z) = 0 und Var(Z) = 1

Theoretische Verteilungen Bedeutung von theoretische Verteilungen Deskriptive Statistik: Approximative funktionsmäßige Beschreibung empirisch beobachteter Häufigkeitsverteilungen Mathematische Statistik: Wahrscheinlichkeiten für Ergebnisse bestimmter Zufallsexperimente

Kombinatorik Wie kann eine gegebene Anzahl von Elementen unterschiedlich angeordnet und zu Gruppen zusammengefasst werden? Wie viele Möglichkeiten gibt es, n Elemente anzuordnen? Anzahl der möglichen Permutationen? Wie viele Möglichkeiten gibt es, von n Elementen k auszuwählen? Anzahl der möglichen Kombinationen?

Kombinatorik Permutationen: n voneinander verschiedene Elemente: n! = n·(n-1)·(n-2)·…·1 Permutationen Bsp.1: n=3, Elemente e1, e2, e3. Anzahl der möglichen Permutationen: 3! = 3·2·1 = 6 (e1, e2, e3) (e1, e3, e2) (e2, e1, e3) (e2, e3, e1) (e3, e1, e2) (e3, e2, e1) Bsp.2: n=10, Anzahl der möglichen Permutationen: 10! = 3 628 800

Kombinatorik n Elemente, wobei ni Elemente vom Typ i sind (r unterschiedliche Typen): Bsp.1: n=10, r=3 und n1=3, n2=5, n3=2, Anzahl der möglichen Permutationen:

Kombinatorik Kombinationen: Aus n verschiedene Elemente sollen k Stück gewählt werden Kombination ohne Wiederholung: jedes Element kann nur einmal gewählt werden Berücksichtigung der Reihenfolge: Anzahl der Möglichkeiten: Keine Berücksichtigung der Reihenfolge:

Kombinatorik Kombinationen ohne Wiederholung: n=3, k=2, Elemente e1, e2, e3. Berücksichtigung der Reihenfolge: Möglichkeiten: (e1, e2) (e2, e1) (e1, e3) (e3, e1) (e2, e3) (e3, e2), also 3!/(3-2)! = 6 Möglichkeiten Keine Berücksichtigung der Reihenfolge: Möglichkeiten: (e1, e2), (e1, e3) (e2, e3), also 3!/(2!(3-2)!) = 3 Möglichkeiten

Kombinatorik Kombinationen ohne Wiederholung: Bsp.1: Lotto, Möglichkeiten aus 49 Zahlen 6 zu wählen (Reihenfolge unberücksichtigt) Bsp.2: Pferderennen, sind 8 Pferde am Start, gibt es für die Belegung der ersten 3 Plätze 8!/(8-3)! = 336 Möglichkeiten

Kombinatorik Aus n verschiedene Elemente sollen k Stück gewählt werden Kombination mit Wiederholung: ein Element kann auch mehrfach ausgewählt werden. Berücksichtigung der Reihenfolge Anzahl der Möglichkeiten: nk Keine Berücksichtigung der Reihenfolge Anzahl der Möglichkeiten:

Kombinatorik Kombination mit Wiederholung: n=3, k=2, Elemente e1, e2, e3. Berücksichtigung der Reihenfolge, Möglichkeiten: (e1, e1), (e1, e2), (e1, e3), (e2, e2), (e2, e1), (e2, e3), (e3, e3), (e3, e1), (e3, e2), Anzahl der Möglichkeiten: nk = 3² = 9 Keine Berücksichtigung der Reihenfolge, Möglichkeiten: (e1, e1), (e1, e2), (e1, e3), (e2, e2), (e2, e3), (e3, e3), Anzahl der Möglichkeiten: (3+2-1)! / (2!·(3-1)!) = 4! / (2!·2!) = 6

Kombinatorik Kombinationen mit Wiederholung: Bsp.1: Würfelt man viermal hintereinander, sind 64 = Abläufe möglich Bsp.2: Hat man vier verschiedene Sorten Süßigkeiten, gibt es 286 Möglichkeiten eine Tüte mit 10 Süßigkeiten zu füllen.

Theoretische Verteilungen Diskrete Verteilungen Binomialverteilung Hypergeometrische Verteilung Poissonverteilung ... Stetige Verteilungen Gleichverteilung Exponentialverteilung Normalverteilung Chi-Quadrat Verteilung t-Verteilung (Studentverteilung) F-Verteilung

Binomialverteilung Wahrscheinlichkeiten für die Häufigkeit des Eintreffens bestimmter Ereignisse bei Bernoulli-Experimenten berechnen. Bernoulli-Experiment: Folge von Bernoulli-Versuchen. Urnenmodell mit Zurücklegen Es gibt nur 2 mögliche Ausgänge: A und Ā Wahrscheinlichkeiten für Eintreten von A (θ) und Ā (1- θ) sind konstant Versuche sind voneinander unabhängig.

Binomialverteilung Bsp. Bernoulli-Experiment: fünfmaliges Werfen einer Münze, Zufallsvariable X „Anzahl der Zahlen“, Realisation x = 0, 1, 2, 3, 4, 5 Wahrscheinlichkeiten für Eintreten von A: W(X=x) = f(x) = ?

Binomialverteilung Wahrscheinlichkeit des Auftretens einer bestimmten Realisation x: W(X=x) = f(x) Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung:

Binomialverteilung Bsp. Münzwurf (n=5), Wahrscheinlichkeit dass genau 2-mal Zahl geworfen wird: W(X=2)

Binomialverteilung Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X höchstens den Wert x annimmt: Verteilungsfunktion FB(x;n,θ)

Binomialverteilung Bsp. Münzwurf (n=5), Wahrscheinlichkeit dass höchstens 2-mal Zahl geworfen wird: W(X  2)

Binomialverteilung Erwartungswert der Binomialverteilung: E(X) = n·θ Varianz der Binomialverteilung: Var(X) = n·θ·(1-θ) Bsp. Münzwurf: E(X) = 5·0,5 = 2,5 Var(X) = 5·0,5·(1-0,5) = 1,25

Hypergeometrische Verteilung Urnenmodell Ziehen ohne Zurücklegen: Urne mit N Kugeln (M schwarze, N-M weiße) Zufallsstichprobe: ziehe n Kugeln ohne Zurücklegen Wahrscheinlichkeit, dass unter den n gezogenen Kugeln genau x schwarze zu finden sind? Ziehen ohne Zurücklegen, keine Berücksichtigung der Reihenfolge.

Hypergeometrische Verteilung Urnenmodell: Aus M schwarzen Kugeln genau x auswählen: Anzahl der Kombinationen Aus N-M weißen Kugeln genau n-x auswählen: Anzahl der Kombinationen Jede mögl. Stpr. „x schwarze aus M“ kann mit jeder mögl. Stpr. „n-x weiße aus N-M“ kombiniert werden. Daher: Gesamtzahl der Möglichkeiten genau x schwarze zu ziehen: Gesamtzahl der Möglichkeiten aus N Kugeln n zu ziehen:

Hypergeometrische Verteilung Wahrscheinlichkeit genau n schwarz Kugeln zu ziehen: Wahrscheinlichkeitsfunktion der Hypergeometrischen Verteilung:

Hypergeometrische Verteilung Verteilungsfunktion: Summation der Einzelwahrscheinlichkeiten Liefert Wahrscheinlichkeit für „höchstens x schwarze Kugeln“

Hypergeometrische Verteilung Bsp. Sortiment von N=8 Dioden, es werden n=3 zufällig gezogen (ohne Zurücklegen), M=5 der Dioden sind defekt. Ges: Wahrscheinlichkeit, dass genau 2 (=x) der 3 gezogenen Dioden defekt sind.

Hypergeometrische Verteilung Erwartungswert: E(X) = n · M/N Varianz Var(X) = n · M/N · (N-M)/N · (N-n)/(n-1) Approximation durch Binomialverteilung: Wenn N, M, N-M groß und n klein, Parameter der Binomialverteilung: θ = M/N Faustregel: Approximation, wenn n/N < 0,05

Poissonverteilung Verteilung seltener Ereignisse Große Zahl von Versuchen n, Wahrscheinlichkeit θ für Auftreten eines Ereignisses sehr klein Wahrscheinlichkeitsfunktion:

Poissonverteilung Erwartungswert: E(X) = μ Varianz: Var(X) = μ Approximation der Binomialverteilung durch die Poissonverteilung: n groß und θ klein, Parameter μ = n·θ Faustregel: n > 10 und θ < 0,05. Approximation der Hypergeometrischen Vt. M/N = θ klein, N im Vergleich zu n groß, Parameter μ = n · M/N Faustregel: M/N < 0,05 und n/N < 0,05

Poissonverteilung Bsp. Wahrscheinlichkeit bei einer Prüfung von n=2000 Buchungen genau 3 (=x) Fehlbuchungen zu finden, Anteil der Fehlbuchungen: θ=0,001. Poissonverteilung: μ = n·θ = 2

Gleichverteilung Diskrete Zufallsvariable: Jede der k möglichen Ausprägungen hat gleiche Wahrscheinlichkeit P(X=xi) = 1/k (i=1,…,k) Bsp. Wahrscheinlichkeitsverteilung der Augenzahl eines idealen Würfels: P(X=xi) = 1/6 (i=1,…,6)

Gleichverteilung Stetige Zufallsvariable: Realisationen der stetigen Zufallsvariablen X liegen im Intervall [a;b] Dichtefunktion: P(x  X  x+Δx) = 1/(b-a) · Δx

Gleichverteilung

Gleichverteilung Verteilungsfunktion (Integration der Dichte)

Gleichverteilung

Gleichverteilung Erwartungswert: E(X) = (a+b)/2 Varianz: Var(X) = (b-a)² / 12 Bsp. Wegzeit ist gleichverteilt im Intervall [30;40]. Ges. Wahrscheinlichkeit zw. 32 und 35 Min. zu benötigen. P(32  X  35) = 1/(b-a) · Δx = 1/(40-30) · (35-32) = 0,3 Durchschnittlich benötigte Zeit: E(X) = 35

Normalverteilung Wichtigste theoretische Verteilung: Normalverteilung: stetige Verteilung symmetrische Dichtefunktion S-förmige Verteilungsfunktion Erwartungswert: E(X) = µ Varianz: Var(X) = σ² Maximum der Dichte bei x=µ Wendepunkte bei x=µσ

Normalverteilungen Normalverteilung: Dichtefunktion (für -∞<x<+∞ und σ>0) : Verteilungsfunktion:

Normalverteilung Normalverteilungen mit unterschiedlichen Parametern

Normalverteilung Verteilungsfunktion

Normalverteilung Standardnormalverteilung: Dichtefunktion: Erwartungswert µ = 0 Varianz σ² = 1 Dichtefunktion:

Normalverteilung Standardnormalverteilung

Normalverteilung Approximation durch Normalverteilung: Mit wachsendem n nähern sich viele theoretische Vt. der Normalverteilung Empirische Verteilungen lassen sich ebenfalls oft durch die N-Vt. annähern.

Normalverteilung Reproduktionseigenschaft (od. Additivitäts- eigenschaft) der Normal-Vt. Additionstheorem der Normalverteilung: Die Summe (X) von n unabhängig normalverteilten Zufallvariablen X1,…,Xn ist ebenfalls normalverteilt. X = X1 + … + Xn Der Erwartungswert von X ist die Summe der einzelnen Erwartungswerte μ1,…,μn E(X) = μ = μ1 + … + μn Die Varianz von X ist die Summe der einzelnen Varianzen σ1²,…σn² Var(X) = σ² = σ1² + … + σn²