Wir wollen den Flächeninhalt der krummlinig begrenzten Fläche genau berechnen.
Bestimmung der Rechtecksbreite bei n Rechtecken Jedes Rechteck hat die Breite
Bestimmung der Rechteckshöhen Höhe des ersten Rechtecks: Höhe des zweiten Rechtecks: . . . Höhe des letzten Rechtecks:
Bestimmung der einzelnen Rechtecksflächen Fläche des ersten Rechtecks: Fläche des zweiten Rechtecks: . . . Fläche des letzten Rechtecks:
Die Summe der Rechtecksflächen Laut Formelsammlung gilt: Wir ersetzen in der Formel m durch (n-1) und erhalten:
Grenzwertbetrachtung Lässt man die Anzahl der Rechtecke, also die Zahl n immer größer werden, dann nähert sich der Wert in der Klammer immer mehr der Zahl 2. Der Flächeninhalt unserer Grundfläche beträgt also 2,496 + 1,536 = 4,032
Volumenberechnung Das Volumen der Skateboardrampe beträgt also 4,032 m² * 3,6 m = 14,5152 m³. Der Preis der Rampe beträgt 14,5152 * 6000,- € = 87091,20 €.
Was hätten wir erhalten, wenn wir die Rechtecke über den Graphen gezeichnet hätten?
Obersumme Die Breite der Rechtecke bleibt gleich. Es kommt lediglich ein Rechteck mit dem Flächeninhalt dazu . Verfolgt man den vorgestellten Weg für die Untersumme, so erhält man auch für die Obersumme 1,536 als Grenzwert. Die Ober- und Untersumme stimmen also überein.
Drei Fragen Wie funktioniert das Rechteckverfahren? Was hängen Unter- und Obersumme? Wie kann man beim Rechteckverfahren erreichen, dass die Fläche genauer bestimmt wird?
Hausaufgabe Berechne den Inhalt der Fläche unter dem Graphen der Funktion f über dem Intervall [0; 2] als Grenzwert der Untersumme. a) f(x) = x³ b) f(x) = x Verwende die folgenden Formeln.