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Untersumme unter der Normalparabel
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Untersumme unter f(x) = xΒ²
lim πββ π π = lim πββ π π = 0 π₯ π‘ 2 ππ‘
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f((n-1)β π₯ π ) = ((nβ1)β π₯ π )Β²
Man unterteilt das Intervall [0;x] in n Teile, also ist jeder Abschnitt lang! erste Rechteck: Breite: π₯ π HΓΆhe: f( π₯ π ) = ( π₯ π )Β² zweite Rechteck: Breite: π₯ π HΓΆhe: f(2β π₯ π ) = (2β π₯ π )Β² letztes Rechteck: Breite: π₯ π HΓΆhe: f((n-1)β π₯ π ) = ((nβ1)β π₯ π )Β² Untersumme: Un= π₯ π 2 β π₯ π β π₯ π 2 β π₯ π β π₯ π 2 β π₯ π +β¦ + (πβ2)β π₯ π 2 β π₯ π + (πβ1)β π₯ π 2 β π₯ π π₯ π 2 π₯ π 2 (n-1)β π₯ π lim πββ π π = lim πββ π π = 0 π₯ π‘ 2 ππ‘
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Un= 0+ π₯ π 2 β π₯ π + 2β π₯ π 2 β π₯ π + 3β π₯ π 2 β π₯ π + β¦β¦ + (πβ2)β π₯ π 2 β π₯ π + (πβ1)β π₯ π 2 β π₯ π
= π₯ π Β² β π₯ π Β² β π₯ π 3 +β¦...+ (n-2)Β² β π₯ π (n-1)Β² β π₯ π 3 = π₯ π 3 β (1 + 2Β² + 3Β² + β¦.. + (n-2)Β² + (n-1)Β²) = π₯ π 3 β 1 6 β (nβ1) β n β (2nβ1) 1Β² + 2Β² + 3Β² + β¦ +(nβ1)Β² = 1 6 β (nβ1) β n β (2nβ1) = π₯ β ( πβ1 π β π π β 2πβ1 π ) = π₯ β (1 β 1 π ) β1β (2β 1 π ) fΓΌr n ββ π₯ lim πββ π π = π₯ β 2 = π₯ 3 3
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