Einführung in die beurteilende Statistik Signifikanztests

Grundproblem: - man versucht, aus den bei mehrmaliger Durchführung eines Zufallsexperiments aufgetretenen Ergebnissen auf die unbekannte, dem Zufallsexperiment tatsächlich zu Grunde liegende Wahrscheinlichkeitsverteilung zu schließen Grundbegriffe: jedes beobachtete Ergebnis heißt Realisierung von Z alle n Ergebnisse bilden eine Stichprobe vom Umfang n Grundsätzliches Vorgehen: Man vergleicht die unbekannte Verteilung mit einer bekannten Wahrscheinlichkeitsverteilung. Die vermutete (bekannte) Wktsverteilung wird in der Nullhypothese H0 notiert. z.B. Würfel H0= p0=1/6

Nun wird das Zufallsexperiment durchgeführt z. B. 20mal Würfeln Nun wird das Zufallsexperiment durchgeführt z.B. 20mal Würfeln. Fällt dabei z.B. 12mal die Sechs, so kann der Würfel gezinkt sein, also H0 falsch sein oder dieses unwahrscheinliche Ereignis ist nur zufällig entstanden. Vermutlich wird man jedoch H0 ablehnen. Bei Ablehnung von H0 spricht man von einem signifikanten Unterschied zwischen Stichprobe und Nullhypothese = SIGNIFIKANZTEST man kann sich seiner Entscheidung, welche Hypothese zutrifft nicht völlig sicher sein: Die Wahrscheinlichkeit, H0 zu verwerfen, obwohl sie zutrifft, heißt Irrtumswahrscheinlichkeit . Je nachdem, ob Abweichungen von H0 nach oben (rechts), unten (links) oder nach beiden Seiten interessieren, ergeben sich die verschiedenen Testarten.

Testen von Hypothesen Das Ziel von Signifikanztests liegt in der Ermittlung unbekannter Wahrscheinlichkeiten durch Vergleich mit bekannten Verteilungen.

es ist nicht bekannt, ob die Wsk nach oben oder unten abweicht 1. zweiseitiger Signifikanztest Beispiel: Der Altstadtbereich einer Kleinstadt ist zur „Tempo 30- Zone“ umgestaltet worden. Beobachtungen in den ersten Monaten nach der Umgestaltung ergeben, dass 10% aller Fahrzeuge die zulässige Höchstgeschwindigkeit überschreiten. Nach zwei Jahren haben die Einwohner den Eindruck, dass dieser Erfahrungswert nicht mehr zutreffend ist und wollen dies an Hand der nächsten 100 Fahrzeuge überprüfen. ( = 0,05) es ist nicht bekannt, ob die Wsk nach oben oder unten abweicht 1. Nullhypothese festlegen: H0: p0 = 0,10 2. Gegenhypothese festlegen: H1 : p1 ≠ 0,10 3. Verteilung feststellen Bn,p = B100;0,10 4. Angabe des Ablehnungsbereiches:

1. zweiseitiger Signifikanztest Beispiel: Der Altstadtbereich einer Kleinstadt ist zur „Tempo 30- Zone“ umgestaltet worden. Beobachtungen in den ersten Monaten nach der Umgestaltung ergeben, dass 10% aller Fahrzeuge die zulässige Höchstgeschwindigkeit überschreiten. Nach zwei Jahren haben die Einwohner den Eindruck, dass dieser Erfahrungswert nicht mehr zutreffend ist und wollen dies an Hand der nächsten 100 Fahrzeuge überprüfen. ( = 0,05) Aufteilung von  1. Nullhypothese festlegen: H0 = 0,10 2. Gegenhypothese festlegen: H1 ≠ 0,10 3. Verteilung feststellen Bn,p = B100;0,10 4. Angabe des Ablehnungsbereiches: ergibt sich als links- und rechts-seitige Abweichung von H0 ergibt sich für links: und laut Tabelle und damit gl = 4

für die rechte Seite ergibt sich damit: ≥ und laut Tabelle gr-1= 16 somit ist gr= 17 und für den Ablehnungsbereich K ergibt sich

2. Alternativtest Beispiel: Frank und Peter stehen an einer Kreuzung und beobachten die vorbeikommenden Fahrzeuge. Nach einiger Zeit meint Peter, dass 30% aller Fahrzeuge LKWs sind. Frank hält dagegen und spricht von 40%. Sie einigen sich auf folgenden Test: Es werden von den nächsten 100 Fahrzeugen die LKWs gezählt. Sind darunter höchstens 35 LKWs, so erhält Peter recht, ansonsten Frank (Signifikanzniveau 5%) 1. Nullhypothese festlegen: H0: p0= 0,3 2. Gegenhypothese festlegen: H1: p1= 0,4 3. Verteilung feststellen: Bn;p= B100;0,3

da die Nullhypothese für große Werte der Prüfvariablen abgelehnt wird: hier rechtsseitig 4. Angabe des Ablehnungsbereichs: führt nach Umstellen zu: also zu: da 35 wird H0 angenommen aus der Tabelle ergibt sich gr-1= 38 also ist gr = 39 für den Ablehnungsbereich ergibt sich also:

mindestens 60%, d.h. Wahrscheinlich-keit größer 60 3. Linksseitiger Signifikanztest Beispiel: Lars liest in einer Jugendzeitschrift, dass die Musik einer bekannten Sängerin von mindestens 60% der Jugendlichen gehört wird. Daraufhin befragt er am nächsten Tag alle 25 Mitschüler seiner Klasse. Von diesen hören nur 9 diese Musik. Bestätigt der Test die Behauptung, wenn Lars eine Irrtumswahr-scheinlichkeit von 5 % zugrunde legt? mindestens 60%, d.h. Wahrscheinlich-keit größer 60 da die Nullhypothese verworfen wird, wenn nur wenige Leute die Sängerin mögen, handelt es sich um einen LINKSseitigen Test 1. Nullhypothese festlegen: Ho: p0 ≥ 0,60 2. Gegenhypothese festlegen: H1: p0< 0,60 3. Verteilung feststellen: Bn;p= B25;0,60 4. Angabe des Ablehnungsbereiches

da über Eingang unten/rechts gesucht wird: 1-0,05=0,95 suchen 3. Linksseitiger Signifikanztest Beispiel: Lars liest in einer Jugendzeitschrift, dass die Musik einer bekannten Sängerin von mindestens 60% der Jugendlichen gehört wird. Daraufhin befragt er am nächsten Tag alle 25 Mitschüler seiner Klasse. Von diesen hören nur 9 diese Musik. Bestätigt der Test die Behauptung, wenn Lars eine Irrtumswahr-scheinlichkeit von 5 % zugrunde legt? da über Eingang unten/rechts gesucht wird: 1-0,05=0,95 suchen 1. Nullhypothese festlegen: Ho: p0 ≥ 0,60 2. Gegenhypothese festlegen: H1: p0< 0,60 3. Verteilung feststellen: Bn;p= B25;0,60 4. Angabe des Ablehnungsbereiches aus folgt und aus der Tabelle gl = 10 für den Ablehnungsbereich ergibt sich da 9 € des Ablehnungsbereiches ist, wird Ho verworfen

4. Rechtsseitiger Signifikanztest Beispiel: Auf einer Messe wird eine neuartige Maschine angeboten. Die Ausschussquote der auf dieser Maschine hergestellten Teile soll nicht höher als 5% sein. Ein Kaufinteressent will die Maschine vor Vertragsabschluss jedoch testen. Dazu lässt er 100 Teile produzieren und erhält 6 Stück Ausschuss. Sollte er die Maschine trotzdem kaufen, wenn er eine Irrtumswahrscheinlichkeit von 10% zu Grunde legt? H0 wird abgelehnt bei sehr viel Ausschuss, also handelt es sich um einen rechtsseitigen Test 1. Nullhypothese festlegen: H0: p0≤ 0,05 2. Gegenhypothese festlegen: H1: p1 > 0,05 3. Verteilung feststellen: Bn;p = B100;0,05 4. Angabe des Ablehnungsbereiches:

4. Rechtsseitiger Signifikanztest Beispiel: Auf einer Messe wird eine neuartige Maschine angeboten. Die Ausschussquote der auf dieser Maschine hergestellten Teile soll nicht höher als 5% sein. Ein Kaufinteressent will die Maschine vor Vertragsabschluss jedoch testen. Dazu lässt er 100 Teile produzieren und erhält 6 Stück Ausschuss. Sollte er die Maschine trotzdem kaufen, wenn er eine Irrtumswahrscheinlichkeit von 10% zu Grunde legt? aus P(X ≥ gr) ≤  folgt mit  = 0,10 1- P(X ≤ gr-1) ≤ 0,10 | -1 1. Nullhypothese festlegen: H0: p0≤ 0,05 2. Gegenhypothese festlegen: H1: p1 > 0,05 3. Verteilung feststellen: Bn;p = B100;0,05 4. Angabe des Ablehnungsbereiches: - P(X ≤ gr-1) ≤ - 0,90 | · (- 1) P(X ≤ gr-1) ≥ 0,90 und laut Tabelle damit ist gr-1 = 8 und gr = 9 für K ergibt sich also: {9; 10; . . . ;100} Da 6 nicht zum Ablehnungsbereich gehört, wird der Interessent die Maschine trotzdem kaufen.