Einstieg in die Integralrechnung

Präsentation zum Thema: "Einstieg in die Integralrechnung"—  Präsentation transkript:

1 Einstieg in die Integralrechnung

2 Frage: Wie groß ist der Flächeninhalt der markierten Fläche ?

3 Wodurch ist die Größe der Fläche festgelegt ?
Graph der Funktion x-Achse Intervalllänge A = ?

4 Präzisierung der Aufgabe :
Gesucht ist eine Funktionsvorschrift A(x), die den Inhalt der Fläche liefert, die vom Graphen einer Funktion mit der x–Achse im Intervall [0;x] eingeschlossen wird. A (x) = ? x

5 Betrachten wir zunächst einfache Beispiele:
Durch elementare Rechnung erhält man: A(x) = 3·x A(x) = 3·x x

6 Beispiel 2: Die Fläche des entstehenden Dreiecks berechnet sich zu: x

7 Beispiel 3: Die Fläche des Trapezes berechnet sich zu: x

8 Zusammenstellung A(x) = 3·x
Lässt sich ein Zusammenhang zwischen Flächenfunktion und Ausgangsfunktion finden ?

9 Zusammenstellung A(x) = 3·x
Feststellung: Leitet man die Flächenfunktion ab, so erhält man die Ausgangsfunktion

10 Zusammenstellung A(x) = 3·x lauten ?
Falls dies richtig sein sollte, wie könnte dann die Funktionsvorschrift der Flächenfunktion zu f mit lauten ?

11 Zusammenstellung A(x) = 3·x lauten ?
Falls dies richtig sein sollte, wie könnte dann die Funktionsvorschrift der Flächenfunktion zu f mit lauten ?

12 Zusammenstellung Nur eine Vermutung !! A(x) = 3·x
Doch Grund genug, sich den Differenzenquotienten der Flächenfunktion einmal anzuschauen Nur eine Vermutung !!

13 Betrachten wir also den Term:
Bzw. zunächst mal nur den Zähler : Wir verdeutlichen am Einstiegsbeispiel, was durch diese Differenz ausgedrückt wird

14 A(x0) ist der Inhalt der Fläche, die vom Graphen einer Funktion mit der x–Achse im Intervall [0;x0] eingeschlossen wird. A (x0) x0

15 A(x0+h) ist der Inhalt der Fläche, die vom Graphen einer Funktion mit der x–Achse im Intervall [0;x0+h] eingeschlossen wird. A (x0+h) x0+h

16 Obíge Differenz drückt also den Flächeninhalt der grün markierten Fläche aus.
x0 x0+h

17 Obíge Differenz drückt also den Flächeninhalt der grün markierten Fläche aus.
x0 x0+h

18 Sicherlich ist der Flächeninhalt größer als der Flächeninhalt der folgenden Rechteckfläche:
Wir versuchen, die Größe der Fläche nach oben und nach unten abzuschätzen: x0 x0+h

19 Diese hat den Flächeninhalt:
f(x0) h x0 x0+h

20 Diese hat den Flächeninhalt:
f(x0) h

21 Diese hat den Flächeninhalt:
Es gilt also: Diese hat den Flächeninhalt: f(x0) h

22 Schätzen wir nun die grüne Fläche durch folgendes Rechteck nach oben hin ab:
f(x0+h) h

23 Das Rechteck hat den Flächeninhalt:
Es folgt: Das Rechteck hat den Flächeninhalt: f(x0+h) h

24 Damit ist der obige Term sinnvoll nach oben und unten abgeschätzt

25 : h Dividiert man die gesamte Ungleichung durch h, erhält man in der Mitte den Differenzenquotienten der Flächenfunktion !

26 Bildet man den Limes aller Terme für h gegen Null, erhält man:

27 : h Bzw.:

28 Diese Ungleichung ist nur erfüllbar, wenn gilt:
Liefert der Term A(x) also den Inhalt der betrachteten Fläche, so gilt: A‘(x) = f(x)

29 Man beachte die in dieser Herleitung enthaltenen Vereinfachungen:
Die Fläche liegt gänzlich oberhalb der x – Achse In den Beweis geht ein, dass f im betrachteten Intervall monoton wachsend ist f ist im betrachteten Intervall stetig