Regionalisierte Variablen und Kriging Seminar Geoinformation WS 2000/2001 Regionalisierte Variablen und Kriging Referent: Anno Löcher

Familie von stochastischen Schätzverfahren Einführung Geostatistik Variogramme Gewöhnliches Kriging Was ist Kriging? Familie von stochastischen Schätzverfahren zumeist synonym für „Gewöhnliches Kriging“ Grundlagen von dem französischen Mathematiker Matheron. Weiterentwicklung des Verfahrens vorwiegend durch Ingenieure. Name leitet sich ab von dem südafrikanischen Bergbauingenieur Krige. Anwendung zunächst in der Bodenexploration und der Meteorologie, heute in allen Geowissenschaften in vielen GIS-Anwendungen als Interpolationswerkzeug implementiert

Eigenschaften des Verfahrens Einführung Geostatistik Variogramme Gewöhnliches Kriging Eigenschaften des Verfahrens Interpolation durch gewogenes Mittel Þ lineares Verfahren Schätzwert an beprobtem Ort = Beobachtung Þ erwartungstreues Verfahren Schätzfehler wird minimiert Þ bester Schätzer BLUE (Best Linear Unbiased Estimator) Genauigkeitsmaß: Kriging-Varianz Grundlage des Verfahrens ist das Geostatistische Modell

Gauß-Markoff-Modell gemischtes Modell Verallgemeinerung Einführung von Ortsabhängigkeiten Schreibweise der Geostatistik

Geostatistisches Modell Einführung Geostatistik Variogramme Gewöhnliches Kriging Geostatistisches Modell Mittelwert Rauschen vom Ort abhängige Zufallsvariable („regionalisierte Variable“) Z x m

Intrinsische Hypothese Einführung Geostatistik Variogramme Gewöhnliches Kriging Intrinsische Hypothese a) Der Erwartungswert von Z ist im Untersuchungsgebiet konstant: b) Die Varianz der Differenz zwischen zwei Realisationen von Z hängt nur vom Abstand ab: Definition Semivarianz Die Semivarianz ist ein Maß für die Korrelation zwischen Z(x) und Z(x + h), ausgedrückt als Funktion des Abstands.

Þ Bei bekanntem g (h) Vorhersage möglich! Einführung Geostatistik Variogramme Gewöhnliches Kriging Ansatz für die Schätzung Z verhält sich an unbeprobten Orten wie an beprobten. Þ Bei bekanntem g (h) Vorhersage möglich! P1 P2 P3 P4 PNEU P5 Abstände geben Korrelationen zwischen Z im Neupunkt und den beobachteten Z vor. Aus den Korrelationen können dann Gewichte abgeleitet werden.

Þ g (h) aus g (h1) ... g (hm) Þ Vorgehen bei der Schätzung Einführung Geostatistik Variogramme Gewöhnliches Kriging Vorgehen bei der Schätzung Stichprobe Z(x1) ... Z(xn) g (h1) ... g (hm) aus Stichprobe empirisches Variogramm Þ g (h) aus g (h1) ... g (hm) theoretisches Variogramm Þ Schätzung von Z(xNEU) mit g (h) aus Stichprobe Kriging =

Empirisches Variogramm Einführung Geostatistik Variogramme Gewöhnliches Kriging Empirisches Variogramm Schätzung von g (h) auf Grundlage der Stichprobe Vorgehen: Bestimmung der Abstände aller vorkommenden Punktpaare je vorkommendem Abstand Schätzung der Semivarianz mit

g (1.0) = ( (3 - 4)² + (4 - 7)² + (7 - 5)² + (5 - 3)² ) / 8 = 2.3 1 2 3 ( 7.0 ) 1.0 1.4 ( 4.0 ) ( 3.0 ) ( 5.0 ) 4 Punktpaare mit h = 1.0 g (1.0) = ( (3 - 4)² + (4 - 7)² + (7 - 5)² + (5 - 3)² ) / 8 = 2.3 2 Punktpaare mit h = 1.4 g (1.4) = ( (4 - 5)² + (7 - 3)² ) / 4 = 4.3

Normalfall: Jedes Punktpaar hat anderen Abstand. 1 2 3 ( 6.0 ) ( 3.5 ) ( 7.0 ) ( 2.0 ) ( 5.5 ) ( 6.0 ) ( 4.0 ) ( 4.5 ) ( 5.0 ) ( 2.5 ) ( 6.0 ) ( 3.0 ) ( 3.5 ) Normalfall: Jedes Punktpaar hat anderen Abstand. Entfernungsklassen bilden! Paare mit 0.0 < h £ 0.5 Þ g (0.25) Paare mit 0.5 < h £ 1.0 Þ g (0.75) Paare mit 1.0 < h £ 1.5 Þ g (1.25) usf.

Þ parametrischer Ansatz Einführung Geostatistik Variogramme Gewöhnliches Kriging Theoretisches Variogramm Entwicklung einer analytischen Funktion g (h) aus dem empirischen Variogramm Vorgehen: Kurvenanpassung Anforderungen an die Funktion: Zufälligkeiten in den empirischen Daten sollen ausgeglichen werden. Funktion soll nicht im Widerspruch zu physikalischen Gesetzmäßigkeiten stehen. Þ parametrischer Ansatz

( = Schätzung für die Varianz des Rauschens ) Einführung Geostatistik Variogramme Gewöhnliches Kriging Kenngrößen des Variogramms h g(h) Schwelle (sill) Aussageweite (range) Nugget Schwelle : Maximum von g (h) ( » Varianz der Stichprobe ) Aussageweite: Abstand, bei dem g (h) die Schwelle erreicht Nugget: Achsenabschnitt ( = Schätzung für die Varianz des Rauschens ) DEMO

Berechnung des Krige-Schätzers Einführung Geostatistik Variogramme Gewöhnliches Kriging Berechnung des Krige-Schätzers Rechenverfahren folgt aus Forderung an den Schätzer, BLUE zu sein. Linearität Þ gewogenes Mittel Erwartungstreue Þ Schätzfehler Null Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung Lösung mit Lagrange-Multiplikator Beste Schätzung Þ minimale Varianz des Schätzfehlers

schwach besetztes Meßnetz Þ hohe Varianz Einführung Geostatistik Variogramme Gewöhnliches Kriging Lösungsformel in Matrizenschreibweise v = C-1 D Vektor der Semivarianzen zwischen Z(x0) und Z(xi) der Gewichte Matrix zwischen den Z(xi) Gleichung für die Kriging-Varianz Die Höhe der Kriging-Varianz hängt von der Menge der räumlichen Informationen ab: schwach besetztes Meßnetz Þ hohe Varianz

Phosphatgehalt einer landwirtschaftlichen Nutzfläche Messungen Interpolation Kriging-Varianz

Eigenschaften des Krige-Schätzers Einführung Geostatistik Variogramme Gewöhnliches Kriging Eigenschaften des Krige-Schätzers Güte der Schätzung vom Variogramm abhängig Bei ausgeprägtem Nugget-Effekt oder sehr kleiner Aussageweite wird das arithmetische Mittel geliefert. Kriging erkennt und meidet redundante Daten: Bei nah beieinanderliegenden Stützpunkten werden die Gewichte gesenkt und auf entferntere Punkte verteilt. Einzelne lokale Spitzen wirken sich weniger auf die Um- gebung aus als bei anderen Verfahren. Kontrolle der Schätzung durch Kriging-Varianz

Regionalisierte Variablen und Kriging Seminar Geoinformation WS 2000/2001 Regionalisierte Variablen und Kriging Referent: Anno Löcher

Þ Zusammenhang Varianz - Kovarianz - Semivarianz: Einführung Geostatistik Variogramme Gewöhnliches Kriging Zusammenhang Varianz - Kovarianz - Semivarianz: Þ Annahme: Z(x) und Z(x + h) haben gleiche Varianzen s² 2 COV ( Z(x) , Z(x + h) ) s² Z(x) und Z(x + h) identisch (h = 0) Þ g (0) = 0 Z(x) und Z(x + h) nicht korreliert Þ g (h) = s²

Kurvenanpassung durch parametrischen Ansatz Einführung Geostatistik Variogramme Gewöhnliches Kriging Kurvenanpassung durch parametrischen Ansatz Gauß-Modell exponentielles Modell Sphärisches Modell