Proseminar Geoinformation II, WS 03\04 Geostatistik

Präsentation zum Thema: "Proseminar Geoinformation II, WS 03\04 Geostatistik"—  Präsentation transkript:

1 Proseminar Geoinformation II, WS 03\04 Geostatistik
Kriging Präsentiert von Thomas Müller am

2 Gliederung Einleitung Interpolationsverfahren Semivarianz
Kenngrößen des Variogramm Arbeiten mit ArcGIS Aufgabe 1 Berechnungen in Kriging Beispiel für räumliche Interpolation Arten des Kriging und Co-Kriging Kriging in ArcGIS Aufgabe 2

3 Geschichte des Kriging
wurde nach dem südafrikanischen Bauingeneur D.G.Krige benannt Mitte des 20.Jahrhunderts von G.Matheron in Frankreich zur Anwendung im Bergbau weiterentwickelt zur gleichen Zeit von L.S.Gandin in der Sowjetunion entwickelt, in dem Bereich Meterologie angewandt heute: Anwendung in allen Geowissenschaften

4 Beispiel für räuml. Interpolation
Problem: aus unregelmäßig verteilten Bodenproben soll räumliche Verteilung des Phosphatgehalts geschätzt werden Wie Interpoliert man zwischen den einzelnen Messwerten RICHTIG ? Z i e l : Aufstellen einer Prognose für unbeprobte Bereiche

5 Interpolationsverfahren
Neu : Statistisch unregelmäßige Verteilung bei geringer Dichte der Punkte Vorhersage für best. Orte und der Genauigkeit der Orte Bisher: Deterministisch Regelmäßige und hohe Dichte bekannter Punkte Sehr genaue Vorhersage von Ort und Wert eines Punktes

6  Klassische Statistik nicht ausreichend
Schlussfolgerung Bedingung: alle Messwerte sind gleichwertig und voneinander unabhängig  Klassische Statistik nicht ausreichend Alternative: Geostatistik (räumliche Statistik) berücksichtigt räumliche Struktur der untersuchten Merkmale >> nah beieinander liegende Werte weisen eine größere Ähnlichkeit auf, als weit entfernte << Grundlage für Interpolationsverfahren Kriging

7 Theoretische Grundlagen
1) Ermitteln d. Differenz der Werte zweier Punkte im Abstand h Gerichtete, quantitative Änderung einer Variablen Semivarianz  „Unähnlichkeitsmaß“ 2) Mehrere Punkte im Raum: - für jedes Punktepaar mit Abstand h zueinander Semivarianz (SV) berechnen - bilden v. Abstandsklassen (nur wenige Punkte haben gleichen Abstand) - Summe der einzelnen SV mit Anzahl der Punktpaare gewichten u. mittlere Semivarianz bilden

8 Berechnung der Semivarianz
(h) = 1/2n{z(xi) – z(xi+h)}² Semivarianz Anzahl der Punktpaare mit Abstand h 1. Variable 2. Variablen im Abst. h - mittlere Semivarianz für Abstand h wird in Diagramm aufgetragen - Wiederholen des Vorgangs für alle Abstandsklassen von h (geschätztes) empirisches Variogramm

9 Das theoretische Variogramm
Gegeben: nur Aussage über den räumlichen Zusammenhang der Stichprobe mit bekannten Werten Gesucht: Variogrammwerte auch für Abstände, die nicht in der Stichprobe vorkommen empirisches Variogramm gibt groben Verlauf über räumlichen Zusammen-hang des Untersuchungsgebietes wieder Verlauf wird einer Funktion angepaßt Ermitteln unbekannter Semivarianzen für gesuchte Abstände

10 Funktionen des Variogramms
Verlauf des empirischen Variogramms wird mit evtl. Ordnung des anzupassenden theoretischen Variogramms verglichen Aus Ordnung wird Variogramm ausgewählt, welches Punktwolke des emp. Variogramms charakteresiert 3 funktionale Modelle: Sphärisch Exponentiell Gauss-ähnlich (Funktionalisieren durch „kleinste Quadrate Verfahren“)

11 Variogrammformen

12 Kenngrößen des Variogramms
Nuggeteffekt: bedingt durch Rauschen (Messfehler in Bezug auf betrachtete Variablen oder bei der Positionsbestimmung der Orte der Probenahme / Residuale Einflüsse mit kleinerer Reichweite als geringste Abstände h) Sill: Variabilität der Daten für Große Abstände h (maximale Varianz der Variablen) Range: maximale Reichweite der Abhängigkeit (für Größen darüber besteht keine räumliche Autokorrelation Lösung durch klassische Statistik )

13 Geostatistical Analyst in die Menüleiste integrieren
Arbeiten mit ArcGIS Geostatistical Analyst in die Menüleiste integrieren In der Menüleiste unter „Tools“ den Befehl „Extensions“ mit der linken Maustaste bestätigen.

14 Arbeiten mit ArcGIS Im neu erzeugten Untermenü „Haken“ bei Geostatistical Analyst setzen. „Close“ mit linker Maustaste bestätigen

15 Arbeiten mit ArcGIS Im Untermenü von „View“ mit dem Cursor über „Toolbars“ mit der linken Maustaste „Geostatistical Analyst“ auswählen

16 Erzeugen eines Variogramm in ArcMap
Arbeiten mit ArcGIS Erzeugen eines Variogramm in ArcMap Über „Geostatistical Analyst“ und „Explorer Data“ Untermenü „Semivariogramm“ auswählen.

17 Auswählen von „Layer“ und „Attribute“
Arbeiten mit ArcGIS Auswählen von „Layer“ und „Attribute“

18 Arbeiten mit ArcGIS durch Anklicken eines Punktes im Variogramm
wird das entsprechende Punktpaar in der Karte angezeigt

19 Aufgabe 1 Kopiert Euch aus dem Verzeichnis „D:\Gis-Data\Esri\Arc-Tutor\3D Analyst\Exercise2“ die Datei „wells.shp“ in Arc-Map. Erstellt ein Variogramm Findet die Punkte im Variogramm dessen Punktpaare in der Karte 1. den größten und 2. den kleinsten Abstand voneinander haben Wo liegen diese Punkte im Variogramm?

20 Voraussetzungen für Kriging
Das Variogramm Intrische Hyphothese Beinhaltet das Geostatischen Modell: Z(x) = m(x) + ´(x) + ´´(x) Zufallsvariable vom Ort abhängige Zufallsvariable Rauschen Messfehler Mittelwert

21 Die intrische Hyphothese
Stochastischer Prozess wird intrisch (=stationär) genannt falls, (1) Erwartungswert aller Zufallsvariablen Z im Untersuchungsgebiet konstant ist E[Z(x) – Z(x+h)] =  (2) Räumlicher Zusammenhang von 2 Variablen nicht von deren absoluter Lage, sondern nur von deren Abstandsvektoren abhängt 2(h) = E[{Z(x) – Z(x+h)}²] Semivarianz

22 Prinzipien des Kringing
- Grundlage bildet das geostatistische Modell und das Variogramm - der gesuchte Wert zwischen zwei Zufallsvariablen z(s) und z(t) wird gewichtet geschätzt - Kriging-Schätzer wird für jeden Ort einer zu schätzenden Zufallsvariable neu bestimmt - Schätzer z*(xo)= i z(xi) werden so bestimmt, daß im Mittel der wahre Wert geschätzt wird und kein systematischer Fehler auftritt

23 Der Kringing - Schätzer
Gesuchte Variable wird durch ein gewichtetes Mittel der bekannten Nachbarwerte geschätzt  Vorhandene Messwerte müssen durch intrischen Prozeß modelliert sein !! z*(x0) =  i z(xi) gesuchter Wert Gewichte Gemessener (bekannter) Wert

24 Die Gewichte müssen so bestimmt werden, dass
1. der Schätzfehler im Mittel gleich Null ist ( ist abhängig von den Gewichten vi ) E[F(x0)] = 0 die Kriging - Varianz des Schätzfehlers minimal ist Var [F(x0)] = min die Summe der Gewichte = Null  i = 1

25 Berechnung der Gewichte
Verfahren benutzt die beste linear unverzerrte Prognose (BLUP) bzw best linear unibased (erwartungstreu) estimator (BLUE)  Statistik Beste Schätzung VAR [z*(x0) – z(x0)] = min (minimale Varianz des Schätzfehlers) Linearität ( gewogenes Mittel) z*(x0) = iz(xi) Erwartungstreue (Schätzfehler = Null) z*(x0) – z(x0) = 0 Lösen der Berechnungen anhand einer Extremwertaufgabe mit der Methode der Lagrange-Multiplikation  lineares Gleichungssystem

26 Berechnung durch Matrizenform
: : : : : n nn * n = n0 m m Matrix C mit Semivario-grammwerte zwischen allen Paaren gemessener Orten -Vektor mit den gesuchten Gewichte Semivariogrammwerte zwischen den gemessenen Orten und dem zu schätzenden Ort

27 Lösung der Matrizen  = C-1 *  z*(x0) =  i z(xi)
Gewichte für den Kriging-Schätzer für den gesuchten Ort xo können bestimmt werden  = C-1 *  2) Berechnen der Schätzwerte für nichtgemessene Orte z*(x0) =  i z(xi) Vorteil der statischen Interpolationsverfahren: Genauigkeit der vorhergesagten Varianzen wird zusätzlich ermittelt (  Kriging-Varianz) ² =  i(xi, xk) + 

28 Interpretation der Lösungen
Matrix C stellt eine Sammlung der Variogrammwerte für gesuchte Werte und der in die Schätzung einbezogenen, gegebenen Nachbarwerte dar  Zusammenhang nimmt mit Abstand zum gesuchten Wert ab (ersetzen des geometrischen Abstand durch statischen „Abstand“) Erfassen von Clustern (Punktansammlung) der Nachbarpunkte durch Multiplikation der Inversen von C und  -Vektor geringe Verteilung der gegebenen Punkte (= redundante Information für gesuchten Schätzer) bewirkt Senken/Verteilen der Gewichtung Kriging berücksichtig Konstellation der Nachbarpunkte hinsichtlich: - Äbstände zum zu schätzenden Punkt - Hohe Dichte von bekannten Messwerten (Clusterung)

29 Beispiel für räuml. Interpolation
Verteilung der gem. Werte (Bodenproben auf einem Gitter von 20 x 20 m) über Kriging ger. Werte (Interpolation auf einem Gitter von 2 x 2 m)

30 Beispiel für räuml. Interpolation
Gegenüberstellung der gemessenen Werte bezüglich der Kriging-Varianzen

31 Die zwei statischen Methoden im Geostatistical Analyst
Kriging - greift in einer Messreihe auf die „Primärvariable“ zu - bedient sich der Autokorrelation zwischen einzelnen Variablen 2) Co-Kriging - bezieht sich in einer Messreihe auf 2 bis 4 Variablen („Sekundärvariable“ muss mit „Primärvariable“ räumlich aufeinander bezogen sein) - bedient sich neben der Autokorrelation auch der Kreuzkorrelation zwischen gegebenen Variablen

32 Arten des Kriging und Co-Kriging
Ordinary Simple Universal - berücksichtigt einen systematischen Trend der gesuchten Werte Indicator nicht lineares Verfahren Probability - Annahme bestimmter Werte Disjunctive - nichtlineare, verteilungs abhängige Abschätzung von regionalisierten Variablen

33 Ordinary Kriging Das Verfahren, welches überlicherweise verwendet wird
Basiert auf dem Modell Z(s) =  + (s)  ist eine unbekannte Konstante (der zufällige Fehler (s) wird geschätzt / lokale Mittel in der Umgebung des gesuchten Wertes wird berechnet) Mittel stellt eine Parallele zur X-Achse dar  „dashed Line“

34 Simple Kriging Verwendet kein Variogramm (verwendet bekannten Mittelwert) Basiert auf dem Modell Z(s) =  + (s)  ist eine bekannte Konstante (der zufällige Fehler (s) wird als bekannt angenommen / nicht realisierbar !!!) Mittel stellt eine Parallele zur X-Achse dar  „solid Line“

35 Kriging in ArcGIS Klicke auf „Geostatistical Analyst“ und wähle den
„Geostatistical Wizard“ aus

36 Kriging in ArcGIS Vornehmen der Einstellungen unter „Input Data“ und „Attribute“. Einstellen von „Kriging“ Bestätigen durch „Next“

37 Kriging in ArcGIS Im Menü „Ordinary Kriging“ die Kartenart
„Prediction Map“ auswählen. Bestätigen durch „Next“

38 Kriging in ArcGIS Im Menü von Model 1 kann die Variogramm-art eingestellt werden. Bestätigen durch „Next“

39 Kriging in ArcGIS Anzahl der Nachbarn sowie deren Gewichtung.
Gesuchter Punkt Bestätigen durch „Next“

40 Kriging in ArcGIS Hier kann die Qualität der Schätzung eingesehen werden. Bestätigen durch „Next“

41 Kriging in ArcGIS Überprüfung der Eingabedaten Bestätigen durch „Next“

42 Kriging in ArcGIS Verhersagegrafik Höhe [m]

43 Erzeugen einer Genauigkeitskarte
Kriging in ArcGIS Erzeugen einer Genauigkeitskarte Beim anklicken des Layers „Ordinary Kriging“ mit der rechten Maustaste erscheint ein Submenü. Hier „Create Prediction Standard Error Map“ anwählen.

44 Kriging in ArcGIS Vorhersagegrafik und ihre Genauigkeitskarte

45 Aufgabe 2 Kopiert euch aus dem Verzeichnes V:\antratroni\ GIS-Vortrag Kriging\Aufgabe02 die Datei TopoPraktikumÜ9.shp in ArcMap. Erstellt eine Krigingkarte mit dem Attribut Z und die dazu gehörige Genauigkeitskarte, benutzt dafür das Ordinary Kriging und das gaussian Variogramm. Erstellt eine zweite Krigingkarte(Z) mit Simple Kriging und dem exponetiellen Variogramm, vergleiche die beiden erstellten Karten miteinander. Nun vergleicht die erste Karte mit einer IDW Karte aus dem ersten Vortrag (neu erstellen).

46 Quellenangaben ESRI: Using ArcGis. Geostatistical Analyst ,Institute Inc, Redlands, USA, 2000. Von der Statistik zur Geostatistik, Hannes Baumgartner Angewandte Statistik WS 2001/02 Geostatistik II, Universität Salzburg, Institut für Geographie und Angewandte Geoinformation Kriging, Geostatistik von J. Krywkow (Universität Berlin) Geostatistical Analyst – Testbericht von M. Schneider Das Variogramm u. Bodenproben, Universität Kaiserslautern Geostatische Analyse bodenkundlicher Kennwerte, Hydrologie Universität Kiel Einführung in die Geostatistik v. H.v.Waldow

47 Dankeschön für Eure Aufmerksamkeit !